第一次阶段检测（测试范围：第1章 三角形）2026-2027学年苏科版八年级数学上册（江苏南京）

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过太空漫步机稳定性等生活情境、动点旋转等动态探究设计，考查几何直观、推理能力与创新意识，适配八年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|全等图形辨析、三角形三边关系|图形对比强化空间观念，基础概念分层设题| |填空|10/20|角平分线性质、垂直平分线应用|结合生活实例（如漫步机）渗透模型意识| |解答|9/64|尺规作图、动态几何证明|综合题（如动点旋转）培养推理能力与创新意识|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 5．如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 8．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 10．中，，，则______． 11．如图，已知，若，，则的值为_____． 12．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 13．如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 14．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 15．如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 16．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 17．如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 18．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）如图，已知在线段上，与交于点，且．求证：． 20．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 21．（6分）已知， (1)在边上求作一点，使得点到边的距离相等； (2)在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 22．（6分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长． 23．（6分）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 24．（6分）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 25．（8分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 26．（8分）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 27．（10分）如图①，在长方形中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点为边上一点，且，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)如图②，当点落在边的延长线上时，求线段的长； (3)当点在边上运动时，若，求的值； (4)连接，当为轴对称图形时，的值为________（写出两个即可）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）总分：100分考试时间：100min 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分 4 6 8 C C A B B A D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.三角形具有稳定性 10.60 11.4 12.4 13.∠D=∠C(或OA=OB或 ∠OBC=∠OAD) 3 14.2 15.25 16.30°或150° 17.718.5 三、解答题：本题共9小题，共64分 19.(6分) 【答案】见解析 【分析】先证明出BF=CE,再由HL证明RtABF≌Rt△DCE,即可得到∠B=∠C, 【详解】证明：BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 在RtAABF和Rt△DCE中， AB=DC BF=CE .Rt△ABF≌Rt△DCE(HL) .∠B=∠C.(6分) 20.(6分) 【答案】(1) 如图所示，△4BC即为所求； 1/12 B (2)5 (3)如图，点P即为所求. A(A) B B,C 【分析】(1)作点B,C关于直线1的对称点 ，再依次连接即可： (2)根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案： (3)根据“两点之间线段最短”解答。 【详解】(1)略(2分) （2解：54g=3x4x3x1-x3x1-×4x2=5,4分) 2 2 2 (3)解：连接BP BP=BP 可知 PB+PC=PB +PC BC PB +PC 根据两点之间线段最短可得连接交直线1于点P,此时 C最短，即PB+PC最短. (6分) 21.(6分) 【答案】(1) 2/12 如图，点D即为所作 B D (2) 如图，点E即为所作. B D 米 【分析】(1)作∠ACB的角平分线即可： (2)过点D作AC的垂线即可. 【详解】(1)解：略；(3分) (2)解：略.(6分) 22.(6分) 【答案】(I)△ABC是等边三角形 (2)△ABC周长为11或12或13 【分析】(1)根据平方的非负性判断即可； (2)根据三角形三边关系计算即可. 【详解】(1)解：(a-b)+(b-c}=0 .a-b=0,b-c=0, ..a=b=c. .△ABC是等边三角形：(3分) (2)解：：a=5,b=2, ∴.5-2<c<5+2,即3<c<7, .c为整数， 3/12 c=4,5,6 ∴.当c=4时，周长a+b+c=5+2+4=11: 当c=5时，周长a+b+c=5+2+5=12； 当c=6时，周长a+b+c=5+2+6=13: △4BC周长为1或12或13.(6分) 23.(6分) 【答案】(I)证明：，BC∥DE, .∠ACB=∠D, 在△ABC和△ECD中， 「∠ACB=∠D ∠BAC=∠E BC=CD △ABC≌△ECD(AAS) (2)8 【分析】(1)先得出∠ACB=∠D,再根据AAS定理即可得证： (2)得出CD=BC=13,AC=DE=5,即可得AD的长. 【详解】(1)略.(3分) (2)解：由(1)已证：△ABC≌△ECD, ∴CD=BC,AC=DE, DE=5,BC=13, .AC=5,CD=13, AD=CD-AC=13-5=8.(6分) 24.(6分) 60 【答案】（①13cm (2)7cm 【分析】)根据三角形的面积公式解答即可； (2)利用三角形中线的定义可得4E=BE,即得△8CE的周长a4CE的周长BC-AC,代入已知数据即 4/12 可求解 【详解】(1)解：：CD是△ABC的高，∠ACB=90°， Sk-号4cD-4cC, .AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm, x13xCD-x5x12. .2 2 :CD=60 =13cm;(3分) (2)解：：CE是△ABC的中线， .AE=BE, ∴.△BCE的周长-△ACE的周长 =BC+CE+BE-(AC+CE+AE) =BC-AC =12-5 =7cm.(6分) 25.(8分) 【答案】∠A=30; BC=1AB 2 若选择方法一： 如图：延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD, B D ·∠ACB=90°，∠BAC=30° .∠B=90°-∠BAC=60°，∠ACD=180°-∠ACB=90°， .∠ACD=∠ACB=90°， 在△BCA和△DCA中， 5/12 AC=AC ∠ACB=∠ACD BC=DC △BCA≌ADCA(SAS) .AD=AB, ∴.△ABD是等边三角形， .AB=BD. BC=CD=1BD .BC-AB: 2 若选择方法二： 如图，在线段AB上取一点D,使得BD=BC,连接CD, B ∠ACB=90°，∠A=30°， .∠B=90°-∠A=60°， .△BCD是等边三角形， ∴.BC=BD=DC,∠BCD=60°， .∠DCA=∠ACB-∠BCD=30° .∠DCA=∠A=30°， .'DC=DA, 1 BC=BD=DA=AB 即BC=4B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟 练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键。 根据定理及图形补全已知求证； 6/12 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B=60°，再利用平角定义求出∠ACD=90°，从 而可得∠ACD=∠ACB=90°，然后利用SAS证明△BCA≌△DCA,从而可得AD=AB,进而可得△ABD 是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB=BD,即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B=60°，从而可得△BCD是等边三角形，然后利 用等边三角形的性质可得BC=BD=DC,∠BCD=6O°，从而可得∠DCA=∠A=30°，进而可得DC=DA, 最后利用等量代换可得BC=BD=DA=)AB,即可解答. 【详解】解：己知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30° 求证：aC=4.(8分 26.(8分) 【答案】(1)= (2)证明：如图，连接BE,CE B GD .EF⊥AB,EH⊥CA ∴.∠EFA=∠H=90° 又：∠EAF=∠EAH,EA=EA :△EAF≌aEAH(AAS) .AF AH ∴.AF+AC=AH+AC=HC ·EG垂直平分BC ∴.EB=EC ,EF⊥AB,EH⊥CA ∴.EFB=∠H=90° 又.EF=EH 7/12 RteEBF≌RtECH(HL) ∴.BF=HC ∴.AF+AC=BF 【分析】(I)过点E作EH⊥CA交CA的延长线于点H,求出∠EAF=∠EAH,然后利用角平分线的性 质定理求解： (2)连接BE,CE,首先证明E1FOEH(AAS),符到4F=H,指出AF+AC=AH+AC=HC 然后证明 RtEBF≌RtCH(L),得到BF=HC,即证明4F+AC=BF。 【详解】(I)解：如图，过点E作EH1CA交CA的延长线于点H, GD AD⊥AE ∴.∠EAD=90° .∠EAF+∠FAD=90°，∠EAH+∠CAD=90° :AD平分∠BAC ∴.∠FAD=∠CAD ∴.∠EAF=∠EAH ,EF⊥AB,EH⊥CA .EF =EH, ∴点E到AC的距离=EF；(4分) (2)略(8分) 27.(10分) 3 3 【答案】()当0<1≤2时，BP=3-21:当<1≤2时，BP=21-3: 9 (2)DF=1; 8/12 3125 (3)1的值为10或6： 59 ④)，或2或2 【分折】（山动点P折签B-BC运动，得分两段表示BP:当0<1时，方P车AB边，由 3 .9 AP=2r得BP=3-21:当2<1≤2时，点P在BC边上，总路程减去AB边长，得BP=21-3: (2)由旋转性质得EP=EF,∠PEF=9O°，结合直角推出等角，用AAS证aBEP≌aCFE,得 CF=BE=BC-CE=4.因F在CD延长线上，故DF=CF-CD=4-3=1: 7〉 (3)点P在BC边上时，分两种位置：P在BE段2 31 EP=21-?·分别代入Bp二4EP列方程，解得0或1=6： (4)△CEF为轴对称图形等价于等腰三角形，分三类讨论：①CF=EF,对应t=1;②CE=EF,P在 5 BE段时t= 2,P在CE段时(=2，共三个符合条件的t值. .3 【详解】(1)解：当0<1≤2时，AP=21, ∴BP=AB-AP=3-2t: 3 当2<t≤2时，AB+BP=21. BP=21-3;(2分) (2)解：由旋转可知，EP=EF,∠PEF=90°， ∠BEP+∠CEF=90°， ∠B=90°」 ∴.∠BEP+∠BPE=90°， .∠BPE=∠CEF, 在△BEP和△CFE中， 9/12 ∠B=∠C ∠BPE=∠CEF EP=EF .△BEP≌△CFE(AAS) .CF=BE=BC-CE=6-2=4, :DF=CF-CD=4-3=1:(4分) (3)解：当点P在BC边上运动时，BP=2t-3, 7 13时，点p在线段E上，如图，则EP=BB-P=4-24-3)=7户 D F B PE C.21-3=4(7-2） 解得别。 9 当213时，点p在线段CE上，如图，则EP=BP-BB=24-3-4=21-7: A D B E C ∴.2t-3=4(2t-7) 解得名 3125 综上所述，t的值为10或6；(7分) (4)解：当△CEF为轴对称图形时，△CEF为等腰三角形， 皆0<时，点p在AB吐，此时CE=EF,作G1C于点G如图 10/12 P B .FG⊥BC,EF=CF, EG=CE-1. 2 由旋转可知，EP=EF,∠PEF=90°， .∠BEP+∠CEF=90°， ∠B=90°， ∴.∠BEP+∠BPE=90°， ∠BPE=LCEF, 在△BPE和△GEF中， ∠B=∠EGF ∠BPE=∠CEF EP=EF ∴.△BPE≌△GEF(AAS) .BP=EG=1, .3-21=1, 解得t=1: 3 7 当)<1≤2时，点p在线段BE上，如图， 由旋转得，EF=EP,∠PEF=90°， ∠CEF=180°-∠PEF=90°， EF=CE=2,即PE=2, ∴.2t-3+2+2=6 11/12 5 解得=2： 9 当2<1≤2时，点p在线段CE上，如图， A D E C(P) ,EF=EP=2t-3-4=2t-7 .2t-7=2 9 解得1=2 59 综上所述，的值为1或2或2：(10分) 12/12 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，错误； B、，不能组成三角形，错误； C、，能够组成三角形，正确； D、，不能组成三角形，错误． 3．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 5．如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，且，即可得通过使得． 【详解】解：由题意得 ， ， 又， 在和中 6．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 7．如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【答案】A 【分析】连接，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，当点、、在同一直线上时，的周长最小，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上时，的周长最小，为． 8．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：太空漫步机是一种有氧运动器材，它的三角形支架设计应用的几何原理是三角形具有稳定性． 10．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 11．如图，已知，若，，则的值为_____． 【答案】 4 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等，即，进而利用线段的和差关系得出的长 ． 【详解】解：， ， ． 12．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． 13．如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 【答案】（或或） 【分析】根据三角形全等的判定方法有，，和四种，本题中已知的条件是一组边和一组公共角，则可添加一个角或一条边就可以得到三角形全等． 【详解】解：①添加， 在和中， ∴； ②添加， 在和中， ∴； ③添加， 在和中， ∴． 14．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 【答案】 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴． 15．如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 16．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 17．如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 【答案】7 【分析】过点D作于点E，于H，先根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质可以得到，求出的面积，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，于H， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）如图，已知在线段上，与交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明出，再由证明，即可得到． 【详解】证明：， ，即， 在和Rt中， ， ．（6分） 20．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)5 (3)如图，点P即为所求． 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）略（2分） （2）解：；（4分） （3）解：连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． （6分） 21．（6分）已知， (1)在边上求作一点，使得点到边的距离相等； (2)在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 【答案】(1) 如图，点即为所作． (2) 如图，点即为所作． 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）过点作的垂线即可． 【详解】（1）解：略；（3分） （2）解：略．（6分） 22．（6分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形 (2)周长为11或12或13 【分析】（1）根据平方的非负性判断即可； （2）根据三角形三边关系计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． ∴是等边三角形；（3分） （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，周长； 当时，周长； 当时，周长； ∴周长为11或12或13．（6分） 23．（6分）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略．（3分） （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴．（6分） 24．（6分）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴；（3分） （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ．（6分） 25．（8分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 【答案】；； 若选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 若选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据定理及图形补全已知求证； 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：已知：如图，在中，，． 求证：．（8分） 26．（8分）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【详解】（1）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离；（4分） （2）略（8分） 27．（10分）如图①，在长方形中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点为边上一点，且，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)如图②，当点落在边的延长线上时，求线段的长； (3)当点在边上运动时，若，求的值； (4)连接，当为轴对称图形时，的值为________（写出两个即可）． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)； (3)的值为或； (4)或或 【分析】（1）动点P沿折线运动，需分两段表示：当时，点P在边上，由得；当时，点P在边上，总路程减去边长，得； （2）由旋转性质得，，结合直角推出等角，用证，得．因F在延长线上，故； （3）点P在边上时，分两种位置：P在段，；P在段，．分别代入列方程，解得或； （4）为轴对称图形等价于等腰三角形，分三类讨论：①，对应；②，P在段时，P在段时，共三个符合条件的t值． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴；（2分） （2）解：由旋转可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；（4分） （3）解：当点在边上运动时，， 当时，点在线段上，如图，则， ， 解得； 当时，点在线段上，如图，则， ， 解得， 综上所述，的值为或；（7分） （4）解：当为轴对称图形时，为等腰三角形， 当时，点在边上，此时，作于点，如图， ∵，， ∴， 由旋转可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得； 当时，点在线段上，如图， 由旋转得，，， ， ，即， ， 解得； 当时，点在线段上，如图， ， ， 解得， 综上所述，的值为或或．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 5．如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 8．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 10．中，，，则______． 11．如图，已知，若，，则的值为_____． 12．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 13．如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 14．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 15．如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 16．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 17．如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 18．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）如图，已知在线段上，与交于点，且．求证：． 20．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 21．（6分）已知， (1)在边上求作一点，使得点到边的距离相等； (2)在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 22．（6分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长． 23．（6分）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 24．（6分）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 25．（8分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 26．（8分）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 27．（10分）如图①，在长方形中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点为边上一点，且，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)如图②，当点落在边的延长线上时，求线段的长； (3)当点在边上运动时，若，求的值； (4)连接，当为轴对称图形时，的值为________（写出两个即可）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $