第一章特殊平行四边形单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册“特殊平行四边形”单元复习同步练，通过基础辨析、性质应用到综合探究的三阶分层设计，强化几何直观与推理能力，适配单元知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|矩形、菱形、正方形性质与判定|选择1对比矩形菱形对角线性质，填空11开放探究菱形判定条件，夯实概念理解| |技能应用|性质与判定综合证明|解答17矩形中点性质证明，解答21正方形动态全等推理，培养逻辑推理能力| |综合探究|折叠与动点问题|解答22正方形折叠探究，解答23直角梯形动点存在性分析，发展空间观念与创新意识|

· 第一章 特殊平行四边形 单元复习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 2．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 5．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 6．如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 7．如图，在中，，是边的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，则下列结论正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 9．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 10．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　）    A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 12．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    13．如图所示，在菱形中，对角线与交于点，且，，则菱形的边长为___． 14．如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 15．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，在中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交 于点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并证明． 17．如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 18．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 20．在中，是边上的中线，为的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)①若四边形是正方形，则_________； ②连接，当_________时，四边形是菱形， 21．如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F．    (1)试说明； (2)如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，则 （用等式表示，不写过程，直接写出结果） 23．如图，在直角梯形中，，于点C，，，点M从点A出发，以的速度向点B运动；同时点N从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)求当t为几秒时，四边形为矩形； (2)当四边形为等腰梯形时，求t的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A D B C D B A 1．D 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．利用矩形和菱形的性质逐项判定即可． 【详解】解：A中，对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； B中，对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； C中，对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； D中，对角线相等，菱形不一定具有而矩形具有，故符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解． 【详解】解：矩形的顶点， ，，轴， B的坐标为． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，，推出，由于点，于点，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 于点，于点， ， ， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 5．D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 6．B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 7．C 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是边的中点，， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】回忆平行四边形衍生特殊四边形的判定条件：如果平行四边形对角线相等，那么它是矩形；如果平行四边形对角线垂直，那么它是菱形；如果平行四边形有一个内角是直角，那么它是矩形；如果平行四边形既是矩形又是菱形，那么它是正方形．逐个对应选项给出的附加条件，匹配对应的判定定理，判断结论是否成立． 【详解】解：已知四边形是平行四边形，结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析： 选项A：平行四边形中，若对角线，则四边形是矩形，不是菱形，A错误； 选项B：平行四边形中，若，则四边形是矩形，不一定是正方形，B错误； 选项C：平行四边形中，若，则四边形是菱形，不是矩形，C错误； 选项D：即，平行四边形中存在一个内角为直角，则四边形是矩形，D正确． 9．B 【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到，进而得到，，设，则，，即可得到，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：． 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理， 根据勾股定理，列出方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 故选：． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】由矩形的性质得，，在中，由勾股定理求出对角线的长度，从而计算出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，． 在中，， ． 13． 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分是解题的关键．由可得，再根据得；利用菱形对角线垂直平分的性质，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出边长． 【详解】解：∵菱形中，对角线与交于点， ∴， 又∵， ∴， 从而， 在中，， ∴， 代入，， 即， ∴． 14． 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形相似的判定和性质等知识．由等边三角形的性质可知，，从而可得，．再根据，可求出，即证明，从而可证，得出，代入数据即可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵为边长为9的等边三角形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 16．(1)解：如图， ； (2)证明：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ∴． ． 平分， ． ． 同理，可证， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 17．证明：点是的中点， ， 点，分别是边，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出，，，再利用证明三角形全等即可． 【详解】略． 18．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 20．(1)见解析 (2)； 【分析】(1)根据直角三角形的性质得，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； (2)①根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，求得，于是得到结论； ②根据平行四边形的性质得到，推出是等边三角形，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∵， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：①当时，四边形为正方形，理由如下： ∵四边形是菱形，要使四边形是正方形，则， ∴； ， 故答案为 ：； ②当时，四边形为菱形，理由如下： 由(1)得， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 21．(1) 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 解：成立；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再由，可得，从而求证出，即可． （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到，再根据已知条件求证出，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．(1)，等腰直角三角形 (2)证明：由（1）可得，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得，，由正方形的性质可得，，，证明出，，从而可得，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果； （2）由（1）可得，，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，即可推出四边形为平行四边形，再结合，即可得证； （3）由（1）可得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵将边和边对折后在上重合，得到折痕和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）略； （3）解：由（1）可得，， ∴， ∴． 23．(1) (2) 【分析】（1）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，求出，得，解方程即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 则，， ∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， 则， 又∵， ， 解得：. 答案第2页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $