第一章 特殊平行四边形 单元学情调研试题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过生活情境、折叠变换及探究活动，考查几何直观与推理能力，适配初中数学特殊平行四边形单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10题|菱形性质、矩形判定、正方形综合|第4题结合鼠标垫检验矩形，体现数学眼光观察现实世界| |填空|5题|折叠面积计算、中点四边形、菱形高|第12题矩形折叠求面积，考查空间观念与运算能力| |解答|7题|性质证明、动态探究、正方形折叠|第22题折叠操作探究，培养推理意识与创新应用|

参考答案 1.D 2.B 3.B 4.C5.D 6.A 8.B 9.D 10.B 11.8v3 12.78 13.3-1 2 1445 5 15.①②③⑤ 16.证明：.矩形ABCD是特殊的平行四边形， ∴.AB=CD'AB/ICD'∴.∠BAE=∠DCF .BE⊥AC'DF⊥AC' ∴.∠BEA=∠DFC=90° 在△BEA和△DFC中， .∠BEA=∠DFC,∠BAE=∠DCF,AB=CD, ∴.△BEA≌△DFC(AAS),∴.AE=CF. 17.【小题1】 解：，四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=90°，AO=OC,BO .AO=OD..∠OAD=∠ODA, .'∠DAE=2∠BAE,.∠BAE=30°，∠DAE=60°. .AE⊥BD,.∠OAD=∠ODA=30°. ∴.∠EAC=∠DAE-∠OAD=30° 【小题2】 BE:ED=1:3,BO=OD,.BE=OE .:AE⊥BD,∴.AB=AO=BO.∴.△AOB是等边三角形 第1页，共1页 7.B OD.AC=BD .∴.BO=AB=1,∴.BD=2BO=2. .AD=VBD2-AB2=V22-12=3 18.【小题1】 证明：.四边形ABCD是正方形，∴.AB=CD,∠ABC=∠BCD=9O°，.'△BCE是等边三角形， ∴.BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∴.∠ABE=∠ECD=30°，在△ABE和△DCE中， AB=CD ABE=∠DCE,∴.△ABE≌△DCE SAS,.AE=DE BE=CE 【小题2】 解：：由(1)知CE=BC=CD,∠ECD=30°，.∠CDE=∠CED=180·-30=75·, .∴.∠AED=360°-∠AEB-∠BEC-∠CED=360°-75°-60°-75°=150°. 19.【小题1】 证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AD/BC,AC⊥BD,AD=BC.BE=BC,∴AD=BE,∴.四 边形AEBD是平行四边形，∴.AE/1BD.又'.BF//AC,.∴.四边形AFBO是平行四边形 .AC⊥BD,∴.∠AOB=90°，.平行四边形AFBO是矩形. 【小题2】 2V3 20.【小题1】 解：四边形ANCM是菱形. 理由如下： .'MN垂直平分AC, ∴.AO=CO,∠AOM=∠CON=90°. .‘四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD/IBC,∴.∠MAO=∠NCO 在△AOM和△CON中， .'∠MAO=∠NCO,AO=CO,∠AOM=∠CON, ..△AOM≌△CON(ASA), ∴.AM=CN. 又.AM/CN, 第2页，共1页 .∴.四边形ANCM为平行四边形 .MN⊥AC,∴.平行四边形ANCM是菱形. 【小题2】 l1得A0=C0=号AC=2cm,四边形ANCM是菱形， AN-CN.ON-OM-NM. .∠ACB=60°，∴.△ACN是等边三角形， .∴.CN=AC=4cm 在Rt△CON中，由勾股定理得oN=VCN2-CO=V4-22=2V3(cm' ∴.NM=2ON=2×2V3=4V3(cm)∥ ∴.菱形ANCM的面积= ACNM=2×4x43=83(cm), 21.【小题1】 证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M,作EN⊥CD于点N,∴.∠ENC=∠EMC=90° ,四边形ABCD为正方形，∠BCD=90°，CA平分∠BCD,∴.∠MEN=90°，EM=EN,.四边形 DEFG是矩形，∴.∠=90°，∴.∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴.∠DEN=∠MEF, :∠DNE=∠FME=90°，∴.△DEN≌△FEM(ASA),.ED=EF,∴.矩形DEFG为正方形. 【小题2】 CE+CG=V2 BC 22.【小题1】 等边三角形 CQ=MQ 45 【小题2】 第3页，共1页 CQ=MQ,∠PBQ=45°.理由如下： .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠BAD=∠ABC=∠C=90°， 由折叠可知AB=MB,∠ABP=∠MBP,∠BAD=∠PMB=90°， ∴.BM=BC'∠BMP=∠BMQ=90° .BQ=BQ'BM=BC'.Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)' ∴.CQ=MQ'∠QBM=ㄥQBC ·.∠PBQ=∠MBP+∠QBM=∠MBA+∠CBM)=7∠ABC=45 【小题3】 详解：当点Q在点F的下方时，如图， P D E F M B ,正方形ABCD的边长为8，.CD=8,∴.DF=FC=4, .FQ=2,.QC=CF-FQ=4-2=2,DQ=DF+FQ=4+2=6, 由2)可知，QM=QC=2, 设AP=PM=x,则PD=8-X,PQ=X+2, 第4页，共1页 在Rt△PDQ中，PD+DQ2=PQ2, ∴.(8-x2+62=(x+2}2 ,则AP=24」 解得=24 5, 当点Q在点F的上方时，如图， AP D M E B C .正方形ABCD的边长为8，.CD=8,.DF=FC=4, FQ=2,..QC=QF+FC=6,DQ=DF-QF=2, 由(2)可知，QM=QC=6, 设AP=PM=X,则PD=8-X,PQ=x+6, 在Rt△PDQ中，PD2+DQ=PQ, (8-X+2=(X+6,解得x=号则AP号 故4P附长为4安号 第5页，共1页 第一章 特殊平行四边形 单元学情调研试题 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    ) A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 2.如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件可以是  (    ) A. B. C. D. 3.如图，已知▱的对角线，交于点，添加下列条件后，▱不一定是正方形的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是(    ) A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 5.如图，在正方形中，在延长线上取一点，使，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为若沿剪开，将折叠部分展开得到的四边形是一个正方形，其数学原理是(    ) A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 7.如图，在中，，，，为边上任意一点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，是原点，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且将菱形绕点逆时针旋转得到四边形点与点重合，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在四边形中，，，，分别为边，，，的中点，则下列说法正确的是  (    ) A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若四边形是平行四边形，则与互相平分 D. 若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 10.如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接下列结论：矩形是正方形其中正确的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为          ． 12.如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点若，，则的面积为          ． 13.如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交边于点，是的中点，连接，若，则的长度为          ． 14.如图，在菱形中，对角线与相交于点若于点，，则          ． 15.如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，有下列结论：；；垂直平分；；其中正确的结论是          填序号． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.如图，已知矩形，连接对角线，过点作于点，过点作于点求证：． 17.如图，在矩形中，于点． 若，求的度数． 若，，求的长． 18.如图，是正方形内一点，是等边三角形，连接，． 求证：； 求的度数． 19.如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接过点作，交于点，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，求菱形的面积． 20.在学习“特殊平行四边形”时，小郑同学进行了这样的操作：如图，在平行四边形中，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，，得到四边形． 请你判断四边形的形状，并说明理由 若，，求四边形的面积． 21.如图，已知四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． 求证：矩形是正方形； 探究：请直接写出线段，，之间的数量关系． 22.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，并延长交于点，连接． 【初步感知】如图，当点在上时，连接，则的形状为          线段与的数量关系为          ，          ． 【迁移探究】改变点在上的位置点不与点，重合，如图，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展应用】已知正方形纸片的边长为，在以上探究中，当时，直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $