1.4.1 第2课时空间中直线、平面的平行 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间中直线、平面平行，通过基础概念辨析、几何模型应用到综合探究的三层设计，实现从知识理解到能力提升的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方向向量/法向量平行判定、充要条件|多选/填空结合，如第1题方向向量共线判断，强化概念辨析| |进阶层|线面/面面平行证明、坐标法求参数|正方体/四面体模型，如第10题用坐标法证线面平行，培养推理能力| |提高层|轨迹问题、存在性探究、最值计算|动态情境与综合应用，如第15题旋转体中平行存在性，发展空间观念与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第2课时　空间中直线、平面的平行 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分 1.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A.a=，b=(-2，-4，0) B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1) C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0) D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8) 2.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n=0”是“l∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，则(　　) A.l∥α或l⊂α B.l∥α C.l⊂α D.l与α斜交 4.(多选)已知平面α与平面β平行，若n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为(　　) A.(-1，2，-4) B.(-1，2，4) C.(2，4，-8) D.(-2，4，-8) 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 6.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A.(1，1，1) B. C. D. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ(λ∈R)，若B1F∥平面A1BE，则λ等于(　　) A. B. C. D. 8.若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，若α∥β，则m=　　　　，若l∥α，则n=　　　　. 9.已知空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，-1，0)，且ST∥平面PQR，则y=　　　　　. 10.(10分)如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD. 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为(　　) A. B. C.2 D.1 12.(多选)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ADC=，AB=AD=AP=1，CD=2，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则(　　) A.= B.= C.= D.四边形AMNQ的面积为 13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是侧面AA1D1D内(包含边界)的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE的长度的最小值为　　　　　. 14.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 15.(15分)如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (1)求证：AC⊥AB；(6分) (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.(9分) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第2课时　空间中直线、平面的平行参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分 1.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A.a=，b=(-2，-4，0) B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1) C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0) D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8) 答案　AB 解析　对于A，易知a=-b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a=-2b，所以l1∥l2，B正确；对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确. 2.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n=0”是“l∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若m·n=0，则l∥α或l⊂α，故充分性不成立，若l∥α，则m·n=0，故必要性成立，所以“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分条件. 3.若直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，则(　　) A.l∥α或l⊂α B.l∥α C.l⊂α D.l与α斜交 答案　A 解析　∵直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)， ∴a·u=2+5-7=0， ∴a⊥u， ∴l∥α 或l⊂α. 4.(多选)已知平面α与平面β平行，若n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为(　　) A.(-1，2，-4) B.(-1，2，4) C.(2，4，-8) D.(-2，4，-8) 答案　AD 解析　因为平面α与平面β平行，且n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量， 则平面α的法向量与n平行，因为(-1，2，-4)=-n，(-2，4，-8)=-n， 向量(-1，2，4)，(2，4，-8)与向量n不共线，所以AD选项中的向量可以作为平面α的法向量. 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案　B 解析　根据题意建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)， ∴M(2，1，1)，N(1，1，2)， ∴=(-1，0，1). 又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0，1，0)， ∴·n=-1×0+0×1+1×0=0， ∴⊥n， 又MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 6.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A.(1，1，1) B. C. D. 答案　C 解析　方法一　由题意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，，0)， 则=(-，0，1)，=(，-，0)， 设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=，则x=1，y=1， 所以n=(1，1，)， 又=(a-，a-，1)， 所以·n=a-+a-+=0， 解得a=，即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于点O，连接OE， 由AM∥平面BDE， 且AM⊂平面ACEF， 平面ACEF∩平面BDE=OE，得AM∥OE， 又O是正方形ABCD对角线的交点， 所以M为线段EF的中点. 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1). 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ(λ∈R)，若B1F∥平面A1BE，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　方法一　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得=(-1，0，1)，=， 设n=(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则 令z=2，则x=2，y=1，即n=(2，1，2)， 由=(1，0，0)，且=λ， 可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)， 又因为B1(1，0，1)，则=(λ-1，1，0)， 由B1F∥平面A1BE， 可得n·=2(λ-1)+1×1+2×0=0， 解得λ=. 方法二　如图，取CD的中点M，连接BM，EM，易证A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME， 易知当F为C1D1的中点时，B1F∥BM，又B1F⊄平面A1BE，BM⊂平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ=. 8.若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，若α∥β，则m=　　　　，若l∥α，则n=　　　　. 答案　　-20 解析　由α∥β，得u∥v，则==，解得m=；由l∥α，得t⊥u，即t·u=-n-4-16=0，得n=-20. 9.已知空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，-1，0)，且ST∥平面PQR，则y=　　　　　. 答案　± 解析　由题意得=(-y，-2，-1)，=(1，0，-1)，=(-1，1-y，0). 设平面PQR的法向量为n=(a，b，c)， 则 令a=1-y，可得b=1，c=1-y， 则n=(1-y，1，1-y)， 由ST∥平面PQR可得n·=-y(1-y)-2-1+y=0，解得y=±. 10.(10分)如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD. 证明　如图，取BD的中点O，连接OP，因为P是BM的中点，所以OP∥MD，又AD⊥平面BCD，则OP⊥平面BCD.以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 由题意知，A(0，，2)，B(0，-，0)，D(0，，0). 设点C的坐标为(x0，y0，0)， 则=(x0，y0-，-2). 因为=3， 所以==， 所以Q. 因为M为AD的中点，所以M(0，，1). 因为P为BM的中点，所以P，所以=. 因为平面BCD的一个法向量为a=(0，0，1)，所以·a=0， 因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为(　　) A. B. C.2 D.1 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知，C(2，2，0)，D1(2，0，2)，E(0，0，1)，C1(2，2，2)， 由M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，可设M(0，y，z)，0≤y≤2，0≤z≤2， 则=(0，-2，2)，=(2，0，1)，=(-2，y-2，z-2)， 设平面CD1E的法向量为n=(a，b，c)， 则 令a=1，则n=(1，-2，-2)， ∵C1M∥平面CD1E，∴·n=0， 即-2-2(y-2)-2(z-2)=0， 整理得y+z-3=0. ∵M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，取y=2，得z=1；取z=2，得y=1， ∴点M的轨迹长度为=. 12.(多选)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ADC=，AB=AD=AP=1，CD=2，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则(　　) A.= B.= C.= D.四边形AMNQ的面积为 答案　ACD 解析　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 过C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E， 因为∠ADC=，CD=2， 所以CE=DE=2， 所以C(2，3，0)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 则=(1，0，-1)，=(2，3，-1)，=(0，1，-1)， 设=λ，=μ，=m，λ，μ，m∈(0，1)， 所以=λ=(λ，0，-λ)，所以M(λ，0，1-λ)， 同理=μ=(2μ，3μ，-μ)，所以N(2μ，3μ，1-μ)， =m=(0，m，-m)，所以Q(0，m，1-m)， 所以=(λ，0，1-λ)，=(2μ，3μ-m，m-μ)， 因为四边形AMNQ为平行四边形，所以=， 即解得 所以=，=，=，故A，C正确，B错误； =，=， 所以cos〈，〉===，又〈，〉∈(0，π)， 所以sin〈，〉==， 所以四边形AMNQ的面积S=||||sin〈，〉=××=，故D正确. 13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是侧面AA1D1D内(包含边界)的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE的长度的最小值为　　　　　. 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD=AA1=2，AB=4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点， 所以B1(2，4，2)，M(2，2，0)，N(1，4，0)，E(0，2，2)， 设P(x，0，z)(x，z∈[0，2])， 平面B1MN的法向量为m=(a，b，c)， 又=(0，-2，-2)，=(-1，0，-2)，=(x，-2，z-2)， 所以即取a=-2，则m=(-2，-1，1)， 因为PE∥平面B1MN， 所以·m=-2x+2+z-2=0，则z=2x，即=(x，-2，2x-2)， 于是||===， 故当x=，z=时，线段PE的长度取得最小值=. 14.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解　如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 则O，P， A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设Q(0，1，m)(0≤m≤1). 方法一　因为=， =(-1，-1，1)， 所以∥，于是OP∥BD1. 又=，=(-1，0，m)， 当m=时，=， 即∥，所以AP∥BQ， 又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B， 所以平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　=， =. 设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1=1，则n1=(1，1，2). 又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m). 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2=1，则n2=(m，1-m，1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此==，解得m=， 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 15.(15分)如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (1)求证：AC⊥AB；(6分) (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由.(9分) (1)证明　在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，即AA1⊥AB， 由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC， 则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角， 而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角， 因此∠CAB=90°，所以AC⊥AB. (2)解　由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直， 以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)，所以=(0，-1，2)， =(0，2，0)，=(1，1，0). 假设在线段BB1上存在点P(包括端点)，使得直线A1C∥平面AMP，设=t=(0，-t，2t)，0≤t≤1， 则=+=(0，2-t，2t)，设平面AMP的法向量为n=(x，y，z)， 于是取y=-2t，得n=(2t，-2t，2-t)， 由直线A1C∥平面AMP，得⊥n，而=(2，0，-2)，则·n=4t-2(2-t)=0，解得t=， 所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP，此时点P为线段BB1上靠近B1的三等分点. . 学科网（北京）股份有限公司 $