1.4.1空间中直线、平面的垂直 第3课时课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中直线、平面垂直关系，通过向量语言表述及证明方法展开，导入衔接方向向量、法向量旧知，搭建从向量运算到垂直判定的学习支架。 其亮点在于一题多解（如线面垂直的坐标法、基向量法等）与变式训练，结合数学思维的推理能力和数学语言的模型观念，通过例1两种证法对比、例2多方法论证，助学生深化理解，提升逻辑推理与空间观念，教师可直接用丰富例题与方法总结提高教学效率。

1.4.1　第3课时　空间中直线、平面的垂直 第一章　空间向量与立体几何 学 习 目 标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 3.体会直线的方向向量和平面的法向量的作用. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点 空间中直线、平面垂直的向量表示 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 u1⊥u2 u1·u2=0 u∥n u=λn n1⊥n2 n1·n2=0 AI·思考辨析 参考线面垂直的判定定理,还可以如何用向量法证明线面垂直? 提示 可先求出平面内两个不共线的向量,然后证明直线的方向向量与这两个不共线的向量的数量积均为0. 体验新知 1.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于 (　　)　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 因为l1⊥l2,所以a⊥b,则a·b=-2+6-2m=0,解得m=2.故选B. 2.若平面α⊥平面β,平面α的一个法向量为n=(-2,1,),则平面β的法向量m可以为(　　) A.(-1,) B.(2,-1,0) C.(1,2,0) D.(,1,2) C 解析 当m=(1,2,0)时,m·n=0,故C选项符合题意. 3.(北师大版教材习题)已知l为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,且l⊄α,判断直线l与平面α的位置关系是平行还是垂直. (1)l=(-1,1,1),n=(1,4,-3); (2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4). 解 (1)l·n=(-1,1,1)·(1,4,-3)=(-1)×1+1×4+1×(-3)=0,所以l⊥n,所以l∥α. (2)l=-n,所以l∥n,所以l⊥α. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证: (1)BD1⊥AC; (2)BD1⊥EB1. 证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,B1(1,1,1). (1)∵=(-1,-1,1),=(-1,1,0), ∴=1-1+0=0,∴,∴BD1⊥AC. (2)∵=(-1,-1,1),, ∴=-+1=0, ∴,∴BD1⊥EB1. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一 利用向量方法证明线线垂直 【例1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形, PA=AB=1,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF. 思路分析 只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 证明 (方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0), 于是F. ∵E在BC上,∴设E(m,1,0),0≤m≤a, ∴=(m,1,-1),. ∵=0, ∴PE⊥AF.∴无论点E在棱BC上何处,总有PE⊥AF. (方法2)因为点E在棱BC上,可设=λ,0≤λ≤1, 于是=()·) =+λ)·() =+λ+λ) =×(0-1+1+0+0+0)=0, 因此. 故无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF. 例题探究1 (变结论)本例条件不变,求证:AF⊥BC. 证明 同例1建系(图略),易知=(0,),=(a,0,0), 因为=0,所以AF⊥BC. 例题探究2 (变结论)本例条件不变,求证:AF⊥FE. 证明 同例1建系(图略). 易知+λ=(0,,-)+(λa,0,0)=(λa,,-), 则=0+=0,∴AF⊥FE. 变式训练1　(2026吉林高二期中)如图所示,MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,MA=2AB,点P是MC上一点,且. (1)建立适当的空间直角坐标系并求点P的坐标; (2)求证:MB⊥DP. (1)解 因为MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,则AB,AD,AM两两互相垂直,以A为原点,AB,AD,AM所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(0,0,2),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0). 设P(x,y,z), 则=(x-1,y-1,z),=(-1,-1,2). 由,可得(x-1,y-1,z)=(-1,-1,2), 则解得 故点P的坐标为. (2)证明 由(1)得=(1,0,-2),, 因为=1××0-2×=0,则,故MB⊥DP. 能力提升点二 利用向量方法证明线面垂直 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC, B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1. 证明 (方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点, 所以. 而, 于是=()·() = =0-0+0--0=0, 因此. 同理=()·() = =0-+0-0+-0=0, 因此. 又因为不共线,B1E∩B1F=B1,B1E,B1F⊂平面EFB1, 所以D1M⊥平面EFB1. (方法2)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,1),M(1,1,),B1(1,1,1),E(1,,0),F(,1,0), =(1,1,-),=(0,-,-1),=(-,0,-1), 因此=1×0+1××(-1)=0, 故. 又=1×+1×0+×(-1)=0, 故. 又不共线,B1E∩B1F=B1,B1E,B1F⊂平面EFB1,所以D1M⊥平面EFB1. (方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,1),M(1,1,),B1(1,1,1),E(1,,0),F(,1,0), 于是=(1,1,-),=(0,-,-1),=(-,0,-1). 设平面EFB1的法向量为n=(x,y,z), 所以 取x=2,则y=2,z=-1,即n=(2,2,-1). 因为=(1,1,-)=(2,2,-1)=n, 所以∥n,所以D1M⊥平面EFB1. 变式训练2 (北师大版教材习题)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B'上的动点,点F是CD的中点.试确定点E的位置,使D'E⊥平面AB'F. 能力提升点三 利用向量方法证明面面垂直 【例3】 如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC, A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1. 证明 如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1,),D(1,1,0). (方法1)∵=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0), ∴=1×(-2)+1×2+0×0=0, =0×(-2)+0×2+×0=0, ∴,即BC⊥AD,BC⊥AA1. 又A1A∩AD=A,A1A⊂平面A1AD,AD⊂平面A1AD, ∴BC⊥平面A1AD. 又BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. (方法2)由题得,=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,). 设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2). 由 令x1=1,则y1=-1,z1=0,则n1=(1,-1,0)为平面A1AD的一个法向量. 由 令x2=1,则y2=1,z2=,则n2=(1,1,)为平面BCC1B1的一个法向量. ∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 变式训练3　(2026陕西高二期末)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证:A1E⊥BD; (2)若平面A1BD⊥平面EBD,求证:E为CC1的中点. 证明 (1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D(0,0,0). 设E(0,a,e)(0≤e≤a),则=(-a,a,e-a),=(-a,-a,0). ∵=a2-a2+(e-a)·0=0, ∴,即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD和平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), 且=(a,a,0),=(a,0,a),=(0,a,e), 由 令x1=1,则y1=z1=-1,则n1=(1,-1,-1). 由令x2=1,则y2=-1,z2=,则n2=(1,-1,). 由平面A1BD⊥平面EBD,得n1⊥n2, ∴n1·n2=1×1+(-1)×(-1)-1×=2-=0,即e=, ∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与直线垂直的向量表示; (2)直线与平面垂直的向量表示; (3)平面与平面垂直的向量表示. 2.方法归纳:转化法、法向量法. 3.常见误区:容易混淆直线的方向向量、平面的法向量之间的关系与线面间的垂直关系的对应. 学以致用·随堂检测促达标 1.下列命题中真命题的个数为(　　) ①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0; ②若n是平面α的法向量,a与平面α平行,则n·a=0; ③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.0 1 2 3 4 C 5 1 2 3 4 5 2.已知平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若α⊥β,则x的值为 (　　) A.10 B.-10 C. D.- B 解析 因为α⊥β,则a⊥b,即a·b=-x+(-1)×2+4×(-2)=0,解得x=-10. 1 2 3 4 5 3.已知点P0(-1,2,3)在平面α内,平面α={P|n·=0},其中n=(1,-1,1)是平面α的一个法向量,则下列各点在平面α内的是(　　) A.(2,-4,8) B.(3,8,5) C.(-2,3,4) D.(3,-4,1) B 解析 设P(x,y,z)是平面α内的一点,则=(x+1,y-2,z-3), 所以(x+1)-(y-2)+(z-3)=0,即y=x+z,则选项B满足.故选B. 1 2 3 4 5 4.(AI原创)直线l的方向向量为d=(-1,-2,k),平面α的法向量为n=(2,4,-8),且l⊥α,则k的值为　　　　　.  4 解析 因为l⊥α,则d∥n,故,解得k=4. 5.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB= 30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 证明 建立空间直角坐标系,如图, 设A(0,0,a),则易得B(0,0,0), ∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD. 又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 本 课 结 束 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线线垂直 l1与l2 l1⊥l2⇔　 ⇔　　   线面垂直 l与α l⊥α⇔　 ⇔∃λ∈R, 使得　　　　  面面垂直 α与β α⊥β⇔　 ⇔　　   解 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略), 则A(0,0,0),F(1,2,0),B'(2,0,3),D'(0,2,3). 因为点E在平面BCC'B'上,所以可设E(2,y,z). 因为D'E⊥平面AB'F,所以. 因为=(1,2,0),=(2,0,3),=(2,y-2,z-3), 所以解得所以E. C,D(0,a,0),E,F. ∴为平面ABC的一个法向量. 设平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·=0, 即(x,y,z)·=0.∴x=y. 由n·=0,即(x,y,z)·=0, 有ay+z=0,∴z=-y. 取y=1,得n=(1,1,-). ∵n·=(1,1,-)·=0, ∴n⊥.∴平面BEF⊥平面ABC. $