精品解析：江苏淮安市曙光双语实验学校2025-2026学年上学期第二次学情自测八年级数学试卷

初二数学试卷（A） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数：，0，，﹣1.5，，2.161161116⋯，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 10，15，20 D. 7，24，25 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 5. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 已知函数的图象不经过第二象限，且该函数图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数（为常数，），当时，．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______． 10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+m的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点，若x1<x2，则y1_____y2．（填“） 11. 如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 12. 如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是______ 13. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 14. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是________． 15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______． 16. 如图，在中，，点D在内，且分别平分与，延长交于点E，若，则______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的 （1）； （2）． 18. 已知的平方根是，的立方根是，求的值． 19. 阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： （1）的整数部分是_____，小数部分是______． （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 20. 数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆的长． 21. 如图，是射线上一点（不与端点重合），垂直平分线段是射线上一点（不与端点重合），连接的平分线与的延长线相交于点． （1）若，求的大小； （2）若，求的大小． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）填空：不等式：的解集是______； （3）若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 23. 请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）． （1）如图1，在中，，，在边上求作一点D，使得； （2）如图2，在中，是钝角，在边的延长线上求作一点E，使得． 24. 为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 根据上述信息解决以下问题： （1）求的值． （2）当时，求关于的函数表达式． （3）小红家月份、月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中月份用水量低于月份用水量，求小红家月份的用水量． 25. 如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象． （1）填空：a的值为　 ，m的值为　 ，AB两地的距离为　 　km． （2）求m小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式． （3）请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象． 问题一：认识“形函数” （1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______； （2）已知：直线 ①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值． … 0 … … … 直接写出表格中的值是______； ②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ③当时，“形函数”值的取值范围是______； 问题三：反思延申 ④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 27. 探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试卷（A） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数：，0，，﹣1.5，，2.161161116⋯，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的意义，逐个数进行判断即可． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，整数和分数都是有理数，因此无理数有，，2.161161116⋯ 共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的定义；掌握好无理数的定义是本题的关键． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根的概念，熟练掌握算术平方根及立方根的概念是解决本题的关键． 根据算术平方根及立方根的概念化简求解即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 10，15，20 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义．判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标性质，点A与点B的横纵坐标均互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴ ， 即， ∴， 故答案为：B． 5. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，利用分类讨论的思想求解． 6. 已知函数的图象不经过第二象限，且该函数图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，且经过点， ，，， ，， ， 结论中A，B，D正确，不符合题意；错误的是C，符合题意； 故选：C． 7. 已知一次函数（为常数，），当时，．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，分当，，两种情况讨论，再结合当时，，得出不等式，解不等式即可． 【详解】解：当时，一次函数（为常数，），y随x的增大增大，不符合题意； 当时，一次函数（为常数，），y随x的增大减小，符合题意； 一次函数为常数，，当时，， ∴， ， ， 故选：D． 8. 勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______． 【答案】3.142 【解析】 【分析】根据近似数的四舍五入法则，精确到0.001需观察万分位数字进行取舍． 【详解】解：精确到0.001即保留三位小数，观察3.1415926…的万分位数字为5， 根据四舍五入法则，向千分位进1，千分位上的1加1后变为2， 因此该数的近似值为3.142． 10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+m的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点，若x1<x2，则y1_____y2．（填“） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小判断即可． 【详解】解：∵一次函数y=-2x+m中，k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为＞ 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 11. 如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 12. 如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求解方程组的解． 【详解】解：直线和直线交于点， 方程组的解就是点的坐标． 故答案为：． 13. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 14. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知，随着的增大而减小，且时，，进而得到当时，，即可． 【详解】解：根据表格可知，随着的增大而减小，且时，， ∴当时，， 故答案为：． 15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解． 【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟， 3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完， 则排水速度为升/分钟， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键． 16. 如图，在中，，点D在内，且分别平分与，延长交于点E，若，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】延长，截取，连接，根据三角形内角和定理及角平分线得出，再由边角边确定，得出，，，设，根据三角形内角和定理得出方程，确定，再由三角形外角的性质即可求解，作出相应辅助线构造全等三角形是解题关键． 【详解】解：延长，截取，连接，如图所示： ∵，分别平分与， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的 （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义:若，则． 【小问1详解】 解： ， ∴或 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴． 18. 已知的平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根和平方根的综合问题，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 19. 阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： （1）的整数部分是_____，小数部分是______． （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【小问1详解】 解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 20. 数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆的长． 【答案】8m 【解析】 【分析】设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得． 【详解】设旗杆的长为． 根据题意，得，，． 在中，， ． ． 解方程，得． 答：旗杆的长为8m． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形． 21. 如图，是射线上一点（不与端点重合），垂直平分线段是射线上一点（不与端点重合），连接的平分线与的延长线相交于点． （1）若，求的大小； （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，正确理解题意是解题关键： （1）先根据垂直平分线的性质得出，得出，进而根据角平分线的定义得出答案； （2）设，得出，再根据等腰三角形的性质得出，进而根据三角形内角和定理得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：垂直平分线段，点在上， ， ． ， 平分， ． 【小问2详解】 设， ． ， ． ． ． ． 的大小为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）填空：不等式：的解集是______； （3）若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）根据题意得出，再利用待定系数法求解即可； （2）根据两条直线的交点坐标，结合函数图象得出答案即可； （3）先求出点B的坐标，得出的面积，分两种情况分析：当点D在直线左侧时，当点D在直线右侧时，结合图形分别计算面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 将点、代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：根据图象可知：不等式的解集是：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）得直线的解析式为：， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点D在直线左侧时， ， ∴此时点M与点D重合， ∴； 当点D在直线右侧时， 设点D的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为 综上：点D的坐标为或． 23. 请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）． （1）如图1，在中，，，在边上求作一点D，使得； （2）如图2，在中，是钝角，在边的延长线上求作一点E，使得． 【答案】（1） 解：如图，点即为所作， （2） 解：如图，点即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，正确理解题意是解题的关键． （1）作出线段的垂直平分线与交点即为点，连接，则，那么，由三角形的外角性质得到； （2）用直尺延长，在延长线上，截取，连接，则，则，再由三角形的外角性质得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 根据上述信息解决以下问题： （1）求的值． （2）当时，求关于的函数表达式． （3）小红家月份、月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中月份用水量低于月份用水量，求小红家月份的用水量． 【答案】（1） （2） （3）小红家6月份的用水量为吨 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析，自变量或函数值的计算方法是关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解析式即可； （3）根据函数关系，分类讨论：①当吨时；②当吨时，③当吨时，结合函数关系求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 【小问2详解】 解：当时，设关于的函数解析式为，把点，代入得，， 解得，， ∴； 当时，； 当时，关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：小红家月份、月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨， 设小红家月份的用水量为吨、月份的用水量为吨； ①当吨时， ∴月份水费为元，7月份的费用为元， ∴， 解得：， ∵，为整数， ∴为整数， ∴，不符合题意； ②当吨时， ∴月份水费为元，7月份的费用为元， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，是整数， ∴为至之间能被整除的整数， ∴， ∴此时； ③当吨时， ∴月份水费为元，7月份的费用为元， ∴ ∴，不符合题意； ∴小红家月份的用水量为吨． 25. 如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象． （1）填空：a的值为　 ，m的值为　 ，AB两地的距离为　 　km． （2）求m小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式． （3）请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围． 【答案】（1）120，1.5，480；（2）y＝80x﹣120；（3）当≤x≤3，两车与车站C的路程之和不超过300km． 【解析】 【分析】（1）先求出甲的速度，利用路程=速度×时间，可求a的值，m的值，AB的距离； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）∵甲的速度==60（km/h）， ∴BC的距离a=60×2=120（km）， ∴AB=360+120=480（km）， ∴乙车速度==80（km/h）， ∴m==1.5（h）， 故答案为：120，1.5，480； （2）设1.5小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式y=kx+b， ， 解得：， ∴函数关系式为y=80x﹣120； （3）当0≤x≤1.5时，360﹣60x+120﹣80x≤300， ∴x≥， ∴当≤x≤1.5，两车与车站C的路程之和不超过300km， 当1.5＜x≤6时，360﹣60x+80x﹣120≤300， ∴x≤3， ∴当1.5＜x≤3时，两车与车站C的路程之和不超过300km， 综上所述：当≤x≤3，两车与车站C的路程之和不超过300km． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，解答本题的关键是明确题意，求出甲，乙速度，利用一次函数的性质解答． 26. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象． 问题一：认识“形函数” （1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______； （2）已知：直线 ①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值． … 0 … … … 直接写出表格中的值是______； ②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ③当时，“形函数”值的取值范围是______； 问题三：反思延申 ④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）或； （2）①； ②该函数的图象如图所示． ③； ④或． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）先得出时的函数解析式，把代入即可得答案； （2）①先求出，根据“对称变换”的定义，利用待定系数法得出时的函数解析式为，把代入即可求出的值； ②根据表格描点，画出图像即可； ③分别得出时，，时，，函数最小值为，由图像可知，时，函数取最小值，即可得答案； ④先得出当时，，时，，把，点，分别代入，求出值，即可得答案． 【详解】解：（1）∵函数经过得到的“形函数”的图象， ∴当时，函数的解析式为， ∴该“形函数”的解析式为， ∴当时，或． （2）①∵直线经过得到“形函数”， ∴当时，， ∴当时，函数解析式为， ∴时，， 设时的函数解析式为， ∵时，图像经过，， ∴， 解得：， ∴时的函数解析式为， ∴当时，， 解得：． 故答案为： ②略 ③时，，时，， 由图像可知，时，函数取最小值， ∴当时，“形函数”值的取值范围是． ④∵将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位， ∴当时，， 当时，， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围为或． 27. 探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】 （1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）；（3）8；（4） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $