1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三级分层设计，实现从单一概念到综合问题的递进，适配新授课知识内化与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方向向量、法向量的基本计算|以单选、填空为主，直接应用定义（如第1题方向向量参数求解），强化概念理解| |中档层|几何模型中的向量表示|结合正方体、长方体背景（如第2、11题），通过多选、解答题提升推理能力| |拔高层|综合应用与拓展|四棱锥中法向量求解（第10题）、最值问题（第12题），渗透数学建模与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [分值：80分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分 1.已知直线l过点A(0，0，1)，且直线l的一个方向向量为a=(1，1，2)，若点M(x，y，4)在直线l上，则(　　) A.x+y=2 B.x+y=3 C.x+y=4 D.x+y=5 2.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是(　　) A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2) B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1) 3.已知平面α={P|n·=0}，其中点P0(-1，2，5)，平面α的法向量n=(1，1，1)，则下列各点在平面α内的是(　　) A.A(1，2，3) B.B(0，3，6) C.C(1，1，1) D.D(0，0，0) 4.已知点A(1，-2，0)，直线AB的一个方向向量为a=(-3，4，6)，||=2|a|，且与a方向相反，则点B的坐标为(　　) A.(-7，6，12) B.(7，-10，-12) C.(7，-6，12) D.(-7，10，12) 5.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为　　　　.(写出一个方向向量的坐标)  6.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a=　　　　. 7.(13分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2). (1)写出直线BC的一个方向向量；(6分) (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.(7分) 8.(多选)已知直线l过点P(1，0，-1)，且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是(　　) A.(1，-4，2) B. C. D.(0，-1，1) 9.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　　　. 10.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则等于(　　) A. B. C. D.1 12.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [分值：80分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分 1.已知直线l过点A(0，0，1)，且直线l的一个方向向量为a=(1，1，2)，若点M(x，y，4)在直线l上，则(　　) A.x+y=2 B.x+y=3 C.x+y=4 D.x+y=5 答案　B 解析　由题意，=(x，y，3)，且∥a，所以存在实数λ，使得=λa，即(x，y，3)=λ(1，1，2)=(λ，λ，2λ)， 所以 所以x+y=2λ=3. 2.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是(　　) A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2) B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1) 答案　AC 解析　由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1). 对于A，B项，可知=(-1，1，1)， 所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则 又=(0，-1，1)，=(-1，0，1)， 所以 令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确； 对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则 又=(0，-1，1)，=(-1，0，0)， 所以 令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确. 3.已知平面α={P|n·=0}，其中点P0(-1，2，5)，平面α的法向量n=(1，1，1)，则下列各点在平面α内的是(　　) A.A(1，2，3) B.B(0，3，6) C.C(1，1，1) D.D(0，0，0) 答案　A 解析　对于A，=(2，0，-2)，则 n·=2×1+0×1+(-2)×1=0，则点A在平面α内，故A正确； 对于B，=(1，1，1)，则 n·=1×1+1×1+1×1=3≠0，则点B不在平面α内，故B错误； 对于C，=(2，-1，-4)，则 n·=2×1+(-1)×1+(-4)×1=-3≠0，则点C不在平面α内，故C错误； 对于D，=(1，-2，-5)，则 n·=1×1+(-2)×1+(-5)×1=-6≠0，则点D不在平面α内，故D错误. 4.已知点A(1，-2，0)，直线AB的一个方向向量为a=(-3，4，6)，||=2|a|，且与a方向相反，则点B的坐标为(　　) A.(-7，6，12) B.(7，-10，-12) C.(7，-6，12) D.(-7，10，12) 答案　B 解析　设B(x，y，z)， ∵A(1，-2，0)，∴=(x-1，y+2，z)， ∵||=2|a|，且与a方向相反，a=(-3，4，6)， ∴=-2a=(6，-8，-12)， ∴解得 ∴B(7，-10，-12). 5.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为　　　　.(写出一个方向向量的坐标)  答案　(答案不唯一) 解析　设直线l的方向向量为d=(x，y，z)， 则所以 令y=1，则z=-2，x=，所以直线l的一个方向向量为d=. 6.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a=　　　　. 答案　-1 解析　设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)， 又=(-1，1，0)，=(-1，0，1)， 所以取x=1，得n=(1，1，1)， 因为P(a，1，1)在平面ABC内，=(a-1，1，1)， 则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1. 7.(13分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2). (1)写出直线BC的一个方向向量；(6分) (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.(7分) 解　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)， 即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) (2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)， ∵是平面α的法向量， 则·=0， 即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0. ∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0. 化简得x-y+z-2=0. 8.(多选)已知直线l过点P(1，0，-1)，且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是(　　) A.(1，-4，2) B. C. D.(0，-1，1) 答案　ABC 解析　由题意可知，平面α的法向量垂直于向量a=(2，1，1)和向量， =(1，2，3)-(1，0，-1)=(0，2，4)， 选项A，(2，1，1)·(1，-4，2)=0，(0，2，4)·(1，-4，2)=0，满足垂直，故A正确； 选项B，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足垂直，故B正确； 选项C，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足垂直，故C正确； 选项D，(2，1，1)·(0，-1，1)=0，但(0，2，4)·(0，-1，1)≠0，故D错误. 9.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　　　. 答案　2∶3∶(-4) 解析　由已知得，=， =， ∵a是平面α的法向量， ∴a·=0，a·=0， 即解得 ∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 10.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 解　连接FP，FC，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA=PB，F为AB的中点， 所以FP⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，FP⊂平面PAB， 所以FP⊥平面ABCD，因为FB，FC⊂平面ABCD，所以FP⊥FB，FP⊥FC， 连接AC，因为AB=BC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又F为AB的中点，所以FC⊥FB. 综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直， 所以以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意，AB=1，FP=FC=， 则F(0，0，0)，D，E， 所以=，=， 设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，则 即 令y=2，则x=，z=-2，即n=(，2，-2)， 所以平面DEF的一个法向量为n=(，2，-2)(答案不唯一). 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则等于(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　设AM=x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，=(0，x，-2)， 因为平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则n·=0，即2x-2=0，解得x=1， 故AM=1，MB=3-1=2，故=. 12.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为　　　　. 答案　 解析　依题意，=(-2，3，0)，=(0，-3，6)，=(x-2，y，2)， 设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)， 则 令c=1，得m=(3，2，1)， 依题意，m·=0，则3x+2y=4， 则+=(3x+2y) =≥ =， 当且仅当x=4-，y=2-4时取等号. . 学科网（北京）股份有限公司 $