1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过“如何用向量表示点”“如何确定直线向量”等问题导入，衔接平面向量知识，搭建从已知到空间向量的学习支架，帮助学生理解方向向量和法向量的概念及求法。 以问题驱动探究，结合长方体、正方体等模型设计例题与跟踪训练，引导学生用数学眼光观察空间图形，通过待定系数法、赋值法培养数学思维，总结求法向量步骤助力规范表达，分层习题巩固应用，提升空间观念与推理能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习目标]　1.理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法.(重点)2.理解并会求直线的方向向量和平面的法向量.(难点) 导语 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 一、空间中点的向量和直线的向量表示 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识梳理 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta，即=+t. 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 例1　如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA'；(2)BD'. 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 跟踪训练1　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是(　　) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) (2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得=xa+yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 注意点： (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 例2　(课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. 例3　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 反思感悟　求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 跟踪训练2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k 2.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知平面α的一个法向量为n，若直线AB满足=λn(λ∈R)，则(　　) A.AB∥α B.AB⊂α C.AB⊥α D.直线AB与平面α的位置关系不确定 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示参考答案 [学习目标]　1.理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法.(重点)2.理解并会求直线的方向向量和平面的法向量.(难点) 导语 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 一、空间中点的向量和直线的向量表示 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识梳理 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta，即=+t. 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 例1　如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA'；(2)BD'. 解　由已知可得，长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3). (1)因为向量=(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为(0，0，3). (2)因为向量=(-4，-2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为(-4，-2，3). 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 跟踪训练1　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是(　　) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 答案　AB 解析　∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量. (2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 答案　A 解析　由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R，即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)， 所以，解得x=-1. 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得=xa+yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 注意点： (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 例2　(课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. 解　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. (2)因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2). 因此=(-3，2，0)，=(0，-2，2). 设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 则n2⊥，n2⊥. 所以所以 取z=3，则x=2，y=3. 于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量. 例3　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 解　答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量). ∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)， ∴=(1，2，0)，=(-1，0，2)， 设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=-，z=， ∴n=， 即平面SCD的一个法向量为n=， ∵x轴⊥平面SAB， ∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量. 反思感悟　求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 跟踪训练2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 解　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2). (1)设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)， ∵=(2，2，0)，=(0，0，2)， ∴ 令x1=1，则y1=-1，z1=0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一) (2)设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2). ∵=(2，2，0)，=(1，0，2)， ∴ 令x2=2，则y2=-2，z2=-1， ∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一) 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k 答案　AB 解析　由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意. 2.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　由题意知=(-1，2-y，z-3)， 因为m∥，所以==， 解得y=，z=，所以y-z=0. 3.已知平面α的一个法向量为n，若直线AB满足=λn(λ∈R)，则(　　) A.AB∥α B.AB⊂α C.AB⊥α D.直线AB与平面α的位置关系不确定 答案　C 解析　∵=λn，∴∥n， ∵n为平面α的一个法向量，∴AB⊥平面α. 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　　　　　　　. 答案　x+2y-3z=0 解析　由题意得e⊥， 则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0， 故x+2y-3z=0. . 学科网（北京）股份有限公司 $