重难点专题01 勾股定理基础计算专题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本专项以“计算-证明-应用”为逻辑主线，系统提炼勾股定理的解题方法，通过分层典例构建从基础到综合的知识网络，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理的计算|4重难点，含选择、填空、解答题|解三角形“判定直角-代入/列方程”，面积问题“分割/正方形面积关系”，平方和差“整体代换”，弦图“设元联立方程组”|从直接计算到复杂图形转化，逐步提升综合运用能力| |勾股定理的证明|4重难点，含证明方法辨析与应用|面积法（赵爽弦图、总统证法），构造直角三角形证平方关系，网格“割补法”|从定理推导到拓展证明，强化推理能力与数形结合思想| |勾股定理的应用|3重难点，聚焦实际问题|旗杆/大树折断“设元列方程”，小鸟飞行“垂直+水平距离构直角三角形”|从数学模型到现实应用，培养应用意识与问题解决能力|

重难点专题 探索勾股定理 模块一、勾股定理的计算 重难点一、利用勾股定理解三角形 先判定直角，分清直角边 a、b 与斜边 c，牢记a2+b2=c2；已知两边直接代入求第三边，只给一边设未知数列方程。遇等腰直角、30°直角三角形结合特殊边长比例简化计算，最后验证斜边大于任意直角边，避免边长取值错误。 1．（2025-2026学年度天津市津南区第二学期期末练习八年级数学）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 4．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 重难点二、利用勾股定理求面积 直角三角形以三边向外作正方形，正方形面积满足两小面积和 = 大面积；不规则图形分割成直角三角形，用勾股算出直角边再套面积公式。网格图形先数格子求直角边长，再算面积，巧用面积等量代换简化运算。 1．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_____． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 重难点三、利用勾股定理求线段的平方和（差） 将线段放入直角三角形，用定理转化平方关系；多条线段平方和拆分到多个直角三角形，统一代换直角边平方。求平方差时变形公式c2-a2=b2，不用开方，直接整体代换数值，减少开方计算失误。 1．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 重难点四、以弦图（构图）为背景的计算 弦图分内外两种，大正方形边长为斜边，小正方形边长 = 长直角边 - 短直角边。设直角边为 x、y，联立大正方形面积、小正方形边长，列方程组求解，结合完全平方公式快速算出 xy 或边长平方。 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 4．（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 6．（2026·江苏·一模）如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 模块二、勾股定理的证明 重难点一、勾股定理的证明方法 主流为面积法，核心是 “同一图形两种面积表达方式相等”。赵爽弦图、总统证法、梯形证法均通过分割拼接，用整体面积 = 各部分面积和建立等式，消去中间项后推导出a2+b2=c2，证明先画图标注边长再列式。 1．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）数形结合思想是解决数学问题的重要方法，在数学发展的过程中有不少数学家用数形结合思想证明出了许许多多的定理及推论，下列能够证明平方差公式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 4．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 6．（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 重难点二、利用勾股定理证明线段平方关系 过线段端点作垂线构造直角三角形，把待证平方线段当作直角边或斜边；多条线段分多个直角三角形转化平方，借助等量代换、等式变形消去中间线段，无需算出线段长度，仅推导平方等式即可完成证明。 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 3．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 6．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 重难点三、勾股定理与网格的综合运用 网格中横纵格子为直角边，两点距离用勾股；判断直角找点证两边平方和 = 第三边平方，求面积用割补法结合网格边长，数格时注意正负差值不影响平方计算。 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 2．（25-26八年级下·广东江门·阶段检测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 重难点四、勾股定理的验证 用拼图、网格、测量三种方式验证，拼图依靠面积相等推导公式；网格取整数格线段计算三边平方，核对平方和关系；测量法量取直角三角形三边，计算平方对比，核心逻辑均是验证a2+b2与c2相等。 1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 3．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 4．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 6．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 模块三、勾股定理的应用 重难点一、求旗杆高度 旗杆垂直地面构成直角三角形，旗杆原高分直立段与折断斜边段；设旗杆直立高度为 x，斜边为总长 - x，地面距离为另一直角边，代入勾股列方程求解，理清斜边是倾斜折断部分，不混淆直角边与斜边。 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）一根广告牌立柱在离地面5米的处折断，柱顶落在距离底部的12米处，旗杆折断前的高度为（    ） A．13米 B．15米 C．17米 D．18米 2．（2026·广东珠海·三模）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为____米． 3．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 4．（25-26八年级下·云南·期末）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，，，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 5．（25-26八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 6．（25-26八年级下·广东东莞·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 7．（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 8．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 9．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 10．（18-19八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 重难点二、求小鸟飞行距离 将树木高低差、两棵树水平间距作为两条直角边，小鸟飞行路线为斜边。先算出两棵树垂直高度差，水平距离直接取用，代入定理求斜边长度；多段飞行可拆分多个直角三角形分段计算再求和。 1．（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 2．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 4．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 重难点三、求大树折断前的高度 大树地面剩余部分为直角边，倒地树干为斜边，树根到树梢水平距离为另一直角边。设剩余高度 x，斜边长 = 总高 - x，列方程解 x 后，x 加斜边长度得到大树原高，区分折断两段对应的三角形边长。 1．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（25-26八年级下·北京·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 探索勾股定理 模块一、勾股定理的计算 重难点一、利用勾股定理解三角形 先判定直角，分清直角边 a、b 与斜边 c，牢记a2+b2=c2；已知两边直接代入求第三边，只给一边设未知数列方程。遇等腰直角、30°直角三角形结合特殊边长比例简化计算，最后验证斜边大于任意直角边，避免边长取值错误。 1．（2025-2026学年度天津市津南区第二学期期末练习八年级数学）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果． 【详解】解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 4．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 重难点二、利用勾股定理求面积 直角三角形以三边向外作正方形，正方形面积满足两小面积和 = 大面积；不规则图形分割成直角三角形，用勾股算出直角边再套面积公式。网格图形先数格子求直角边长，再算面积，巧用面积等量代换简化运算。 1．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理证明线段平方关系、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 3．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】3 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的几何意义以及三角形面积，利用勾股定理和面积的关系得到，结合已知条件解得，继而求得阴影部分的面积． 【详解】解：， ， 即， ， ， 即， 解得：， 则阴影部分的面积：． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 重难点三、利用勾股定理求线段的平方和（差） 将线段放入直角三角形，用定理转化平方关系；多条线段平方和拆分到多个直角三角形，统一代换直角边平方。求平方差时变形公式c2-a2=b2，不用开方，直接整体代换数值，减少开方计算失误。 1．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形 【分析】利用直角三角形的勾股定理有，结合完全平方公式化简，即可得到结果． 【详解】解：∵直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∵，， ∴ 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 重难点四、以弦图（构图）为背景的计算 弦图分内外两种，大正方形边长为斜边，小正方形边长 = 长直角边 - 短直角边。设直角边为 x、y，联立大正方形面积、小正方形边长，列方程组求解，结合完全平方公式快速算出 xy 或边长平方。 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 4．（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 5．（25-26八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【答案】54 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】根据勾股定理结合完全平方公式，求出的值即可. 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 6．（2026·江苏·一模）如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 模块二、勾股定理的证明 重难点一、勾股定理的证明方法 主流为面积法，核心是 “同一图形两种面积表达方式相等”。赵爽弦图、总统证法、梯形证法均通过分割拼接，用整体面积 = 各部分面积和建立等式，消去中间项后推导出a2+b2=c2，证明先画图标注边长再列式。 1．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）数形结合思想是解决数学问题的重要方法，在数学发展的过程中有不少数学家用数形结合思想证明出了许许多多的定理及推论，下列能够证明平方差公式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形、勾股定理的证明方法 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：选项B中图形能够证明平方差公式． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)96 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（1）根据勾股的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 6．（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】(1) (2)120 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； （3）解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 重难点二、利用勾股定理证明线段平方关系 过线段端点作垂线构造直角三角形，把待证平方线段当作直角边或斜边；多条线段分多个直角三角形转化平方，借助等量代换、等式变形消去中间线段，无需算出线段长度，仅推导平方等式即可完成证明。 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系、确定第三边的取值范围 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； （3）如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题是四边形综合题，考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点D为的中点，进行等量代换求得，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴ ； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴根据实际意义，即骑行小道的长为． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 重难点三、勾股定理与构图的综合运用 网格中横纵格子为直角边，两点距离用勾股；判断直角找点证两边平方和 = 第三边平方，求面积用割补法结合网格边长，数格时注意正负差值不影响平方计算。 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】（1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 2．（25-26八年级下·广东江门·阶段检测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①；；②5 (2)20 (3)①；②；③ 【知识点】列代数式、用勾股定理构造图形解决问题、两点之间线段最短 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①设，，，，则，作点D关于的对称点，，而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号），再利用三角形三边关系即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构建解答即可． ③利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解：设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； （3）解：①设，，，，则， 作点D关于的对称点，于点，则，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作长方形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， ③画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【详解】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 重难点四、勾股定理的验证 用拼图、网格、测量三种方式验证，拼图依靠面积相等推导公式；网格取整数格线段计算三边平方，核对平方和关系；测量法量取直角三角形三边，计算平方对比，核心逻辑均是验证a2+b2与c2相等。 1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 3．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 4．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 6．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、利用勾股定理证明线段平方关系、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 模块三、勾股定理的应用 重难点一、求旗杆高度 旗杆垂直地面构成直角三角形，旗杆原高分直立段与折断斜边段；设旗杆直立高度为 x，斜边为总长 - x，地面距离为另一直角边，代入勾股列方程求解，理清斜边是倾斜折断部分，不混淆直角边与斜边。 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）一根广告牌立柱在离地面5米的处折断，柱顶落在距离底部的12米处，旗杆折断前的高度为（    ） A．13米 B．15米 C．17米 D．18米 【答案】D 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【详解】解：根据题意有：在中，，， ∴（米）， ∴旗杆高度为：（米）． 2．（2026·广东珠海·三模）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为____米． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】设旗杆的高度为x米，根据题意，绳子长为米，根据勾股定理求解即可; 【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据题意，绳子长为米， 根据勾股定理，得， 故， 整理，得， 解得（米）． 3．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 【答案】2 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，有， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即他应该收回线． 4．（25-26八年级下·云南·期末）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，，，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由如下： 设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 不能上升． 【知识点】用勾股定理解三角形、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）过点作于点，可得，，在中，由勾股定理得出的长即可得出结果； （2）设能上升，如图，延长至点，使，连接，根据勾股定理求出的长，可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则，，， 在中，由勾股定理得： ， ． （2）解：略 5．（25-26八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 6．（25-26八年级下·广东东莞·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 【答案】(1)学校旗杆的高度为 (2)五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）根据速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴学校旗杆的高度为； （2）解：96厘米米， 米， ， ， 故五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于． 7．（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 【答案】(1)等腰直角， (2)旗杆的高度为12米 (3)旗杆的高度为12米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据题意及等腰直角三角形的性质解答； （2）作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴要确定旗杆的高度，只需测量线段的长度； （2）解：过点C作分别交于点M，交于点N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，， ∴， ∴米， ∴米． 故旗杆的高度为12米． （3）解：由题可知，，，， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 8．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 【答案】旗杆的高度为17米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ∴米，米， 设旗杆的高度为x米， 则的长度为米， 在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴旗杆的高度为17米． 9．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 10．（18-19八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3米处折断 (2)在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； （2）解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 重难点二、求小鸟飞行距离 将树木高低差、两棵树水平间距作为两条直角边，小鸟飞行路线为斜边。先算出两棵树垂直高度差，水平距离直接取用，代入定理求斜边长度；多段飞行可拆分多个直角三角形分段计算再求和。 1．（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 2．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【知识点】用勾股定理解三角形、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理可得米，然后问题可求解 【详解】解：∵， 由勾股定理得：米， 根据题意可得米， ∴， ∴此时风筝的高度是安全的． 4．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【知识点】用勾股定理解三角形、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 重难点三、求大树折断前的高度 大树地面剩余部分为直角边，倒地树干为斜边，树根到树梢水平距离为另一直角边。设剩余高度 x，斜边长 = 总高 - x，列方程解 x 后，x 加斜边长度得到大树原高，区分折断两段对应的三角形边长。 1．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】设竹子折断处离地面的高度为尺，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺， 由勾股定理可得， 解得：， ∴竹子折断处离地面的高度为尺． 2．（25-26八年级下·北京·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $