1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中直线、平面垂直的向量表示及应用，通过类比空间平行的向量表示，以方向向量、法向量关系的问题导入，衔接旧知，搭建从向量工具到垂直关系证明的学习支架。 以问题驱动引导学生用数学眼光观察垂直关系，通过坐标法与基向量法培养数学思维，例题与跟踪训练结合强化数学语言表达，帮助学生转化几何问题为向量运算，提升逻辑推理与空间观念，适合师生高效教学。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标]　1.理解并掌握空间中直线、平面垂直的向量表示.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，能用向量方法证明空间中与直线、平面垂直有关的问题.(难点) 导语 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 一、直线与直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 例1　如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF. 反思感悟　证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：BD1⊥EB1. 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示　平行(共线). 知识梳理 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn. 例2　(课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 例3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 反思感悟　向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. 例4　(课本例5)证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β， 求证：α⊥β. 例5　如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 反思感悟　证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 跟踪训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 1.知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示及应用. (2)直线与平面垂直的向量表示及应用. (3)平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.方法归纳：转化法、法向量法. 3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 1.设直线l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A.1 B. C. D.3 2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 3.已知直线l的方向向量为e=(-1，1，2)，平面α的法向量为n=(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为　　　　. 4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=，则直线SC与BC是否垂直　　　　.(填“是”或“否”) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第3课时　空间中直线、平面的垂直参考答案 [学习目标]　1.理解并掌握空间中直线、平面垂直的向量表示.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，能用向量方法证明空间中与直线、平面垂直有关的问题.(难点) 导语 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 一、直线与直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 例1　如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF. 证明　方法一　由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠BAC=，故AA1，AC，AB两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，D(1，0，2)， 故=(0，2，1)，=(0，1，-2)， ∴·=(0，2，1)·(0，1，-2)=0+2×1+1×(-2)=0，∴⊥，故AE⊥DF. 方法二　∵=+，=-=+)- =-， ∴·=· =-·- =2-0-2=0， ∴⊥，∴AE⊥DF. 反思感悟　证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：BD1⊥EB1. 证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D1(0，0，1)， E，B1(1，1，1). =(-1，-1，1)， =， ∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示　平行(共线). 知识梳理 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn. 例2　(课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 证明　设=a，=b，=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且=a+b-c，=b-a，=c. 因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°， 所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=. 在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ. 所以，·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0. 所以是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C⊥平面BDD1B1. 例3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 证明　方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)， B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a). 所以=(-a，-a，a)， =(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0). 设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)， 则 取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1). 又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am. 所以∥m，所以EF⊥平面B1AC. 方法二　由方法一可知，=(-a，-a，a)，=(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0). 因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a) =(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0， ·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0) =2a2-2a2+0=0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC=A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 方法三　设=a，=c，=b， 连接BD(图略)， 则=+=+) =+)=+-) =(b+c-a). 因为=+=a+b， 所以·=(b+c-a)·(a+b) =(b2-a2+c·a+c·b) =(|b|2-|a|2+0+0)=0， 所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 反思感悟　向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 证明　连接C1D， ∵C1在平面ABC内的射影为D， ∴C1D⊥平面ABC， 又BD，AC⊂平面ABC， ∴C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又△ABC为等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， 则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(，0，0)， C(0，-1，0)，C1(0，0，)， E，A1(0，2，)，∴=(，0，0)，=， =(0，-3，-). 方法一　设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)， ∵即 不妨取z=1，则y=，则m=(0，，1)， ∴平面BDE的一个法向量为m=(0，，1)， ∵=(0，-3，-)， ∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE. 方法二　∵·=0，·=-=0， ∴⊥，⊥，即BD⊥A1C，DE⊥A1C， 又BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. 例4　(课本例5)证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β， 求证：α⊥β. 证明　如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. 因为l⊥α， 所以u是平面α的法向量. 因为l⊂β，而n是平面β的法向量， 所以u⊥n. 所以α⊥β. 例5　如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 证明　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)， ∴=(0，-1，-1)，=(1，-1，-1). 设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥. ∴令y=1，得z=-1，x=0， 即n=(0，1，-1). 显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量. 又n·=0，所以n⊥， 即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC. 反思感悟　证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 跟踪训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 证明　取AB的中点O，CD的中点M， 连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD=AB， OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA=PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AP=a，AD=b， 则A(0，-a，0)，B(0，a，0)， P(a，0，0)，C(0，a，b)， D(0，-a，b)， 所以=(0，0，b)，=(a，a，0)， =(0，0，b)，=(a，-a，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则由得 z1=0，令x1=1， 则y1=-1，即n1=(1，-1，0)， 同理，z2=0，令x2=1， 可得y2=1，即n2=(1，1，0). 因为n1·n2=1-1=0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 1.知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示及应用. (2)直线与平面垂直的向量表示及应用. (3)平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.方法归纳：转化法、法向量法. 3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 1.设直线l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A.1 B. C. D.3 答案　B 解析　因为l1⊥l2，所以a·b=0，即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，解得m=. 2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 答案　D 解析　∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5. 3.已知直线l的方向向量为e=(-1，1，2)，平面α的法向量为n=(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为　　　　. 答案　- 解析　因为l⊥α，所以e与n共线， 则存在实数m使得e=mn=， 可得解得 4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=，则直线SC与BC是否垂直　　　　.(填“是”或“否”) 答案　是 解析　如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC=2，BC=， SB=， 得B(-，2，0)，S(0，0，2)，C(0，2，0)， =(0，2，-2)，=(-，0，0). 因为·=0， 所以SC⊥BC. . 学科网（北京）股份有限公司 $