2.2 一元二次方程的解法(5) 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦分解因式法解一元二次方程，采用三级分层设计，通过基础巩固、能力提升到综合拓展的路径，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|方程变形、因式分解步骤及直接应用|基础填空（步骤回顾）、解方程（如x(x-1)=2(x-1)），强化运算能力| |B级能力提升|变式应用与新定义问题|代数式求值（x/y）、“星辰方程”判断，发展推理意识| |C级综合拓展|根的判别式与几何综合|矩形边长与对角线关系证明与计算，体现模型意识|

第二章 一元二次方程 第二节 一元二次方程的解法(5) 今日复习 分解因式法解一元二次方程的基本步骤： (1)将方程变形，使方程的右边为 ； (2)将方程的左边 ； (3)根据若A·B=0,则 或 ,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 名师点拨 1.用分解因式法解方程的关键是先使方程的右边为0. 2.分解因式的方法较多，移项后能直接分解因式就直接分解因式，否则移项后先化成一般形式，再分解因式. 3.用分解因式法还可求解形如一元二次方程的方程，如：已知 求x/₇的值；已知 求 的值. 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·编写)一元二次方程x(x+1)=0的两根分别为 (2)(2026·编写)方程 的实数解是 . 2.(1)(2026·编写)方程 的根是 (2)(2026·编写)解方程x(x-1)=2(x-1),得 . 3.(1)(2026·编写)三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程 15=0的根，则该三角形的周长为的根是 . (2)(2026·简阳)方程x(x+2)=3(x+2)4.(2026·温江)已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是一元二次方程 6x+8=0的解，则这个三角形的周长是 5.(2026·青羊)一元二次方程 0的根是 ( ) 6.(2026·编写)关于x的方程 的一个解是-2，则k的值为( ) A.2或4 B.0或4 C.-2或0 D.-2或2 7.(2026·编写)若菱形两条对角线的长度是方程 的两根，则该菱形的边长为 ( ) A. B.4 C.2 D.5 8.(2026·编写)某矩形的长为a,宽为b,且(a+b)(a+b+2)=8,则a+b的值为( ) A.4 B.-4 C.2或-4 D.2 9.(2026·编写)用因式分解法解方程： (2)x(2x-5)=2(2x-5); (4)x(x-2)=x-2. 10.(2026·编写)用适当的方法解方程： (1)(x+3)(x-1)=5; B级 能力提升 11.(1)(2026·编写)已知y≠0,且 ,则x/y的值是 . (2)(2026·编写)若 2x)-4=0,则2x-y= . 12.若实数x,y满足( 则 的值是 . 13.(2026·编写)已知k为整数，一元二次方程 的解为整数，则k的值为 . 14.(2026·武侯)定义：如果一元二次方程 满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“星辰方程”. (1)判断一元二次方程 是否为“星辰方程”，并说明理由； (2)已知 是关于x的“星辰方程”，若m是此“星辰方程”的一个根，求m的值. C级综合拓展 15.(2026·成华)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根x₁，x₂是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值. 【今日复习】 (1)零 (2)因式分解 (3)A=0 B=0 【课时三级达标】 A级(双基过手) 3.(1)12 (2)x₁=-2,x₂=3 4.10 5. D 6. B 7. A 8. D 9.(1)【解】原方程变形为(x-2)(x+1)=0,可得x -2=0或x+1=0,解得. (2)【解】∵x(2x-5)=2(2x-5), ∴x(2x-5)-2(2x-5)=0,则(2x-5)(x-2)=0, ∴2x-5=0或x-2=0,解得x=2.5或x=2. (3)【解】方程变形得 分解因式得(x-3)(2x-6-x-3)=0,即(x-3)(x-9)=0,解得 (4)【解】x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(x-1)=0, x-2=0或x-1=0,所以. 10.(1)【解】方程整理,得. ∴(x+4)(x-2)=0, 则x+4=0或x-2=0, 解得 (2)【解】· ∴3x-2=2x-3或3x-2=3-2x, 解得 (3)【解】 ∵a=2,b=-1,c=2, ∴此方程无实数根. (4)【解】∵a=3,b=-10,c=6, 则 即 B级(能力提升) 11.(1)4或-1 (2)1或-4 12.2 13.3,7或15 14.【解】(1)一元二次方程 为“星辰方程”. 理由如下： ∵当x=-1时,3-7+4=0, ∴一元二次方程： 为“星辰方程”。 是关于x的“星辰方程”， ∴4+m+n=0,即n=-(m+4). ∵m是此“星辰方程”的一个根， 即 整理，得 解得 ∴m的值为 或-1. C级(综合拓展) 15.(1)【证明】在一元二次方程 k=0中,a=1,b=-(2k+1),c=k²+k, 1>0, ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根. (2)【解】 ①当x=k为对角线的长时， 解得k=-13(不符合题意，舍去)； ②当x=k+1为对角线的长时，( 解得k=12，符合题意. 综上所述，k的值为12. 学科网（北京）股份有限公司 $