第一章 特殊平行四边形 单元检测题 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级“特殊的平行四边形”，以生活实践与科技情境为载体，覆盖矩形、菱形、正方形核心知识，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|菱形面积、矩形判定等|结合北京大兴西瓜节等真实情境，基础巩固| |填空题|5题20分|折叠与角度计算|矩形纸片对折剪角等操作问题，培养空间观念| |解答题|5题48分|性质应用与证明|舞台升降机交叉撑计算等综合题，提升推理能力| |B卷|2题20分|探究与拓展|等边三角形中点连线等创新题，发展创新意识|

2026-2027学年度上期九年级单元质量检测题（一） 第一章 特殊的平行四边形 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．为迎接2024年5月28日北京大兴西瓜节，某西瓜交易市场准备在空地处建造一个菱形花坛，若菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积（单位：平方米）为（    ） A．15 B．24 C．30 D．60 2．如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个活动的平行四边形ABCD框架，∠ABC＝40°，拉动两个不相邻的顶点B和D，当边BA绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时成为了矩形ABCD框架，则旋转角α的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．90° （2题图） （4题图） （5题图） 5．如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形 中，，对角线， 交于点 O，E为的中点，连接 ，则的度数是（　　　） A． B． C． D． 7．如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（   ） A． B． C． D．1 （8题图） （6题图） （7题图） 8．如图，菱形的边长为2，，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． （10题图） （9题图） 10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 11．如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． （11题图） （13题图） （12题图） 12．如图，△ABC的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 13．如图是一个长为x的矩形纸片，在其左侧剪掉一个最大的正方形．若剩余矩形的周长为y，则y与x之间的关系为 ．  三、解答题（共48分） 14．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称． (1)点B的坐标是________，________； (2)现将点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D，顺次连接这四个点得到一个四边形，请在坐标系中画出四边形，并判断四边形的形状________． 15．（8分）舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台（舞台）组成．如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台（舞台）由四根长度相等的交叉撑支撑，上面两根交叉撑与工作台（工作台与舞台紧密贴合）相连，下面两根交叉撑与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位（点）和连接点（点）．当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角的度数会随之变化． (1)四边形的形状为______． (2)当该舞台升降机的交叉撑长为时（交叉撑的宽度忽略不计），若交叉角从减小到，舞台升高了多少米？（结果保留根号） 16．（10分）如图，在平行四边形 中，平分，F 为 边上的一点，且． (1)求证：四边形 为菱形； (2)连接，若，，，求的长 ． 17．（10分）．如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为． (1)求对角线所在直线的解析式． (2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与的交点分别为D，F，E，求点D和点E的坐标． (3)若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（12分）如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米，C、D为两个村庄（看作两点），，且千米，千米． (1)求两个村庄之间的距离； (2)现要在线段上建造一个供应站P，使得，请求出的长； (3)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． B卷（共20分） 一、填空题（每小题2分，共6分） 19．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，黑板上画的图形是 ． 20．伯渎桥堍的春晚舞台上有四位演员A、B、C、D如图呈正方形站位表演，在的延长线上有一个光源P射出一条等分正方形面积的光线交线段于点Q，若点P到点B的距离和正方形的边长都是整数，且，则正方形面积的最小值为 ．    21．如图，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，点C，D都在第一象限，，交于点E，当矩形的面积为24时，的长是 ． 二、解答题（共14分） 22.（6分）（1）【问题探究】如图①，在矩形中，，，点为边上一点，且，连接，过点作DF//BE交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）【问题解决】小丽和小勇在玩折纸片游戏，如图②，有一块矩形纸片，小丽将该纸片沿（点、分别在边、上）所在直线折叠后，点恰好与点重合，点落在点处，并测得，，的角平分线交于点，小勇根据小丽的折纸过程和测量结果，计算出了的长度，你知道小勇是怎么计算的吗？请你写出正确的计算过程． 23.（8分）在等边 △ABC中， 点D、E、F分别为中点． (1)连接． 如图1，求证：四边形为菱形； 如图2，若点 G、H分别在边上，且满足 ，求的长； (2)如图3，点 P、M、N分别为线段上的动点， 且满足，，连接， 试探究 与 之间的数量关系． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度上期九年级单元质量检测题（一) 第一章特殊的平行四边形 参考答案 A卷（共100分） 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B C A D B 二、填空题 9.45° 10.115° 11.32°32度 12.8 13.y=2x 三、解答题 14.(1)(-3,2),4 (2)矩形， A(-3,-2) 解：(1)A、B关于x轴对称， :B(-32).48=2-2)=4 (2)如图，点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到 对应点C和D :C2,2),D2,-2) :AB⊥x轴，点B、点A都向右平移5个单位长度， .AB⊥AD,CD⊥AD,AB⊥BC, ∴四边形ABCD是矩形， 15.解：(1)菱形： (2)如图，连接CD,作直线GH分别交CD,AB,EF于点P,M,N, 由(1)得四边形CGDH是菱形. ∴.MN⊥CD,HP=PG,GH ∠CGD 平分 .∠CGP=30° .CG=2CP 答案第1页，共2页 AMB :HE=HD=HF=HC,∠EHF=∠DHC :∴.AEFH≌△DCH(SAS) 同理可得△1BG≌DCG(SAS) ∴.∠FEH=∠CDH,∠ABG=∠DCG ∴.CD∥EF∥AB ∴.MN⊥AB,MN⊥EF :HN=HP=PG=GM MN=4PG,MN ，即 的长度即为舞台升高的高度. 2m.G 交叉撑长为 为交叉撑的中点， ..CG=1m 1 CP-2m ..MN =2V3m 2v3m 答：舞台升高了 16.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD. .∠ABE=∠BEC, :BE平分∠ABC交DC于点E,F为AB边上的点， .∠ABE=∠CBE, ∴.∠BEC=∠CBE, .'CE=CB, .BF=BC, ..CE=BF, 答案第2页，共2页 又，CE∥BF, “.四边形BCEF是平行四边形，而CE=CB, ∴.平行四边形BCEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形.） (2)解：：四边形ABCD是平行四边形，四边形BCEF是菱形 .'AD=BC,EF BC=BF, AD=2, .EF BF=AD=2, :E=5.AF=1 AE2+AF2=3+1=4=EF2, ∴.△AEF为直角三角形，且∠EAF=90° 在Rt△MEB中，B=AF+BF=1+2=3.AE=5 由勾股定理得BE=√AE2+AB=32+(5=2W5 17.(1)解：四边形0ABC为矩形， .∠B=∠OAB=∠AOC=90°，OC=AB,OA=BC 点B的坐标为 (2a,a)）AC=4v5 (2a+a2=(45, 解得a=4或a=-4(舍去)， 点B的坐标为 B(8,4) 则A0=BC=4,OC=AB=8 .A(0,4),C(8,0) 设对角线AC所在直线的解析式为y=x+4, .8k+4=0, 解得、1 2 答案第3页，共2页 :对角线AC所在直线的解析式为y= 2x+4: (2)解：连接AD, 由折叠性质可知，AD=CD, 设OD=m,则AD=CD=8-m, B :∠AOD=90° F .(8-m2-m2=42 解得m=3, .D(3,0O）)AD=5 同理可得BE=3, 则AE=8-3=5, ∴.E(5,4) (3)解：存在， A M ①当AD,AM为菱形的边时， B :四边形ADNM为菱形， .DN∥AM,DN=AD D AD=5.OD=3, .DN=5, 六N6,-5)或3 ②当AD为菱形的边，AM为菱形对角线时， :四边形ADMN为菱形， ..ON=OD=3, E .N(-3,0) ③当AM为菱形的边，AD为菱形对角线时， :四边形AMDN为菱形， 答案第4页，共2页 .DN∥AM,DN=AM=MD 设DN=AM=MD=t, :0A=4,OD=3 .OM=4-t, 2-(4-}=32 M 能得总。 .DW=25 8 综上所速，-或(，列发-30家3】 18.(1)解：如图2，连接CD,过点C作CE⊥AD于点E, :AD⊥AB,BC⊥AB .∠A=∠B=∠AEC=90° ∴.四边形ABCE是矩形， 图2 .AE=BC=16千米，CE=AB=40千米， DE=AD-AE=24-16=8千米， :CD=VDE2+CE=8+40=8V26千米， 心两个村庄的距离 826千米， 8√26 故答案为： (2)解：由题意可知，点P在CD的垂直平分线上，如图3，连接CD,作CD的垂直平分 线交AB于点P,则点P即为所求， 设4P=x千米， BP=AB-AP=(40-)千米， 答案第5页，共2页 在RtAAPD中，根据勾股定理可得： PD2=AP2+AD2=x2+242 在Rt△BPC中，根据勾股定理可得： PC2=BP2+BC2=(40-x)2+162 图3 PC=PD .(40-x)}2+162=x2+242 解得：x=16,即：AP=16千米： .BP=AB-AP=24千米： (3)解：如图4，AB=16,AB⊥AD,AD=9,BC⊥AB,BC=3, 先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作FE⊥DA交DA延长线于点E, 设BP=x, D 则DF就是代数式VF+9+6-+81的最小值， 9 代数式VR+9+6-+81的几何意义是线段AB上一点到点 16-xP B 3 D、C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D E 16 的连线，与线段AB的交点就是它取最小值时的点， 图4 由轴对称的性质可得：BF=BC, :AD⊥AB,BC⊥AB,FE⊥DA, ∴.四边形ABFE是矩形， ∴AE=BF=BC,EF=AB, 从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就 是代数式的最小值， :代数式V+9+6-+81的最小值为： DF=√DE2+EF2 =AD+AE)+EF2 答案第6页，共2页 =(AD+BC)+AB =V(9+3)2+16 =20」 故答案为：20. B卷（共20分） 一、填空题 19.正方形 20.81 21.2 二、解答题 22解：(1)AD=18,AE=5, .DE=AD-AE=18-5=13, ∴四边形ABCD是矩形， A .AD∥BC,∠A=90° .DF∥BE, ∴四边形BEDF是平行四边形， EF=V(AB)2+(AE}=13, :.DE EF, ∴四边形BEDF是菱形： (2)解：连接BE,连接BD,如图： ,四边形ABFE沿着EF折叠，点B恰好与点D重合，点A与点A'重合， 、∠BFE=∠DFE,BF=DF,BE=DE, ,四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∠BFE=∠DEF, .∠DEF=∠DFE, .DE DF, ∴.BE=DE=DF=BF=13, ∴.四边形BFDE是菱形，AD=AE+DE=5+I3=18=BC, 答案第7页，共2页 .BD平分∠EDF, :OD平分∠A'DC, .∠A'DO=∠ODC 又∠ADE=∠A'DF-∠EDF=90°-∠EIDF=LCDF, .∠EDO=∠ODF, .B、D、O共线， 在RIABE中，AB=VBE2-AE=i32-了=12， .CD=12 在RIABCD中，BD=VBC2+CD=V182+122=6N3 ..OD=BD=3V13 313 故答案为： 23.(1)解：①证明：：等边△ABC中，点D、B、F分别为AB、BCAC中点， “AHB=BC,∠ABC-60rBD-号B-BC=BEDP为A1BC的中位线， 2 :DF∥BC,DF=}BC=BE. .四边形DBEF为平行四边形， BD=BE, .平行四边形DBEF为菱形： ②延长BG,DF交于点K,作HⅢ⊥AB于点I, ,四边形BEFD为菱形，EG=FG=4, .BD=BE=FE=DF=EG+FG=8,DF//BC, .∠K=∠EBG,∠ADF=∠ABC=6O°，∠DHB=∠HBE, 又.∠FGK=∠EGB,FG=EG. .△BEG≌△KFG, ..KF=BE=8, :∠HBE=∠DHB=2∠GBE. 答案第8页，共2页 .BG平分∠HBE, .∠HBG=∠EBG, .∠HBG=∠K, :BH=HK, 设HF=x,则：BH=HK=KF+FH=8+x,DH=DF-HF=8-x, 在RtDIH中，∠IDH=60°， .∠DH=30° m-0m-8-=n9s 2 :B1=BD+DI=I2-2, 1 在Rt△B中，由勾股定理，得：BH=B+H, 16 解得：x=5, HF=16 Γ5 (2),△ABC为等边三角形， 、∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, DF∥BC, .∠FDB+∠ABC=180°，∠DFC+∠ACB=180°，∠ADF=∠ABC=60°， .∠FDB=∠DFC=120°， ∴.∠PMD+∠DPM=180°-∠PDM=60°， .∠MPN=120°， ∴.∠DPM+∠FPN=180°-∠MPN=60°， .∠PMD=∠FPN, 又PD=NF, .△PDM≌aNFP, 答案第9页，共2页 .PM=PN,DM=PF, &∠PMN=∠PNM-0-∠MPN)-30e， 设PD=NF=x,DM=PF=y,则：DF=x+y, 作M0⊥DF交FD的延长线于点O,作PT⊥MN于点T,如图： 在RtAMDO中，∠MDQ=∠ADF=60°， O D/P .∠DMg=30°， M :-DM-.we=50-9, 3 1 QF-DQ+DF-x+PQ-DQ+PD 2+t, 在Rt△MOF中，由勾股定理，得： Mr=0+F0-之y+x+2=+3w+3 在RtAMOP中，由勾股定理，得： PM2=MO+PO=MF2 PM=PN,PT⊥MN, ∴MN=2MT, :∠PMW=30°， PT-PAIT -PTM 2 .MN =2MT =3PM 答案第10页，共2页 :M2=3PM2=3(r++yr)=3x2+3g+3y .MN2-MF2=2x2-2FN2: 故MN2-MF2=2FW2 答案第11页，共2页