（江苏淮安）2026-2027学年苏科版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形）

**基本信息** 2026-2027学年八上三角形单元检测卷，通过基础辨析（如三角形三边关系、高的作法）、情境应用（空调固定的稳定性原理）及综合探究（动点问题、逆命题证明），分层考查几何直观与推理能力，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/24|三角形三边关系、高的作法、稳定性|第3题结合生活情境考查稳定性，体现数学眼光| |填空|8/24|全等判定（ASA）、等腰三角形周长、角平分线性质|第15题动态全等条件探究，培养推理意识| |解答题|11/102|作图（垂直平分线）、逆命题证明、动点周长平分|25题逆命题多思路证明，27题动点运动路径分析，发展创新意识与空间观念|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A C D C C C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. /72度 10. 11. 12. 25 13.10 14. 4 15. 3或6 16. 三、解答题：本题共11小题，共102分. 17．（6分） 【答案】解：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据证明即可． 【详解】解：略．（6分） 18．（6分） 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ．（6分） 19．（10分） 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)平行 (3) 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，网格中求三角形面积，熟知平移的知识是解题的关键． （1）由点A和点的位置可知平移方式为向右5个单位长度，向上平移4个单位长度，据此确定的位置，描出，并顺次连接即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略（3分） （2）解：由平移的性质可得线段与线段的位置关系是平行； （6分） （3）解：由题意得，．（10分） 20．（6分） 【答案】 【分析】作的角平分线即可． 【详解】略（6分） 21．（6分） 【答案】解：如下图，即为所求， 【分析】作线段的垂直平分线交于D，得，得，即可得解． 【详解】略．（6分） 22．（10分） 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； (2)4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴．（10分） 23．（10分） 【答案】(1)证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； (2)2.5 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略（5分） （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5．（10分） 24．（10分） 【答案】(1)如图，点D即为所求． (2) 如图，点E即为所求， (3) 如图，点F即为所求． 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，网格中的作图，根据网格的特点正确作图是关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）根据网格特点作等腰三角形即可； （3）根据网格的特点可知，据此利用网格的特点作图即可． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）略（10分） 25．（12分） 【答案】(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；真 (2)选择想法一：如图， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 选择想法二：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择想法三：如图， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）将原命题改写为“如果……，那么……”的形式，再调换条件和结论，即为逆命题，并判断真假即可； （2）结合（1）可知，需要证明的命题为，“在中，，若，求证：”．对于想法一，由直角三角形的性质容易证明是等边三角形，从而得到；对于想法二，利用垂直平分线的性质可得，，，，容易证明，从而得到，则；对于想法三，由轴对称的性质容易证明是等边三角形，从而得到． 【详解】（1）解：原命题可改写为：“在直角三角形中，如果有一个角为，那么其所对的直角边等于斜边的一半”， ∴逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是”，这是一个真命题；（3分） （2）略（12分） 26．（12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ．（4分） （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为．（8分） （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴．（12分） 27．（14分） 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则；（3分） （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：；（6分） （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：，（10分） （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A．B．C．D． 3．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 4．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 10．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 11．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 12．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 13．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 14．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 15．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 16．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共11小题，共102分. 17．（6分）与的位置如图所示，，．试说明． 18．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 19．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． (1)把进行平移， 得到， 使点A与对应， 请在网格中画出 (2)线段与线段的位置关系是 ；（填“平行”或“相交”  ） (3)求出的面积． 20．（6分）如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 21．（6分）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（10分）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 23．（10分）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，方格纸中小方格的边长均为1，的顶点都在格点上，请你只用无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作点D，使得； (2)在图2中的边上作点E，使为等腰直角三角形； (3)在图3中作一个格点F（不与点B重合），使得． 25．（12分）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 26．（12分）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 27．（14分）在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 2．张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：∵题目要求作中边上的高， ∴该高线应过顶点，且垂直于边所在的直线， 、过点作交的延长线于点，符合定义，符合题意． 、作的是，不是三角形边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意． 3．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性． 4．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 5．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 8．如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先判定为等腰直角三角形，利用斜边中线性质得到相等线段与等角，通过证明与全等，由此验证①②；借助全等三角形面积相等进行等面积转化，推导四边形与的面积关系验证③；结合等腰三角形性质与三角形边长关系，判断与长度不相等，否定④，最后统计正确结论数量． 【详解】在△中，，， △是等腰直角三角形， ， 是中点， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， △是等腰直角三角形，故①正确；②正确； △△ ， ，故③正确； △是等腰直角三角形，是的中点， ， 无法证明与一定相等，故④错误； 即正确的有3个． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【答案】/72度 【分析】首先求出，然后由全等得到，，然后利用等边对等角求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 10．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 11．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 12．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】25 【分析】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 13．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 【答案】10 【详解】解：∵点是平分线上一点，且，， ∴， 又∵， ∴． 14．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 15．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 16．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 三、解答题：本题共11小题，共102分. 17．（6分）与的位置如图所示，，．试说明． 【答案】解：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据证明即可． 【详解】解：略．（6分） 18．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ．（6分） 19．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． (1)把进行平移， 得到， 使点A与对应， 请在网格中画出 (2)线段与线段的位置关系是 ；（填“平行”或“相交”  ） (3)求出的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)平行 (3) 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，网格中求三角形面积，熟知平移的知识是解题的关键． （1）由点A和点的位置可知平移方式为向右5个单位长度，向上平移4个单位长度，据此确定的位置，描出，并顺次连接即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略（3分） （2）解：由平移的性质可得线段与线段的位置关系是平行； （6分） （3）解：由题意得，．（10分） 20．（6分）如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 【答案】 【分析】作的角平分线即可． 【详解】略（6分） 21．（6分）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如下图，即为所求， 【分析】作线段的垂直平分线交于D，得，得，即可得解． 【详解】略．（6分） 22．（10分）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； (2)4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴．（10分） 23．（10分）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； (2)2.5 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略（5分） （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5．（10分） 24．（10分）如图，方格纸中小方格的边长均为1，的顶点都在格点上，请你只用无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作点D，使得； (2)在图2中的边上作点E，使为等腰直角三角形； (3)在图3中作一个格点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)如图，点D即为所求． (2) 如图，点E即为所求， (3) 如图，点F即为所求． 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，网格中的作图，根据网格的特点正确作图是关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）根据网格特点作等腰三角形即可； （3）根据网格的特点可知，据此利用网格的特点作图即可． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）略（10分） 25．（12分）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 【答案】(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；真 (2)选择想法一：如图， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 选择想法二：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择想法三：如图， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）将原命题改写为“如果……，那么……”的形式，再调换条件和结论，即为逆命题，并判断真假即可； （2）结合（1）可知，需要证明的命题为，“在中，，若，求证：”．对于想法一，由直角三角形的性质容易证明是等边三角形，从而得到；对于想法二，利用垂直平分线的性质可得，，，，容易证明，从而得到，则；对于想法三，由轴对称的性质容易证明是等边三角形，从而得到． 【详解】（1）解：原命题可改写为：“在直角三角形中，如果有一个角为，那么其所对的直角边等于斜边的一半”， ∴逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是”，这是一个真命题；（3分） （2）略（12分） 26．（12分）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ．（4分） （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为．（8分） （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴．（12分） 27．（14分）在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则；（3分） （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：；（6分） （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：，（10分） （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或．（14分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：150分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A．B．C．D． 3．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 4．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 10．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 11．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 12．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 13．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 14．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 15．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 16．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共11小题，共102分. 17．（6分）与的位置如图所示，，．试说明． 18．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 19．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． (1)把进行平移， 得到， 使点A与对应， 请在网格中画出 (2)线段与线段的位置关系是 ；（填“平行”或“相交”  ） (3)求出的面积． 20．（6分）如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 21．（6分）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（10分）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 23．（10分）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，方格纸中小方格的边长均为1，的顶点都在格点上，请你只用无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作点D，使得； (2)在图2中的边上作点E，使为等腰直角三角形； (3)在图3中作一个格点F（不与点B重合），使得． 25．（12分）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 26．（12分）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 27．（14分）在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $