1.1.2 空间向量的数量积运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量的数量积运算，涵盖空间向量的夹角、数量积概念及运算律、投影向量等核心知识点，通过联系平面向量数量积，以“平移转化”为桥梁构建前后知识脉络，为学生提供从已知到未知的学习支架。 资料以正四面体、平行六面体为载体设计例题与延伸探究，分层设置基础练习与综合应用，帮助学生通过数学眼光建立空间观念，借助推理能力理解运算逻辑，用向量语言解决立体几何夹角、长度、垂直问题，有效培养数学思维与应用意识。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标]　1.理解和掌握空间向量数量积的概念及运算律.(重点)2.初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，掌握用数量积处理空间中夹角、长度、线面垂直问题的方法.(难点) 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. (3)向量垂直：如果〈a，b〉=，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉. 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. (2)运算律 ①(λa)·b=λ(a·b)，λ∈R. ②交换律：a·b=b·a. ③分配律：(a+b)·c=a·c+b·c. 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)对任意向量a，b，c，由a·b=a·c不一定推出b=c，另外(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等. 例1　已知空间向量|a|=，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-，则a在b上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 例2　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1. 延伸探究1　与的夹角等于(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 延伸探究2　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·；②·； ③·；④·. 延伸探究3　记=a，=b，=c.若=2a-2b，=b-c，则·=　　　　. 反思感悟　(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π. (2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 二、空间向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a，b同向时，a·b=； 当a，b反向时，a·b=-. (4)a·a=|a|2或|a|=. (5)|a·b|≤. (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 例3　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： ①·； ②AC'的长(精确到0.1). 例4　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c. 延伸探究1　|a-b+2c|等于(　　) A.5 B.6 C. D. 延伸探究2　若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. 延伸探究3　在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 延伸探究4　证明：异面直线AB与CD垂直. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 1.(多选)对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　) A.若a⊥b，b⊥c，则a∥c B.(a·b)c=a(b·c) C.a·(b+c)=a·b+a·c D.λa·b=λ(a·b) 2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为(　　) A.7 B.-20 C.28 D.11 3.在正三棱锥P-ABC中，·=||||，E，F分别是PA，PB的中点，则〈，〉等于(　　) A. B. C. D. 4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为，则=　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案1.1.2　空间向量的数量积运算参考答案 [学习目标]　1.理解和掌握空间向量数量积的概念及运算律.(重点)2.初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，掌握用数量积处理空间中夹角、长度、线面垂直问题的方法.(难点) 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. (3)向量垂直：如果〈a，b〉=，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉. 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. (2)运算律 ①(λa)·b=λ(a·b)，λ∈R. ②交换律：a·b=b·a. ③分配律：(a+b)·c=a·c+b·c. 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)对任意向量a，b，c，由a·b=a·c不一定推出b=c，另外(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等. 例1　已知空间向量|a|=，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-，则a在b上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 答案　D 解析　a在b上的投影向量为 |a|cos〈a，b〉·=×· =-·=-b. 例2　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1. 延伸探究1　与的夹角等于(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　D 解析　〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°. 延伸探究2　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·；②·； ③·；④·. 解　①·=· =||||cos〈，〉 =×1×1×cos 60°=. ②·=· =||||cos〈，〉 =×1×1×cos 0°=. ③·=· =||||cos〈，〉 =×1×1×cos 120°=-. ④·=+)·+) =·(-)+·(-)+·+·] =[-·-·+(-)·+·] =×=-. 延伸探究3　记=a，=b，=c.若=2a-2b，=b-c，则·=　　　　. 答案　-1 解析　由题意得a·b=· =||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=， 同理b·c=c·a=， 所以·=(2a-2b)·(b-c) =2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1. 反思感悟　(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π. (2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 二、空间向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a，b同向时，a·b=； 当a，b反向时，a·b=-. (4)a·a=|a|2或|a|=. (5)|a·b|≤. (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 例3　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： ①·； ②AC'的长(精确到0.1). 解　①·=||||cos〈，〉=5×3×cos 60°=7.5. ②||2=(++)2 =||2+||2+||2+2(·+·+·) =52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)=98+56， 所以AC'≈13.3. (2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α. 证明　如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g. 因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn. 将上式两边分别与向量l作数量积运算，得 l·g=xl·m+yl·n. 因为l·m=0，l·n=0， 所以l·g=0. 所以l⊥g. 这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α. 例4　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c. 延伸探究1　|a-b+2c|等于(　　) A.5 B.6 C. D. 答案　C 解析　由题意，得a·b=b·c=a·c=， a2=b2=c2=1， 所以|a-b+2c|= = ==. 延伸探究2　若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. 解　=++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b) =-a+b+c， 所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=， 所以||=，即E，G间的距离为. 延伸探究3　在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 解　由延伸探究2知，=-a+b+c， ||=， 又=-=c-a， 所以·=(-a+b+c)·(c-a) =(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c) =×=， 又||=1， 则cos〈·〉===. 故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为. 延伸探究4　证明：异面直线AB与CD垂直. 证明　=-=c-b， ·=a·(c-b)=a·c-a·b =-=0， 所以⊥，所以AB⊥CD. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 1.(多选)对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　) A.若a⊥b，b⊥c，则a∥c B.(a·b)c=a(b·c) C.a·(b+c)=a·b+a·c D.λa·b=λ(a·b) 答案　CD 解析　选项A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，满足⊥，⊥，此时⊥，故A说法错误； 选项B，(a·b)c表示与c共线的向量，a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等，故B说法错误； 选项C，向量的数量积满足乘法分配律，所以a·(b+c)=a·b+a·c，故C说法正确； 选项D，由数量积运算的数乘结合律可得λa·b=λ(a·b)，故D说法正确. 2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为(　　) A.7 B.-20 C.28 D.11 答案　C 解析　因为向量i，j，k是一组单位向量， 且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0. 因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k， 所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k) =40|j|2-12|k|2=40-12=28. 3.在正三棱锥P-ABC中，·=||||，E，F分别是PA，PB的中点，则〈，〉等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由·=||||cos〈，〉=||||， 所以cos〈，〉=，由于〈，〉∈，所以〈，〉=， 在正三棱锥中，PA=PB，则△PAB是等边三角形， E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB， 所以∠PFE=，所以〈，〉=π-=. 4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为，则=　　　　. 答案　 解析　====. . 学科网（北京）股份有限公司 $