1.1.1 空间向量及其线性运算(第2课时)共线向量与共面向量 word版 课时作业-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，梯度覆盖空间向量共线、共面等核心知识，从概念理解到综合应用，培养抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量共线判定、共面条件、线性表示|9题，含选择（单/多）、解答题，如向量共线求参数（题1）、三点共线判断（题3），夯实基础概念| |更上层楼|空间向量综合应用、参数计算|4题，如正四棱锥中交点参数（题10）、向量共面求λ（题12），提升逻辑推理能力| |探究发现|复杂几何体向量问题|2题，正方体（题14）、正四面体（题15）中向量应用，发展空间观念与创新意识|

课时作业(二) 1．若a，b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则λ＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C. D．－ 2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　) A．m，n，p共线　　　　　 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 3．已知向量a，b不共线，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 4．【多选题】已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有(　　) A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 5．已知非零向量a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝(　　) A．－13 B．－5 C．8 D．13 6．【多选题】若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法错误的是(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则平面α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) 7．已知四面体O－ABC，P为底面ABC上一点，满足2＝x＋y＋z，则下列等式一定成立的是(　　) A．x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x＋y＋z＝－1 D．x＋y＋z＝2 8．若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列向量组中不共面的一组向量为(　　) A．a－b，b＋c，c＋a B．－a＋c，－b－c，a＋b C．a＋b，b－c，a＋c D．a＋b，a－b，c 9.如图所示，四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量a，b，c表示向量，； (2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面． 10.如图，在正四棱锥P－ABCD中，＝，＝2，设平面AEF与直线PC交于点G，＝λ，则λ＝(　　) A. B. C. D. 11．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线．如果＝m＋＋，则m的值为________． 12．若e1，e2，e3是三个不共面的向量，a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝e1＋2e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________． 13．如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必在(　　) A．平面BAD1内 B．平面BA1D内 C．平面BA1D1内 D．平面AB1C1内 15．已知正四面体P－ABC的棱长为1，空间中任一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.则||的最小值为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(二) 1．若a，b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则λ＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C. D．－ 答案　D 2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　) A．m，n，p共线　　　　　 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 答案　D 解析　由于a＋b＋a－b＝2a， 即m＋n＝2p，即p＝m＋n， 又m与n不共线，所以m，n，p共面． 3．已知向量a，b不共线，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案　A 解析　连接AD，＝＋＋＝a＋2b＋(－5a)＋6b＋7a－2b＝3a＋6b，所以＝3，又AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．故选A. 4．【多选题】已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有(　　) A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 答案　ACD 解析　由＝2＋3，可得，，共面，又它们有公共点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；＝3－－＝3－＋，3－1＋1≠1，故A，B，C，D四点不共面，故B错误；由∥，且AB，AC有公共点A，可得A，B，C三点共线，则A，B，C，D四点一定共面，故C正确；＝＋3－5＝－－3＋5，－1－3＋5＝1，故A，B，C，D四点一定共面，故D正确．故选ACD. 5．已知非零向量a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝(　　) A．－13 B．－5 C．8 D．13 答案　B 解析　因为a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp，则解得x＝－13，y＝8，所以x＋y＝－5. 6．【多选题】若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法错误的是(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则平面α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) 答案　ABC 解析　当a与b共线时，A不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b线性表示，对空间向量则不一定，故C不正确，D正确． 7．已知四面体O－ABC，P为底面ABC上一点，满足2＝x＋y＋z，则下列等式一定成立的是(　　) A．x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x＋y＋z＝－1 D．x＋y＋z＝2 答案　B 解析　因为P∈平面ABC，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝m(－)＋n(－)＝(－m－n)＋m＋n，所以2＝(－2m－2n)＋2m＋2n＝x＋y＋z，则x＝－2m－2n，y＝2m，z＝2n，因此x＋y＋z＝0. 8．若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列向量组中不共面的一组向量为(　　) A．a－b，b＋c，c＋a B．－a＋c，－b－c，a＋b C．a＋b，b－c，a＋c D．a＋b，a－b，c 答案　D 解析　a－b＋(b＋c)＝c＋a，所以a－b，b＋c，c＋a是共面向量；－a＋c＋(－b－c)＝－a－b＝－(a＋b)，所以－a＋c，－b－c，a＋b是共面向量；a＋b－(b－c)＝a＋c，所以a＋b，b－c，a＋c是共面向量；令a＋b＝x(a－b)＋yc，显然x，y无解，故a＋b，a－b，c不是共面向量． 9.如图所示，四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量a，b，c表示向量，； (2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面． 解析　(1)＝－＝－a， 因为＝＋， 而＝，＝－， 又D为BC的中点，所以＝(＋)， 所以＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． (2)证明：连接GH，则＝－， 又＝＝×(＋)＝(b＋c)， 所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a＝－， 又＝－，所以＝. 所以M，N，G，H四点共面． 10.如图，在正四棱锥P－ABCD中，＝，＝2，设平面AEF与直线PC交于点G，＝λ，则λ＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　连接AC，因为＝＋＝＋＋，所以＝＋－＋－＝＋－，因为＝，＝2，所以＝2，＝，所以＝＋2－，又＝λ，所以＝，所以＝＋－，因为A，E，F，G共面，所以＋－＝1，解得λ＝. 11．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线．如果＝m＋＋，则m的值为________． 答案　－2 解析　连接OP，因为＝－， 所以由＝m＋＋得－＝m＋＋， 即＝m＋2＋， 因为O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，且四点共面， 所以m＋2＋1＝1，故m＝－2. 12．若e1，e2，e3是三个不共面的向量，a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝e1＋2e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________． 答案　－ 解析　因为e1，e2，e3是三个不共面的向量，又a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则e1＋2e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，则解得 13．如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解析　方法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋. 又因为＝＋＋＋＝－＋－－，以上两式相加得＝2， 所以与共线． 方法二：连接AE，因为四边形ABEF为平行四边形，所以N为AE的中点． ∴＝－＝2－2＝2(－)＝2. 所以与共线． 14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必在(　　) A．平面BAD1内 B．平面BA1D内 C．平面BA1D1内 D．平面AB1C1内 答案　C 解析　连接PA1，PD1，PB，则＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6(－)－4(－) ＝11－6－4，又11－6－4＝1， 于是M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内． 15．已知正四面体P－ABC的棱长为1，空间中任一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.则||的最小值为________． 答案　 解析　由＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可知M与A，B，C共面，则||的最小值为三棱锥P－ABC的高，如图，设O为P在平面ABC上的射影，连接CO并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，所以CO＝，所以三棱锥的高为PO＝＝.即||的最小值为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $