1.1.2空间向量的数量积运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算同步练，通过三级梯度设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|数量积定义、运算律、投影向量|单选题1考查运算律辨析，填空题8默写公式，夯实概念理解| |技能应用层|简单几何体中数量积计算|单选题4三棱锥中点数量积，解答题11正方体计算与证明，提升运算能力| |综合拓展层|复杂几何体综合应用|解答题13平行六面体棱长与异面直线夹角，解答题14正三棱锥探究，发展逻辑推理与空间想象|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.1.2空间向量的数量积运算同步练 一、单选题 1.关于空间向量a,b,c,下列运算错误的是() A.ai=ià B.(a+b).c=a.c+b.c c.λab=λà-b D.(a.b).c=a.(B.c) 2.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，向量AB在AC上的投影向量为(） A.AC B.A元 3.在空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB=∠A0C=石，则osOi,BC的值是 () 2 B.2 D.0 4.如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱的长度都等于1，点E,F,G分别是AB,AD, CD的中点，则亦·E元=（） B. 2 A.4 C.2 D.1 5.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0, 则△BCD是() A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 二、多选题 1 6.已知空间向量a,b,c,则下列说法正确的是() A.a.b=b.a B.若ab=ac,则b=c c.ai=à6c D.若向量a,同向共线，则后6=a6 7.已知空间单位向量PA,PB,PC两两之间的夹角均为60°，PA=2P龙，BC=2B, 则下列说法正确的是() A网丽-号 B.商+=-克 C.=2 D.cosA,C市=3 三、填空题 8.①a⊥b: ②a.a= =: ®1a-isla6月 ④a-i=λai月 ⑥ai= (交换律)： ®a+6-= (分配律). 9.如图，平行六面体ABCD-A1B,C1D的所有棱长均为2，AB,AD,AA1两两所成夹 角均为60°，点E,F分别在棱BB1,DD1上，且BE=2B1E,D1F=2DF,则AC·EF= D A B F 10.如图所示，在棱长均为2的平行六面体ABCD-ABCD中， ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，点M为BC与BC的交点，则AM的长为 2 D' D B 四、解答题 11.如图，己知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，M和N分别是BB和CA的中点. C B D以 M N C D (1)求cA的值： (2)求证： MN⊥BB 12.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求： D (1)EF.BA' (②)E更·BD 3)B.C市 3 13.在如图所示的平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=1'AD=2'AA1=22 ∠A1AB=∠A1AD=45,∠BAD=60,设AB=a'AD=6AA,=亡 D 6 B 1)用a6表示ACBD:AC: (2)求AC1的长： (3)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值. 14.已知正三棱锥D-ABC如图所示，其中AC=BC=AB=2,AD=3,点D在平面 ABC内的投影为点E,点F为线段BD上靠近B的三等分点. D B (1)若EF=xAB+yAC+zAD,求x,y,z的值： (2)求EF·AD的值 参考答案 1.D 解析：由数量积运算的交换律可得a·b=b·a,选项A正确。 由数量积运算的分配率可得a+=a+6·2选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得λā~6=入ā~选项C正确， (日-表示与：共线的向量，ā-6表示与a共线的向量，a-与后6不一定相 等，选项D错误 2.B 解析：因为在正方体ABCD-A1BC1D1中，AB,=BC=AC, 所以△AB1C正三角形，过点B1作B1O⊥AC,垂足为O D C B A D 则A0=号AC,所以向量A克，在A元上的投影向量为A0=号AC 3.D 解析：由题意OA·BC=OAOC-OB=OA·O元-OA·Oi =O1l0心cosg-6i6元sA91 oc-1o. 62 又0B=OC,即OB=|O元得OABC=0: 所以cosOA,BC= OA·B =0 oABC) 4.A 解析：：E,F,G分别为AB,AD,CD的中点，则E萨=号BD,F花=号AC, 1 由已知三棱锥A-BCD为正三棱锥，取BD中点为O,连接OA,OC, 由已知△ABD和△CBD为正三角形，则AO⊥BD,CO⊥BD, 又AOn CO=O,且AO,COC平面AOC,则BD⊥平面AOC,又ACc平面AOC 则BD⊥AC,即BD·AC=0, 则酝底=亦廊+号劢D+}C)4丽} 5.B 解析：设AB|=a,AC=b,AD|=c,a>0,b>0,c>0), 因为AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0, 所以AB⊥AC,AC⊥AD,AB⊥AD, 因此BC1=a+b,CDl=Vb+c,BD1=a+C 从而cos∠BCD=BC+1CDP-BDf-a2+b2+b2+c2-(a+c2) 2b2 >0 2|BC·ICDI 2BC CD 2IBC·ICD COs2 BDC=BDP+ICDP-IBCP_++b+c2-(d+b2) 2c2 >0 2 BDCD 2BD CD 2IBDI·ICD cosCBD=BCP+BDP-CDP_+b+a+-(b+c) 2a >0 2|BC·|BD 2BCBD 2BC·|BD| 即△BCD的三个内角都为锐角，因此△BCD是锐角三角形， 6.AD 解折：选项A,因为a-6=a6cosa,6=6-a所以A正确： 选项B,当a=0时，a·b=a·c=0,但无法得到b=c,所以B错误； 选项C,a-ic=mcm∈Rr6:c-a=nan∈Ry而a与：末必共线且m,n不一定同 时为0，所以C错误： 选项D,由于向量a,同向共线，所以cosa,=1所以a6=a6所以D正确. 2 7.ABC 解标：对于A,由愿：丽·P3=1×1×c0s60=号故A正确， 对于B,BC+AC=A.p-PB+P心-丽=i2P元-P丽-) =2i·p元-iP防-i=2×1×1×cs60°-1=1-号1=-2放B正确： 对于C,由所=2P陀，得号A=P陀，由BC=2B晾，得P心-P克=2P元-2P范 →Pi=P心+P ,所以市=P所-P克_P心+P电-A 2 则床c+P西-=号Pc+PB-A 了2 2 r7-HH·dC一ad·dU十，V十，a十，IA 号11-2 故C正确： 对于D,=p晾--P心+B-2丽，所以亦C办-Pc+i-2丽P心 2 3 心4m交-2i正1号2* 2一1，故cos(AF,C2<0.故D错误. 2 2 8. a.b=0 la b.a ac+b·c 解析：由平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，且AB,AD,AA1两两所成 夹角均为60°， 设AB=a,AD=b,AA1=则1a=|6==2且a,6=60,a,c=60°，6，c=60 如图所示，连接AE,AF,AC,由BE=2B1E,D1F=2DF, 可利应=证-证=+号DD,-B号B成=-B+而号AA=-i+6, AC=AB+AD=a+b 所以Acm=(a+6(-a+6-c)=-a+-}āc-五-e 3 3 =-4+4-1×2×2c0s60°-1×2×2c0s60=-4 3 3 3 D E 10.V11 解析：根据向量加法三角形法则得到，AM=店+B丽=A范+号BC+BB, 2, 即随=恋+号+号AA即=恋+号市+号AA 展开得到， A=+号亦+}AA2+恋而+丽AA+亦：AA, 运用数量积公式计算得到A应2=4+1+1+2×2×号+2×2×+×2×2×1-11 22 因为1A=V,所以AM=R五 11.(1)-1 (2)证明见解析 解析：(1)正方体ABCD-ABCD中，AB⊥BC,AA⊥AB, 有ABBC=0'AA·AB=0 所以CA·AB=AB·C范+BA+AA=AB·CB+AB·B函+AB·AA=0-1+0=-1 (2)证明：正方体ABCD-ABCD中，BB⊥BA,BB⊥BC, 有BB⊥A'BB⊥BC 4 因为M和N分别是BB和CA的中点，则N为BD的中点， 所以MN∥BD且MN=之BD.即迹=号D. 则有 BB-M亦=BB}BD=商+BCB8=·B8+B元·B8=×0+0=0, 所以成⊥BB 2哈 解折：(1).=号BD·BA=号×1×1×= 24 200D-号0号 3)E=BD+BAB+号B-号BD-GB+BD-A+BACB+ /2 4 2 4 *1111*11 22 8 13.(①)AC,=a+b+'BD,=-a+b+'A0=a+b (233 )3V105 35 解析：(1)AC,=A+BC+CC,=AB+AD+AA,=ā+6+ BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA=-a+b+c AC=AB+BC=AB+AD=a+b, (2)a=1'6=2'=22 ab=1,bc=4,c…a=2, 因为AC=(a+i+ 5 =@2+b2+2+2a.b+b.c+c.a) =1+4+8+2×1+4+2=27, 所以AC=33:即AC,的长为33： (3)因为BD,=b+-a'AC=a+i 同理可求得BD,=/15:AC=V7 又因为BD,:AC=6+-aa+动 =B2-a2+c.a+b.c=9, 所以cos BD,AC= BD1·AC 9 39V105 BD,AC15×7 35 所以异面直线AC与BD1所成角的余弦值为 V105 35 40x字y=字2 1 (2)3 解析：1)萨=廊+=恋-正+}动 =丽-吉丽+A+号而-吉丽 3 号丽号AC+号D, 又EF=xAB+yAC+zAD, 1 (2)由余弦定理得c0s∠DAC=3+2-32-1 2×3×23 易知c0s∠DAB=3子+22-31 2×3×23 故丽而-传-花+兮动而 3 6 AB-AD-号AD-AC+号AD 3 3 3 官2×3写有32*写号=3 Γ3 33 “RA0=3 7