1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，通过回顾上节课空间向量表示元素的内容，以“用向量刻画平行关系”的问题导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 导学案以问题驱动探究，结合坐标法与基向量法证明平行，例题涵盖基础应用与延伸探究，培养学生用数学语言表述关系的能力，发展逻辑推理与直观想象的数学思维，助力提升空间几何问题解决能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第2课时　空间中直线、平面的平行 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，会用向量方法解决空间图形的位置关系问题.(重点、难点) 导语 上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题. 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2. 注意点：上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 反思感悟　证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP. 二、直线和平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 例2　(课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 例3　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 延伸探究　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 三、平面和平面平行 问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 注意点：上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 例4　(课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 例5　如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 反思感悟　证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 跟踪训练2　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 1.知识清单： (1)线线平行的向量表示及应用. (2)线面平行的向量表示及应用. (3)面面平行的向量表示及应用. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件. 1.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A.x=6，y=1 B.x=6，y= C.x=3，y=15 D.x=3，y= 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是(　　) A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 3.若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第2课时　空间中直线、平面的平行参考答案 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，会用向量方法解决空间图形的位置关系问题.(重点、难点) 导语 上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题. 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2. 注意点：上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M， N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则，分别为MN，RS的方向向量， 又=，=， 所以=，所以∥，因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设=a，=b，=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c. 所以=，所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 反思感悟　证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP. 证明　方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以=(-1，0，1)，=，所以=，又M∉AP，故MN∥AP. 方法二　由题意可得=+=+=+×+)=++=+=+)=，又M∉AP，所以MN∥AP. 二、直线和平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 例2　(课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)，=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)，=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=，此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 例3　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 证明　如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 依题意得D(0，0，0)， A(a，0，0)，P(0，0，a)， E，B(a，a，0). 方法一　设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 又=，=， 则有 即即 令z=1，则所以n=(1，-1，1)， 又=(a，0，-a)， 所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0. 所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以=. 又=(a，0，-a)， 所以=2，则PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得 =λ+μ， 即(a，0，-a)=λ+μ， 则有 解得 所以=-+，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 延伸探究　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 解　以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则D(0，0，0)，P(0，0，a)，M，C(0，a，0)， 则=(0，0，a)，=， 设平面PDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则即 令y1=2，则x1=-1，z1=0， ∴n1=(-1，2，0)， 设N(0，y，z)，则=(0，y，z-a)，=(0，a，-a)， 由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)， ∴y=λa，z=a(1-λ)， ∴N(0，λa，a(1-λ)). 又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))， 由BN∥平面PDM，得·n1=0， 即a+2(λ-1)a=0，∴λ=， 即在棱PC上存在一点N，且当N为PC的中点时，使得BN∥平面PDM. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 三、平面和平面平行 问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 注意点：上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 例4　(课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 证明　如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α， 所以n·u=0，n·v=0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b=P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv. 从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0. 所以，向量n也是平面β的法向量. 故α∥β. 例5　如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 证明　方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)， B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)， 于是=(0，1，1)， =(1，1，0)， =(1，1，0)，=(0，1，1). 设平面AB'D'的法向量为 n1=(x1，y1，z1)， 则 令y1=1，则x1=-1，z1=-1， 可得n1=(-1，1，-1). 设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则 令y2=1，则x2=-1，z2=-1， 可得n2=(-1，1，-1). 所以n1=n2，所以n1∥n2， 故平面AB'D'∥平面BDC'. 方法二　由方法一知=(-1，0，1)，=(-1，0，1)，=(0，1，1)，=(0，1，1)， 所以=，=， 即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD'⊄平面BDC'，BC'⊂平面BDC'，AB'⊄平面BDC'，DC'⊂平面BDC'， 所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'. 又AD'∩AB'=A，且AD'，AB'⊂平面AB'D'， 所以平面AB'D'∥平面BDC'. 方法三　由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1，1，-1). 易知=(1，1，0)，=(0，1，1). 因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0， n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0， 所以n1也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'D'∥平面BDC'. 反思感悟　证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 跟踪训练2　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 证明　因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 所以=(0，-1，0)，=(1，1，-1)， =(2，0，-2)，=(0，2，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则即 令z1=1，则x1=1，y1=0， 所以n1=(1，0，1)， 设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则即 令z2=1，则x2=1，y2=0， 所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2， 所以平面EFG∥平面PBC. 1.知识清单： (1)线线平行的向量表示及应用. (2)线面平行的向量表示及应用. (3)面面平行的向量表示及应用. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件. 1.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A.x=6，y=1 B.x=6，y= C.x=3，y=15 D.x=3，y= 答案　B 解析　由题意可得==，解得x=6，y=. 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是(　　) A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 答案　AD 解析　若l∥α，则a·n=0. 而A中a·n=0， B中a·n=1+5=6， C中a·n=-1， D中a·n=-3+3=0. 3.若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断 答案　A 解析　因为a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a=-b，所以两法向量平行，则平面α与β平行. 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是　　　　. 答案　-3 解析　∵l∥平面ABC， ∴存在实数x，y， 使a=x+y， 又=(1，0，-1)，=(0，1，-1)， ∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1) =(x，y，-x-y)， ∴∴m=-3. . 学科网（北京）股份有限公司 $