1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，涵盖位置向量、方向向量及法向量等核心知识点。通过对比平面向量引入空间向量，以表格形式呈现空间图形与向量表示的对应关系，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结构化呈现与分层探究设计，结合AI思考辨析（如法向量的数量及关系）和例题（待定系数法求法向量），培养学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理运算，用数学语言规范表达。学生能夯实基础提升能力，教师可高效开展教学。

1.4.1　第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 第一章　空间向量与立体几何 学 习 目 标 1.了解空间点的位置向量与直线的方向向量. 2.会求直线的方向向量和平面的法向量. 3.在空间点的向量表示的基础上,能借助直线的方向向量和平面的法向量来刻画直线和平面. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点 空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 用途 点 在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量　　　　表示.我们把向量　　　　　称为点P的位置向量    点的位置向量可确定空间中任意一点的位置 空间 图形 向量表示 图形表示 用途 直 线 a是直线l的方向向量,在直线l上取 =a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得 =ta,即　　　　    空间中的任意一点和直线的位置向量可确定空间中的任意一点 取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 = +ta或 　　　 　　,以上两式都称为空间直线的向量表示式    表示空间中的向量 =t +t 空间 图形 向量表示 图形表示 用途 平 面 取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 = +x +y ,这个式子称为空间平面ABC的向量表示式   表示空间中的向量 若直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称a为平面α的　　　　　;过点A且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合　　　　　     空间中的点和平面的法向量可确定空间中的平面 法向量 {P|a·=0} AI·思考辨析 平面的法向量有几个?它们的关系是怎样的? 提示 平面的法向量有无数个,它们是平行向量. 体验新知 1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) C 解析 依题意,直线l的一个方向向量为=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3),其他三个均不符合要求.故选C. 2.若A,B,C为平面α内不同的三点,且=(2,-1,-1),=(0,1,-2),则平面α的一个法向量可以是(　　) A.(3,3,2) B.(3,4,2) C.(3,3,3) D.(1,3,2) B 解析 设n=(x,y,z),则 令z=2,则x=3,y=4,即n=(3,4,2).故选B. 3.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且AC=AB,则点C的坐标为 (　　) A. B. C. D. C 解析 ∵AC=AB,∴.设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3). 又=(-2,-6,-2),∴(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),解得x=,y=-1,z=, ∴C.故选C. 4.已知=(m,-2,1),若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则m=　 . -1 解析 若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1), 则=λ(1,2,-1),即(m,-2,1)=λ(1,2,-1)=(λ,2λ,-λ),则解得m=-1. 5.(北师大版教材习题)分别写出Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面的一个法向量的坐标. 解 平面Oxy,平面Oyz,平面Ozx的一个法向量的坐标分别为(0,0,1),(1,0,0), (0,1,0).(答案不唯一) 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　求空间中点的坐标 【例1】 已知O是原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5). (1)若),求点P的坐标; (2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求点P的坐标. 解 (1)由题可得=(-1,1,5),=(-3,-1,5), 则)=(2,2,0)=(1,1,0),所以点P的坐标为(1,1,0). (2)由P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,知. 设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z), 故(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z), 即解得 因此点P的坐标为. 变式训练1　(北师大版教材例题)在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0), B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,求. 解 依题意知=(1,2,3),=(1,0,-2). 因为点D是直线AB上的一点,所以存在实数λ,使得=λ, 则+λ=(1+λ,2λ,-2+3λ). 由CD⊥AB,得=0,即(1+λ)+2(2λ)+3(-2+3λ)=0,解得λ=. 所以. 能力提升点二　空间直线的方向向量 【例2】 已知直线l的一个方向向量为n=(1,-3,2),且直线l经过A(2,a,-1), B(1,2,b)两点,求a-b的值. 解 因为A(2,a,-1),B(1,2,b),所以=(-1,2-a,b+1). 因为直线l的一个方向向量为n=(1,-3,2), 所以=kn,即(-1,2-a,b+1)=(k,-3k,2k), 所以解得则a-b=2. 变式训练2　(1)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以A为原点, AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(1,1,1) C.直线BC的一个方向向量为(1,0,0) D.直线B1D的一个方向向量为(0,1,1) A (2)(2026广东佛山高二期末)已知直线l过点A(0,0,1),且直线l的方向向量为a=(1,1,2),若点M(x,y,4)在直线l上,则(　　) A.x+y=2 B.x+y=3 C.x+y=4 D.x+y=5 B 解析 由题意=(x,y,3),所以存在实数λ,使得=λa=(λ,λ,2λ), 所以所以x+y=2λ=3.故选B. 能力提升点三　平面的法向量及其求法 【例3】 (人教B版教材例题)如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥 O-ABC中,O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0.求平面ABC的一个法向量. 变式训练3　(1)已知平面α={P|n·=0},其中点P0(-1,2,5),平面α的法向量n=(1,1,1),则下列各点中在平面α内的是(　　) A.(1,2,3) B.(0,3,6) C.(1,1,1) D.(0,0,0) A 解析 对于A,=(2,0,-2),则n·=2×1+0×1+(-2)×1=0, 则此点在平面α内,故A正确; 对于B,=(1,1,1),则n·=1×1+1×1+1×1=3≠0, 则此点不在平面α内,故B错误; 对于C,=(2,-1,-4),则n·=2×1+(-1)×1+(-4)×1=-3≠0, 则此点不在平面α内,故C错误; 对于D,=(1,-2,-5),则n·=1×1+(-2)×1+(-5)×1=-6≠0, 则此点不在平面α内,故D错误. 故选A. (2)(多选题)(2026广西高二期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.以下向量可成为平面BCC1B1的法向量的有(　　) A.(4,-4,0) B.(-3,3,0) C.(-2,-2,0) D.(1,1,0) CD 解析 因为B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,2), 所以=(0,0,2),=(-1,1,0). 设平面BCC1B1的法向量n=(x,y,z), 则有 故n=(x,x,0)=x(1,1,0), 则平面BCC1B1的法向量可以为n1=(1,1,0),n2=(-2,-2,0).故选CD. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)求空间中点的坐标; (2)直线的方向向量的求解及应用; (3)求平面的法向量. 2.方法归纳:待定系数法、赋值法. 3.常见误区:法向量确定平面的理解及法向量的不唯一性. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 1.若点A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1) A 4 1 2 3 B 4 1 2 3 4 3.平面α内三点坐标分别为A(1,0,-1),B(-1,1,-1),C(-1,0,0),则平面α的一个法向量为　　　　　.  (1,2,2) 解析 由题可得,=(-2,1,0),=(-2,0,1). 因为向量m=(x,y,z)是平面α的一个法向量,所以 取x=1,则y=2,z=2,得m=(1,2,2), 故平面α的一个法向量可以为(1,2,2). 1 2 3 4.(苏教版教材习题)已知点A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,-1). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)设平面α经过点A,且 是平面α的法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,试写出x,y,z满足的关系式. 4 本 课 结 束 解析 由题可得,B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),C1(1,1,1), 则=(0,0,1),=(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,-1), 故A正确,B,C,D错误.故选A. 解 由已知可得 =(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0), =(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c). 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则 将x看成常数,可解得y=x,z=x. 令x=bc,则y=ac,z=ab. 因此,n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量. 解析 由题可得=(2,4,8),则与向量共线的向量都是直线l的方向向量. 又(1,2,4)=,故直线l的一个方向向量是(1,2,4).故选A. 2.已知点A(2,4,0),B(1,3,3),且满足2,则点Q的坐标为(　　) A. B. C. D.(1,0,1) 解析 设点Q(x,y,z),由2,则2(x-2,y-4,z)=(1-x,3-y,3-z), 所以解得故Q.故选B. 解 (1)由题得=(-1,1,-1),所以直线BC的一个方向向量为(-1,1,-1). (2)由题得=(x-1,y-1,z-1). 又=0,即-(x-1)+(y-1)-(z-1)=0,整理得x-y+z=1. $