1.4.1第2课时 空间中直线、平面的平行 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合探究三层设计，以空间向量为工具，实现从线线平行到面面平行的知识进阶，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|线线、线面平行的向量判定|如选择1-5题，通过坐标运算巩固方向向量、法向量平行概念| |提升层|空间几何体中的平行关系|如选择6-8题、填空11题，结合正方体、长方体考查线面平行证明| |综合层|折叠与探究性问题|如解答14-15题，通过折叠模型、存在性探究深化综合应用能力|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.若空间中四点A（1，2，3），B（－1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），则直线AB与CD的关系为（　 　） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 2.已知e1，e2，e3为空间内三个不共面的向量，平面α和平面β的法向量分别为a＝e1＋λe2＋3e3和b＝－e1＋2e2＋μe3，若α∥β，则λ＋μ＝（　 　） A.5 B.－5 C.3 D.－3 3.对于任意空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），给出下列三个结论：①a∥b⇔＝＝；②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 其中正确的个数为（　 　） A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知平面α的一个法向量a＝（x，2y－1，－），b＝（－1，2，1），c＝（3，，－2），且b，c都与α平行，则a等于（　 　） A.（－，－，－） B.（－，，－） C.（－，，－） D.（－，－，－） 5.已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），平面β的一个法向量为n＝（－1，－1，－1），且β与α不重合，则（　 　） A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 6.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　 　） A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.不能确定 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（　 　） A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 8.（多选）已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点.建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　 　） A.平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B.直线AE∥平面PCD C.直线FE∥平面PAD D.直线DF∥平面PAB 二、填空题 9.若两条直线的方向向量分别是a＝（2，4，－5），b＝（－6，x，y），且两条直线平行，则x＝ ，y＝ . 10.设直线l的方向向量为a＝（－1，－1，1），平面α的法向量为n＝（2，2，4），则直线l与平面α的位置关系为 . 11.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则 （1）PQ与BD的位置关系是 ； （2）｜A1P｜的最小值为 . 三、解答题 12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：C1F∥平面ABE. 13.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD. 14．如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG. 15.如图所示的几何体为圆台的一部分，上、下底面分别为半径为1，2的扇形，D1O＝OB，体积为. （1）求AB； （2）劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面AD1M，猜想并证明. 解析版 一、选择题 1.若空间中四点A（1，2，3），B（－1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），则直线AB与CD的关系为（　A　） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 2.已知e1，e2，e3为空间内三个不共面的向量，平面α和平面β的法向量分别为a＝e1＋λe2＋3e3和b＝－e1＋2e2＋μe3，若α∥β，则λ＋μ＝（　B　） A.5 B.－5 C.3 D.－3 解析：因为e1，e2，e3为空间内三个不共面的向量，所以{e1，e2，e3}可以作为空间的一个基底，又平面α和平面β的法向量分别为a＝e1＋λe2＋3e3和b＝－e1＋2e2＋μe3且α∥β，所以a∥b，则a＝tb（t∈R），即e1＋λe2＋3e3＝t（－e1＋2e2＋μe3），所以解得所以λ＋μ＝－5.故选B. 3.对于任意空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），给出下列三个结论：①a∥b⇔＝＝；②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 其中正确的个数为（　B　） A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知平面α的一个法向量a＝（x，2y－1，－），b＝（－1，2，1），c＝（3，，－2），且b，c都与α平行，则a等于（　C　） A.（－，－，－） B.（－，，－） C.（－，，－） D.（－，－，－） 5.已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），平面β的一个法向量为n＝（－1，－1，－1），且β与α不重合，则（　A　） A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 解析：∵＝（0，1，－1），＝（1，0，－1），n·＝（－1）×0＋（－1）×1＋（－1）×（－1）＝0，n·＝（－1）×1＋（－1）×0＋（－1）×（－1）＝0，∴n⊥，n⊥.又AB∩AC＝A，∴n是平面α的一个法向量.又平面α与平面β不重合，∴α∥β. 6.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　B　） A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析：根据题意建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A（2，2，2），A1（2，2，0），C（0，0，2），B（2，0，2），∴M（2，1，1），N（1，1，2），∴＝（－1，0，1）.又平面BB1C1C的一个法向量为n＝（0，1，0），∴·n＝（－1）×0＋0×1＋1×0＝0，∴⊥n，又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（　B　） A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 解析：设正方体的棱长为1，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），则＝（1，0，1），＝（－1，1，0），设＝（a，b，c），则a＋c＝0，且－a＋b＝0，取＝（1，1，－1），又＝（－1，－1，1）＝－， ∴∥，又P∉BD1，∴PQ∥BD1. 8.（多选）已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点.建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　AC　） A.平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B.直线AE∥平面PCD C.直线FE∥平面PAD D.直线DF∥平面PAB 解析：因为D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，），F（0，，），所以＝（1，0，0），＝（，，）. 设平面ADE的法向量n＝（x，y，z）， 则⊥n，⊥n， 所以令z＝1，得y＝－1，又x＝0，所以n＝（0，－1，1），A正确.易知平面PCD的一个法向量为＝（1，0，0）.又因为＝（－，，），所以＝－≠0，与不垂直，所以AE与平面PCD不平行，B不正确. ＝（－，0，0），平面PAD的一个法向量为＝（0，1，0），＝0， 所以⊥，即EF⊥DC，又EF⊄平面PAD，所以直线FE∥平面PAD，C正确. 设平面PAB的法向量m＝（x1，y1，z1），由＝（0，1，0），＝（1，0，－1），得 令x1＝1，得z1＝1，得m＝（1，0，1）.又＝（0，，），所以·m＝≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，D不正确. 二、填空题 9.若两条直线的方向向量分别是a＝（2，4，－5），b＝（－6，x，y），且两条直线平行，则x＝　－12　，y＝　15　. 解析：因为两条直线平行，且两条直线的方向向量分别是a＝（2，4，－5），b＝（－6，x，y），所以a∥b.所以存在λ∈R，使b＝λa，则（－6，x，y）＝λ（2，4，－5），所以解得 10.设直线l的方向向量为a＝（－1，－1，1），平面α的法向量为n＝（2，2，4），则直线l与平面α的位置关系为　l∥α或l⊂α　. 解析：因为a＝（－1，－1，1），n＝（2，2，4），所以a·n＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则l∥α或l⊂α. 11.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则 （1）PQ与BD的位置关系是　平行　； （2）｜A1P｜的最小值为　　. 解析：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0）， 因为P，Q均在平面A1B1C1D1内， 所以设P（a，b，1），Q（m，n，1）， 所以＝（－1，1，－）， ＝（a－1，b－1，1）， ＝（m－1，n－1，1）. 因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E，所以 解得所以m－a＝n－b， ＝（m－a，n－b，0）＝（n－b，n－b，0）， 又因为＝（－1，－1，0）， 所以PQ与BD的位置关系是平行. （2）由（1）可知b－a＝， ｜｜＝ ＝ ＝ ＝， 所以当a＝时，｜｜有最小值，为. 三、解答题 12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：C1F∥平面ABE. 证明：如图，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B（0，0，0），A（0，b，0），C1（a，0，c），F（，0，0），E（，，c）. 所以＝（0，－b，0），＝（，－，c）. 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 则y＝0，令x＝2，得z＝－， 即n＝（2，0，－）. 又＝（－，0，－c），所以n·＝0， 又C1F⊄平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. 13.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD. 证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，3，0），M（1，0，4），N（2，，4），E（0，，4），F（1，3，4）. 方法一：＝（1，，0），＝（1，，0），＝（－1，0，4），＝（－1，0，4）. ∴＝，＝. 又M∉EF，A∉BF，∴MN∥EF，AM∥BF. 易得MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD. 又AM，MN⊂平面AMN，AM∩MN＝M， ∴平面AMN∥平面EFBD. 方法二：连接DF.＝（－1，0，4），＝（0，，4），＝（0，，4），＝（1，3，4）， 设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2），则即 令x1＝1，得z1＝，y1＝－. 则即 令y2＝－1，得z2＝，x2＝. ∴n1＝（1，－，），n2＝（，－1，）. ∴n1＝n2，即n1∥n2，∴平面AMN∥平面EFBD. 14．如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG. 证明：如图，以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz， 则P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)， ＝(－2，0，2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1). 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， ∴即 ∴令x＝1，则z＝1，∴n＝(1，0，1). ∵n·＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0， ∴n⊥. 又AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG. 15.如图所示的几何体为圆台的一部分，上、下底面分别为半径为1，2的扇形，D1O＝OB，体积为. （1）求AB； （2）劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面AD1M，猜想并证明. 解：（1）由题意可知D1O＝OB＝2，设∠A1D1B1＝∠AOB＝α，上底面的面积为S1，下底面的面积为S2， 则S1＝×1×1×α＝，S2＝×2×2×α＝2α， 所以V＝×（S1＋＋S2）·DO1 ＝×（＋＋2α）·2＝＝， 解得α＝， 在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB＝12， 所以AB＝2. （2）不存在.证明如下： 过O作OB的垂线交劣弧AB于N，由（1）可知∠AOB＝，所以∠AON＝， 以ON，OB，OD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（，－1，0），D1（0，0，2），B1（0，1，2），O（0，0，0）， 设M（2cos β，2sin β，0）（－＜β≤）， 则＝（0，1，2），＝（－，1，2），＝（2cos β－，2sin β＋1，0）， 设平面AD1M的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 因为－＜β≤，所以2sin β＋1≠0， 取x＝2sin β＋1， 则n＝（2sin β＋1，－2cos β，sin β＋cos β）， 若OB1∥平面AD1M，则·n＝0， 即－2cos β＋2（sin β＋cos β）＝＋2sin β＝0，即2sin β＋1＝0，矛盾， 所以OB1∥平面AD1M不成立， 故劣弧AB上不存在M使OB1∥平面AD1M. 页 学科网（北京）股份有限公司 $