第1章 反比例函数（四大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学反比例函数单元知识清单系统梳理了反比例函数的核心内容，涵盖定义判定、解析式求解、图像性质、比例系数几何意义及实际应用五大知识范畴，搭建了从定义理解到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点+对点训练”三级架构呈现知识体系，突出k值几何意义（矩形面积|k|）、增减性象限限制等重难点标注，培养学生数学思维与几何直观。设计“k值符号与象限口诀”“实际问题取值范围提示”等实用工具，不同学生可高效突破易错点，教师能据此精准教学，提升课堂实效。

第1章 反比例函数 知识点一 反比例函数基本定义 1.反比例关系判定：两个变量对应数值乘积为非零常数，则两变量成反比例。 2.标准函数形式：形如（为常数，）的函数是反比例函数，为自变量，为函数。 3.自变量取值范围：，对应函数值，因此函数图像与轴、轴无交点。 4.三种等价形式 （1），分式形式，直观体现自变量不能为0； （2），自变量次数为，判断函数类型专用； （3），快速计算比例系数，常用于面积类题型。 知识点二 反比例函数解析式的求解（待定系数法） 反比例函数仅含一个参数，只需一组对应值或图像上一个点坐标，即可求出完整解析式。 通用解题步骤： ①设函数解析式；②将已知点坐标或变量对应值代入式子，得到关于的方程；③解方程算出的具体数值；④把代回原式，写出最终函数关系式。 知识点三 反比例函数图像与基础性质 （一）图像绘制步骤 1.列表：以0为中心，左右选取多组互为相反数的自变量，仅计算右侧函数值，左侧可借助对称得出； 2.描点：先画出一侧图像上的点，利用原点中心对称画出另一侧点； 3.连线：用平滑曲线顺次连接点并延伸，禁止画折线；双曲线两支相互分离，无限靠近坐标轴但永不相交。 （二）图像核心特征 1.图像名称：双曲线，分为左右两个独立分支； 2.对称性：图像关于原点中心对称，若点在图像上，则也在图像上； 3.边界特点：因，图像无限贴近坐标轴，不存在交点。 （三）增减性规律 1.：双曲线分布在一、三象限，单个象限内，随增大而减小； 2.：双曲线分布在二、四象限，单个象限内，随增大而增大。 补充说明：增减性仅适用于同一分支，不能跨象限直接比较函数值大小；图像象限位置、增减性可反向判断的正负。 知识点四 比例系数的几何意义 设点在双曲线上，由可推导固定面积结论： ①过点分别作轴、轴垂线，垂线与坐标轴围成矩形，面积恒等于； ②过点向任意一条坐标轴作垂线，再连接原点与点，形成直角三角形，面积恒等于。 核心要点：面积只和的绝对值有关，无论点在双曲线哪一支，面积数值固定不变。 知识点五 反比例函数实际应用基础方法 （一）通用解题步骤 1.审题，区分常量与变量，判断二者存在反比例关系，设出反比例解析式； 2.代入题干已知条件，求出参数； 3.写出完整解析式，结合实际场景标注自变量取值范围； 4.利用函数解析式、图像性质求解题目问题。 （二）常见反比例实际模型 1.几何类：圆柱体积固定时，底面积与高成反比例； 2.工程类：工作总量固定时，工作时间与工作速度成反比例； 3.物理杠杆：阻力、阻力臂不变，动力与动力臂成反比例； 4.电学：电压恒定，输出功率与电阻成反比例。 易错01根据反比例函数的定义求参数 易错提醒 1.只关注自变量次数为-1，忽略隐藏条件k≠0，算出参数后不检验系数，容易出现增根。处理方法：解题实行双重判定，先令x的指数等于-1求出参数，再代入系数验证k≠0，舍去不符合的解。 2.题目带有分式、根式时，忘记同步满足分母不为0、被开方数非负等附加条件。处理方法：遇到分式、二次根式题型，联立所有限制条件列出不等式组，取公共有效解。 【对点训练】 1．若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解：由反比例函数的定义可知，， ∴． 2．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义得，，． 3．若函数是反比例函数，则m的值为_____． 【答案】或 【详解】解：∵ 函数 是反比例函数， 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，可变形为， 因此可得， 解一元二次方程，移项得，开方得或， 验证，，，均满足系数不为0的条件， 故m的值为或． 易错02已知反比例函数分布的象限求参数范围 易错提醒 1.混淆k>0、k<0对应的函数象限，常误将k>0对应二、四象限。处理方法：牢记核心口诀，k>0图象在一、三象限，k<0图象在二、四象限，精准区分象限分布。 2.解析式中k为代数式时，解不等式符号方向容易出错，不会求解含参数不等式。处理方法：将代表k的代数式直接与0作比较，规范步骤求解一元一次不等式，避免符号错误。 【对点训练】 1．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 2．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 3．已知反比例函数的图象经过点，，且，那么这个反比例函数的表达式可以是______（写出一个符合条件的表达式）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，，且， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， ∴这个反比例函数的表达式可以是. 易错03已知反比例函数的增减性求参数 易错提醒 1.忽略反比例函数增减性仅在同一象限内成立，直接跨x=0比较不同分支的函数值，造成判断错误。处理方法：解题先明确前提，增减性只适用于双曲线同一分支，严禁跨象限比较函数值大小。 2.记反k值正负与增减性的对应关系，误以为k>0时y随x增大而增大。处理方法：熟记固定规律，k>0时，每个象限内y随x增大而减小；k<0时，每个象限内y随x增大而增大。 【对点训练】 1．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵的最大值和最小值之差为， ∴， 解得：． 2．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 3．已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． ， 均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且， 即 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 易错04实际问题与反比例函数的图象问题 易错提醒 1.忽略实际问题中自变量取值范围（长度、人数、速度等均大于0），求解结果后不检验现实意义，出现零、负数等无实际意义的解。处理方法：算出参数或变量结果后，主动剔除负数、零等不符合实际场景的无效解。 【对点训练】 1．在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：， 小齿轮每分钟转过的总齿数为， 根据题意得：， 整理得， 由齿数的实际意义可知， 因此，关于的函数表达式为． 2．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 3．在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度（）与糖浆总体积（）成反比例关系，其中与的对应值如下表： x（L） 2 2.5 3 4 y（） 750 600 500 375 (1)求关于的函数表达式； (2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？ (3)该小组熬制出糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至，稀释后糖浆浓度比原来降低了，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵糖浆浓度与糖浆总体积成反比例关系， ∴设关于的函数表达式为， 当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：，， ∴当糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是； （3）解，由题意得，， ， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为． 易错05反比例函数中利用k值求图形的面积 易错提醒 1.利用k值求面积时忘记加绝对值，k为负数时计算出负值面积，结果错误。处理方法：牢记固定公式，矩形面积S=|k|、直角三角形面积S=|k|/2，所有面积计算全程添加绝对值。 2.遇到复杂组合图形，不会拆分基础图形，无法套用k值面积公式解题。处理方法：采用割补法，将不规则图形拆分为矩形、直角三角形等基础图形，分别计算面积后再做加减运算。 【对点训练】 1．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：作于点D，连接， 设等边三角形的边长为a，则， ∴， ∵平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上， ， ， （负数舍去）， ∴等边的边长为． 2．如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 【答案】9 【详解】解：∵函数的图象经过边的中点 ∴设 ∴ ∵的直角顶点在轴上 ∴轴 ∴点D的横坐标为 将代入 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 3．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 易错06反比例函数与几何图形的综合问题 易错提醒 1.动点、存在性几何题型，分类讨论不全面，遗漏等腰三角形、平行四边形等多种存在情况。处理方法：固定分类讨论标准，按动点位置、图形顶点、底边分类逐一计算，杜绝漏解。 2.无法将平行、垂直、边相等等几何条件转化为代数方程，难以结合反比例函数xy=k解题。处理方法：设双曲线上动点坐标为(t,k/t)，把各类几何等量关系转化为含参数t的方程求解。 3.计算线段长度、图形面积时，直接使用负坐标数值，导致结果错误。处理方法：线段、面积计算统一采用坐标差值的绝对值，保证结果为正数。 【对点训练】 1．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A坐标为，点B坐标为，直线交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接、． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2)18 【分析】 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点、， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：对于，当时，， ∴， ∵过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D， ∴点D的纵坐标为， 把代入反比例函数，得，解得， ∴． ∴， ∴ ． 1．若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 2．若函数是反比例函数，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解，得； 当时，，满足系数不为的条件； 当时，； 故答案为：． 3．已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 4．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 5．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 6．数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为， ∴点一定在的左侧． 7．如图，点，，，四点分别在双曲线和上，且轴，若四边形是平行四边形，则它的面积为________． 【答案】 【详解】解：设点的纵坐标为()． ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上 ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴且 ∴轴，且 设点的纵坐标为 ∵点分别在双曲线和上 ∴ ∵ ∴，即 若，则点与点在同一直线上，无法构成平行四边形 ∴ ∴平行四边形边上的高 ∴ 8．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 【答案】 三 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 点的横坐标，纵坐标， 点位于第三象限. 9．如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴． 10．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，则密度关于体积V的函数解析式为_______________________． 【答案】 【详解】解：设密度关于体积的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 13．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 14．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 15．已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 16．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． (1)求与之间的函数关系式； (2)若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 【答案】(1) (2)这根竹升面的总长度至少有 【分析】 【详解】（1）解：设， 将点代入，得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得，， 当时，， 由图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，． 答：这根竹升面的总长度至少有． 17．如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． (1)将水从加热到，水温每分钟上升_________； (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； (3)请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； (4)请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)10 (2) (3)见解析 (4)13分钟 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，水温从加热到用时分钟， 温度上升的总量为：， 水温每分钟上升：， 故答案为：10． （2）解：在水温下降的过程中，设关于的函数表达式为， 由图象可知，当时，， 将代入，得： ． 解得， 在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为． （3）解：根据函数表达式，取为800的因数（且），寻找横、纵坐标均为整数的点： 当时，，点为， 当时，，点为， 当时，，点为， （注：答案不唯一，如等亦可） 函数图象为经过点以及上述三个点的平滑曲线（双曲线的一支），图象如下： （4）解：我们需要求水温的持续时间， ①在加热过程中： 设加热过程的函数表达式为， 图象过点和， ，解得， ， 令，解得，即， 所以在加热阶段，从第分钟开始水温不低于； ②在降温过程中： 函数表达式为， 令，解得，即， 所以在降温阶段，直到第分钟水温都不低于， 综上所述：水温不低于的时间段为， 持续时间为：（分钟）． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 知识点一 反比例函数基本定义 1.反比例关系判定：两个变量对应数值乘积为非零常数，则两变量成反比例。 2.标准函数形式：形如（为常数，）的函数是反比例函数，为自变量，为函数。 3.自变量取值范围：，对应函数值，因此函数图像与轴、轴无交点。 4.三种等价形式 （1），分式形式，直观体现自变量不能为0； （2），自变量次数为，判断函数类型专用； （3），快速计算比例系数，常用于面积类题型。 知识点二 反比例函数解析式的求解（待定系数法） 反比例函数仅含一个参数，只需一组对应值或图像上一个点坐标，即可求出完整解析式。 通用解题步骤： ①设函数解析式；②将已知点坐标或变量对应值代入式子，得到关于的方程；③解方程算出的具体数值；④把代回原式，写出最终函数关系式。 知识点三 反比例函数图像与基础性质 （一）图像绘制步骤 1.列表：以0为中心，左右选取多组互为相反数的自变量，仅计算右侧函数值，左侧可借助对称得出； 2.描点：先画出一侧图像上的点，利用原点中心对称画出另一侧点； 3.连线：用平滑曲线顺次连接点并延伸，禁止画折线；双曲线两支相互分离，无限靠近坐标轴但永不相交。 （二）图像核心特征 1.图像名称：双曲线，分为左右两个独立分支； 2.对称性：图像关于原点中心对称，若点在图像上，则也在图像上； 3.边界特点：因，图像无限贴近坐标轴，不存在交点。 （三）增减性规律 1.：双曲线分布在一、三象限，单个象限内，随增大而减小； 2.：双曲线分布在二、四象限，单个象限内，随增大而增大。 补充说明：增减性仅适用于同一分支，不能跨象限直接比较函数值大小；图像象限位置、增减性可反向判断的正负。 知识点四 比例系数的几何意义 设点在双曲线上，由可推导固定面积结论： ①过点分别作轴、轴垂线，垂线与坐标轴围成矩形，面积恒等于； ②过点向任意一条坐标轴作垂线，再连接原点与点，形成直角三角形，面积恒等于。 核心要点：面积只和的绝对值有关，无论点在双曲线哪一支，面积数值固定不变。 知识点五 反比例函数实际应用基础方法 （一）通用解题步骤 1.审题，区分常量与变量，判断二者存在反比例关系，设出反比例解析式； 2.代入题干已知条件，求出参数； 3.写出完整解析式，结合实际场景标注自变量取值范围； 4.利用函数解析式、图像性质求解题目问题。 （二）常见反比例实际模型 1.几何类：圆柱体积固定时，底面积与高成反比例； 2.工程类：工作总量固定时，工作时间与工作速度成反比例； 3.物理杠杆：阻力、阻力臂不变，动力与动力臂成反比例； 4.电学：电压恒定，输出功率与电阻成反比例。 易错01根据反比例函数的定义求参数 1.只关注自变量次数为-1，忽略隐藏条件k≠0，算出参数后不检验系数，容易出现增根。处理方法：解题实行双重判定，先令x的指数等于-1求出参数，再代入系数验证k≠0，舍去不符合的解。 2.题目带有分式、根式时，忘记同步满足分母不为0、被开方数非负等附加条件。处理方法：遇到分式、二次根式题型，联立所有限制条件列出不等式组，取公共有效解。 【对点训练】 1．若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 2．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 3．若函数是反比例函数，则m的值为_____． 易错02已知反比例函数分布的象限求参数范围 1.混淆k>0、k<0对应的函数象限，常误将k>0对应二、四象限。处理方法：牢记核心口诀，k>0图象在一、三象限，k<0图象在二、四象限，精准区分象限分布。 2.解析式中k为代数式时，解不等式符号方向容易出错，不会求解含参数不等式。处理方法：将代表k的代数式直接与0作比较，规范步骤求解一元一次不等式，避免符号错误。 【对点训练】 1．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 2．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 3．已知反比例函数的图象经过点，，且，那么这个反比例函数的表达式可以是______（写出一个符合条件的表达式）． 易错03已知反比例函数的增减性求参数 1.忽略反比例函数增减性仅在同一象限内成立，直接跨x=0比较不同分支的函数值，造成判断错误。处理方法：解题先明确前提，增减性只适用于双曲线同一分支，严禁跨象限比较函数值大小。 2.记反k值正负与增减性的对应关系，误以为k>0时y随x增大而增大。处理方法：熟记固定规律，k>0时，每个象限内y随x增大而减小；k<0时，每个象限内y随x增大而增大。 【对点训练】 1．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 易错04实际问题与反比例函数的图象问题 1.忽略实际问题中自变量取值范围（长度、人数、速度等均大于0），求解结果后不检验现实意义，出现零、负数等无实际意义的解。处理方法：算出参数或变量结果后，主动剔除负数、零等不符合实际场景的无效解。 【对点训练】 1．在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 2．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 3．在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度（）与糖浆总体积（）成反比例关系，其中与的对应值如下表： x（L） 2 2.5 3 4 y（） 750 600 500 375 (1)求关于的函数表达式； (2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？ (3)该小组熬制出糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至，稀释后糖浆浓度比原来降低了，求的值． 易错05反比例函数中利用k值求图形的面积 1.利用k值求面积时忘记加绝对值，k为负数时计算出负值面积，结果错误。处理方法：牢记固定公式，矩形面积S=|k|、直角三角形面积S=|k|/2，所有面积计算全程添加绝对值。 2.遇到复杂组合图形，不会拆分基础图形，无法套用k值面积公式解题。处理方法：采用割补法，将不规则图形拆分为矩形、直角三角形等基础图形，分别计算面积后再做加减运算。 【对点训练】 1．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 2．如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 3．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 易错06反比例函数与几何图形的综合问题 1.动点、存在性几何题型，分类讨论不全面，遗漏等腰三角形、平行四边形等多种存在情况。处理方法：固定分类讨论标准，按动点位置、图形顶点、底边分类逐一计算，杜绝漏解。 2.无法将平行、垂直、边相等等几何条件转化为代数方程，难以结合反比例函数xy=k解题。处理方法：设双曲线上动点坐标为(t,k/t)，把各类几何等量关系转化为含参数t的方程求解。 3.计算线段长度、图形面积时，直接使用负坐标数值，导致结果错误。处理方法：线段、面积计算统一采用坐标差值的绝对值，保证结果为正数。 【对点训练】 1．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A坐标为，点B坐标为，直线交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接、． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 1．若函数是反比例函数，则____． 2．若函数是反比例函数，试求的值． 3．已知函数是反比例函数，则________． 4．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 5．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 6．数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 7．如图，点，，，四点分别在双曲线和上，且轴，若四边形是平行四边形，则它的面积为________． 8．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 9．如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 10．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，则密度关于体积V的函数解析式为_______________________． 11．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 13．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 14．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 15．已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 16．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． (1)求与之间的函数关系式； (2)若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 17．如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． (1)将水从加热到，水温每分钟上升_________； (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； (3)请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； (4)请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $