1.4.1 3.空间中直线、平面的垂直课前导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中直线、平面的垂直关系，通过回顾空间平行的向量判定（温故），引导学生自主探究垂直的向量判定（知新），搭建平行与垂直的知识支架，帮助学生构建逻辑脉络。 资料特色在于运用向量方法简化垂直证明，避免繁杂辅助线，培养数学思维，结合正方体模型的课前自测题发展空间观念（数学眼光），融入数学史反思激发创新意识，答案解析规范，提升数学语言表达能力，适合自主学习与教学评估。

1.4.1 3.空间中直线、平面的垂直 预习提要 1.回顾空间中直线、平面的平行； 2.阅读课本P31—P32内容，自主探究空间中直线、平面的垂直，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．直线的向量和平面的向量是确定空间中的直线和平面的关键量. 2．线线平行的向量判定：设分别是直线的方向向量，则 3．线面平行的向量判定：设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 4．面面平行的向量判定：设分别是平面的法向量，则，使得. 二、知新 1．一般地，直线与直线垂直，就是两直线的向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量. 2．线线垂直的向量判定：设直线的方向向量分别为，则 3．线面垂直的向量判定：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则 ，使得. 4．面面垂直的向量判定：设平面的法向量分别为，则 课前自测 1．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是( ) A. B. C. D. 2．（多选）已知直线l的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3．已知，点，若平面ABC，则点P的坐标为______. 4．如图，已知正方体中，E为棱上的动点. （1）求证：； （2）若平面平面EBD，求证：E为的中点. 5.如图所示，在正方体中，O是AC的中点，G是的中点，E是线段上一点，且. 求证：（1）；（2）平面；（3）平面平面. 反思 哈密顿创立空间向量体系后，数学家高斯深入研究向量数量积的几何意义，发现垂直关系可以通过向量数量积直接判定，搭建起完整的空间线、面垂直向量判定体系，让立体几何垂直证明摆脱繁杂辅助线. 在向量方法出现前，证明空间垂直只能依靠勾股定理、线面垂直判定定理，需要寻找平面内两条相交直线，推理过程抽象，对空间想象能力要求很高.高斯抓住垂直的本质：互相垂直的两条向量夹角为，而数量积公式，当时，因此得到核心结论：两非零向量垂直等价于数量积为0. 答案及解析 一、温故 1．方向；法 2． 3． 4． 二、知新 1．方向；法；垂直 2． 3． 4． 课前自测 1．答案：C 解析： 不妨以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则，， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 2．答案：AD 解析：若，则，故A正确； 若，则或l在内，故B错； 若，则，故C错； 若，则，故D正确. 故选：AD. 3． 答案： 解析：因为，所以， ， 因为平面平面， 所以所以点的坐标为．故答案为： 4．证明：（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体的棱长为a， 则，，，，，则. 设，则. ， ，即. （2）由（1）知，，，. 设平面的法向量为. 则即 令，则，则. 设平面EBD的法向量为，则即 令，则，，则. 由平面平面EBD，得， ，，即. 当平面平面EBD时，E为的中点. 5.证明：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. （1） 因为，，所以， 所以，所以. （2）因为，，，所以， ，所以，. 因为，，平面，所以平面. （3）由（2）知平面的一个法向量为. 因为，所以， 所以，所以.设是平面CDE的法向量， 由得 令，得是平面CDE的一个法向量， 因为， 所以， 所以平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $