（江苏连云港）2026-2027学年苏科版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形）

**基本信息** 聚焦三角形全章核心知识，通过基础辨析、动态探究及学具操作题，分层考查几何直观与推理能力，适配八年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|9题/96分|全等证明、尺规作图、动态全等、三角板探究|26题结合教材“折纸与证明”活动，27题通过三角板不同摆放探究全等与数量关系，体现数学探究与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 6．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 8．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 10．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 11．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 12．在直角三角形中，若斜边与斜边上的中线之和为，则斜边长为______． 13．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 14．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 15．如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 16．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 17．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 18．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 三、解答题：本题共9小题，共96分. 19．（8分）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 20．（10分）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 21．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 22．（10分）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 23．（10分）如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 24．（11分）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 25．（11分）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 26．（13分）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 27．（13分）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，求解即可； 【详解】解：A．，能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，不能组成三角形； 3．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 4．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 6．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 7．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，先求出长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等得，即点到的距离为． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 由作图知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 8．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：钉上一根木条把四边形分成两个三角形，此做法的依据是三角形的稳定性． 10．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【答案】 【详解】 在和中， ， ． 故需添加条件． 11．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 12．在直角三角形中，若斜边与斜边上的中线之和为，则斜边长为______． 【答案】 【分析】设斜边长为，则斜边中线长为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设斜边长为，则斜边中线长为， 由题意得， 解得， ∴斜边长为． 13．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 14．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 15．如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 16．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 17．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 18．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 【答案】或 【分析】分两种情形：当时，如图，过点作于，证明，可得结论；当时，如图，点与重合，此时． 【详解】解：当时，如图，过点作于． ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 在和中， ， ， ， ， ； 当时，如图，点与重合，此时． 综上所述，满足条件的的长度为或． 三、解答题：本题共9小题，共96分. 19．（8分）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略（8分） 20．（10分）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长．（10分） 21．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)如图： (2)15 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，掌握三角形的面积的求法是解题的关键． （1）直接利用网格结合垂线与平行线的判定方法作图即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：观察线段在正方形的对角线上，故过点P朝直线的一侧作正方形的对角线，与直线交于点E，则满足．线段在正方形的对角线上，故自点P同样作相同方向的正方形的对角线，与直线交于点F，则满足． （5分） （2）解：， 即，四边形的面积是15．（10分） 22．（10分）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略；（5分） （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11．（10分） 23．（10分）如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】(1) 如图： (2) 证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知， ， ∴， ∴，即， ∴平分． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 【详解】（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求；（5分） （2）略．（10分） 24．（11分）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴．（5分） （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ．（11分） 25．（11分）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【答案】(1)如图，即为所作， (2)如图，即为所作， 【分析】（1）根据网格特点，并结合全等三角形的判定定理画出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，并结合三角形面积画出图形即可． 【详解】（1）解：由网格特点可得，，， ∵， ∴；（5分） （2）解：由网格特点可得，，点到的距离是点到的距离的两倍， ∴为等腰三角形，且．（11分） 26．（13分）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边， 所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边， 所以在中，．所以． 所以．即． （2）① ② 【分析】（1）连接，在中，利用大边对大角得出，在中，利用大边对大角得出，即可得出结论． （2）①将沿翻折，得到，点B落在上的点E处，过点E作于F，利用角平分线的性质得，利用勾股定理与三角形面积公式求解即可； ②将沿翻折，得到，则点C落在的延长线上的点E处，过点E作于N，交于M，根据垂线段最短，可得此时最小，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略（5分） （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，， ∴， ∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得， ∴， ∴；（9分） ②如图，将沿AD翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M， 此时最小， 由①知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为．（13分） 【点睛】本题考查勾股定理，三角形边角的不等关系，翻折的性质的应用，线段垂直平分线，角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． 27．（13分）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ；（2分） ②∵， ∴，， ∴；（4分） （2）解：略（8分） （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（13分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 6．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 8．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 10．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 11．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 12．在直角三角形中，若斜边与斜边上的中线之和为，则斜边长为______． 13．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 14．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 15．如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 16．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 17．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 18．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 三、解答题：本题共9小题，共96分. 19．（8分）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 20．（10分）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 21．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 22．（10分）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 23．（10分）如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 24．（11分）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 25．（11分）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 26．（13分）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 27．（13分）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D C D A D C 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 三角形具有稳定性 10. 11. 6 12. 13.4 14. 15. 10 16. 17. 3 18.或 三、解答题：本题共9小题，共96分. 19．（8分） 【答案】证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略（8分） 20．（10分） 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长．（10分） 21．（10分） 【答案】(1)如图： (2)15 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，掌握三角形的面积的求法是解题的关键． （1）直接利用网格结合垂线与平行线的判定方法作图即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：观察线段在正方形的对角线上，故过点P朝直线的一侧作正方形的对角线，与直线交于点E，则满足．线段在正方形的对角线上，故自点P同样作相同方向的正方形的对角线，与直线交于点F，则满足． （5分） （2）解：， 即，四边形的面积是15．（10分） 22．（10分） 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略；（5分） （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11．（10分） 23．（10分） 【答案】(1) 如图： (2) 证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知， ， ∴， ∴，即， ∴平分． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 【详解】（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求；（5分） （2）略．（10分） 24．（11分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴．（5分） （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ．（11分） 25．（11分） 【答案】(1)如图，即为所作， (2)如图，即为所作， 【分析】（1）根据网格特点，并结合全等三角形的判定定理画出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，并结合三角形面积画出图形即可． 【详解】（1）解：由网格特点可得，，， ∵， ∴；（5分） （2）解：由网格特点可得，，点到的距离是点到的距离的两倍， ∴为等腰三角形，且．（11分） 26．（13分） 【答案】 （1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边， 所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边， 所以在中，．所以． 所以．即． （2）① ② 【分析】（1）连接，在中，利用大边对大角得出，在中，利用大边对大角得出，即可得出结论． （2）①将沿翻折，得到，点B落在上的点E处，过点E作于F，利用角平分线的性质得，利用勾股定理与三角形面积公式求解即可； ②将沿翻折，得到，则点C落在的延长线上的点E处，过点E作于N，交于M，根据垂线段最短，可得此时最小，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略（5分） （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，， ∴， ∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得， ∴， ∴；（9分） ②如图，将沿AD翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M， 此时最小， 由①知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为．（13分） 【点睛】本题考查勾股定理，三角形边角的不等关系，翻折的性质的应用，线段垂直平分线，角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． 27．（13分） 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ；（2分） ②∵， ∴，， ∴；（4分） （2）解：略（8分） （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（13分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $