专题01 平行四边形（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，分九大题型系统覆盖计算、判定、综合应用，逻辑递进培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|3题型（边长/角度/坐标计算）|结合图形变换的基础计算，考查对边、对角、对角线性质的直接应用|从性质概念生成到简单计算，构建“性质→结论”的推理链条| |判定应用|2题型（添条件/证明判定）|判定条件辨析与逻辑推理，涉及边、角、对角线关系的组合应用|从判定定理推导到条件构建，形成“条件→判定”的论证路径| |综合拓展|4题型（计数/梯形/存在性/性质判定综合）|图形计数、梯形关联、存在性探究及性质判定综合应用，融合几何直观与空间观念|从单一知识应用到多知识点综合，实现“性质-判定-拓展”的知识网络构建|

专题01 平行四边形（九大题型） 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】.............................................................................1 【题型2根据平行四边形的性质求角度】..............................................................................4 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】.........................................................................7 【题型4 数图形中平行四边形的个数】................................................................................11 【题型5 等腰梯形的有关计算】...........................................................................................14 【题型6 添一个条件成为平行四边形】...............................................................................17 【题型7 平行四边形的判定】..............................................................................................21 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】..........................................................26 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】....................................................................28 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 1．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，于E，于F，若，，，则长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴， 即， ∴． 3．如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的性质可推出，，则，，根据，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ，，，， 和的角平分线分别交于点和， ，， ，， ，， ， 故选：B． 4．如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据且可得为等腰直角三角形，求出，求出；设，利用含角的直角三角形性质及等腰直角三角形性质表示出，结合周长列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵ ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 5．如图，的对角线，交于点，且，若它的两条对角线的和是22，则的周长为（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】D 【分析】平行四边形的对边相等，且对角线互相平分，据此可得，再根据题意求出，则可得答案． 【详解】解：∵的对角线，交于点，且， ∴， ∵的两条对角线的和是22， ∴， ∴， ∴的周长． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 6．在中 ，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中 ，， ， ， ． 7．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】推导出，得到，代入，求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．如图，在中，平分交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质得，最后由角平分线的定义求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 9．如图，在中，平分交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： 平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 10．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可. 【详解】解：∵将沿对角线翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 11．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿y轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形变化—平移，根据平行四边形对角线中点坐标相同可求出点B的坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴将平行四边形沿y轴向上平移4个单位后，平移后点的对应点的坐标是，即， 故选：B． 12．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，B的坐标为，，．按以下步骤作图：以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线交于点E，若，点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴，过作，先得到，进而得到点坐标，再证，则，然后可得点坐标． 【详解】解：过作轴，过作， ，则， ，又， ， ， ， ， ，则， 由作图可知为的角平分线， ， 又， ， ， ， ，即． 13．如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平移的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，再由平移的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴向点的平移方向与距离与点向的平移方向与距离一样， ∵A，C，D的坐标分别是， ∴由平移的性质得到 故选：D． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为_____． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、坐标系中点的平移等知识．根据题意得到点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同，据此进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同， ∴顶点B，C的坐标分别为，， ∴点C到点B的平移方式是向右平移1个单位，向上平移2个单位， ∴向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， 故答案为： 15．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，根据作图痕迹则点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】由作法得平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则证明得到，接着计算出得到，然后把点向右平移单位得到点坐标． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质． 【题型4 数图形中平行四边形的个数】 16．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形 【详解】解：依题意，，， ∴最小平行四边形（）有：行列，共个 横向拼接（）有：每行个，共行，共个 纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个 大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个 整列高（）有：左列和右列各个，共个 整个图形（）有：，共个 综上所述，总数为：个 17．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 18．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案． 【详解】解：设EF与NH交于点O， ∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD， 则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 19．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 【题型5 等腰梯形的有关计算】 20．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 21．如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 22．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过______，使． 【答案】或 【分析】本题考查了图形中的动点问题，平行四边形，等腰梯形的性质，先确定两点运动的时间，假设经过了，，分别讨论当四边形为平行四边形和等腰梯形时，列一元一次方程进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点运动到点需要秒，点运动到点需要秒， 设经过了，，根据题意得， 当时，四边形为平行四边形，此时， ∴， 解得， 经检验， ∴符合题意； 如图所示，当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验， ∴符合题意； 故答案为：或． 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 24．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴    ∴ ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合要求． ∵C中条件无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵ ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 25．如图，已知，添加下面的条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 、当添加时，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、∵， ∴， 当添加时，得， ∴， 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、当添加时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、当添加时，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形是平行四边形，该选项符合题意． 26．如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：因为，所以四边形是平行四边形，则A符合题意； 因为，所以，不能说明四边形是平行四边形，则B不符合题意； 因为，所以四边形可能是等腰梯形，则C不符合题意； 因为，不能说明四边形是平行四边形，则D不符合题意． 27．四边形中，，要判定是平行四边形，那么还需要满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知四边形中，根据平行四边形的判定规则，只需再推出另一组对边，即可判定该四边形是平行四边形，结合平行线的判定定理验证各选项即可． 【详解】解：（已知）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， A选项：是的已有结论，无法推出，不能判定四边形为平行四边形，故A错误； B选项：， （同旁内角互补，两直线平行）， 又， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故B正确； C选项：是的已有结论，无法推出，不能判定四边形为平行四边形，故C错误； D选项：等腰梯形满足，此时，结合可得，但等腰梯形不是平行四边形，故D错误． 28．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 【题型7 平行四边形的判定】 29．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，进而得到，即可得证. 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 30．如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，由已知可得，可得，即可证得结论； （2）由，可得，可得四边形的对角线互相平分，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵，四边形的对角线交于点， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 31．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，E为上一点，连接并延长交于点F，且．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，再根据已知，利用证明； （2）由得到，由此再证明，得到且，四边形为平行四边形可证． 【详解】（1）解法一： 证明： ， ， 又，， ； 解法二： 证明：， ，， 又， ； （2）解法一： 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． 解法二： 由（1）得，， ，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 32．如图，在四边形中，，垂足分别为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定． （1）根据垂直得到和是直角三角形，根据斜边直角边相等，判定两直角三角形全等． （2）根据两三角形全等，得到对应角相等，继而根据内错角相等得到，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形得证结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 33．如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质结合证明即可； （2）证明得到，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 34．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 35．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 36．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 37．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】 38．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 39．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 40．如图，在四边形中，，对角线交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则可利用证明，得到，据此可证明结论； （2）由平行线的性质得到的度数，证明垂直平分，得到，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 41．如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得到，再由线段中点的定义可推出，据此可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的对角线互相平分得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得． 42．如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，因为延长至点E，使，所以，，则四边形是平行四边形； （2）连接，由的对角线与相交于点O，得，由平分，得，由，得，则，所以，则，所以，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵的对角线与相交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形（九大题型） 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】.............................................................................1 【题型2根据平行四边形的性质求角度】..............................................................................4 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】.........................................................................7 【题型4 数图形中平行四边形的个数】................................................................................11 【题型5 等腰梯形的有关计算】...........................................................................................14 【题型6 添一个条件成为平行四边形】...............................................................................17 【题型7 平行四边形的判定】..............................................................................................21 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】..........................................................26 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】....................................................................28 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 1．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，于E，于F，若，，，则长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 5．如图，的对角线，交于点，且，若它的两条对角线的和是22，则的周长为（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 6．在中 ，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，平分交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 11．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿y轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，B的坐标为，，．按以下步骤作图：以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线交于点E，若，点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为_____． 15．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，根据作图痕迹则点的坐标为______． 【题型4 数图形中平行四边形的个数】 16．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 17．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 18．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 19．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______． 【题型5 等腰梯形的有关计算】 20．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 22．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过______，使． 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 24．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 25．如图，已知，添加下面的条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 27．四边形中，，要判定是平行四边形，那么还需要满足（    ） A． B． C． D． 28．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 【题型7 平行四边形的判定】 29．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 30．如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 31．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，E为上一点，连接并延长交于点F，且．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 32．如图，在四边形中，，垂足分别为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 33．如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 34．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 35．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 36．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 37．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】 38．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 39．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 40．如图，在四边形中，，对角线交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，求的度数． 41．如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 42．如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $