专题01 三角形中的线段和角 讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的概念与分类、三边关系、三条重要线段（中线、角平分线、高）及内角和定理，系统梳理从基础定义到性质应用的知识脉络，为全等三角形学习构建几何识图与推理的入门支架。 资料通过14种分层题型（含基础到提升）、常见错误提示及解题思路指导，培养学生几何直观（如识别高的位置）、推理意识（角度计算与线段关系推导），课中助力教师分层教学，课后通过错误点与例题解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题01三角形中的线段和角精讲学案 课堂核心立意 本节课是三角形几何的起始内容，认识三角形基本构成要素，掌握三角形三边大小关系，理解高、中线、角平分线三条重要线段，运用三角形内角和定理进行角度计算，初步建立几何识图与简单推理能力，为全等三角形学习做好铺垫。 三角形的概念与分类 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形，记作ABC。 2. 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直角三角形记为RtABC，两个锐角互余。 3. 按边分类：不等边三角形、等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形三边关系 1. 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 2. 快速判定方法：只需检验较短两条线段之和大于最长线段，即可围成三角形。 3. 已知两条边长，求第三边取值范围：|a-b|<第三边<a+b。 三角形三条重要线段（均为线段，不是射线、直线） 中线 ①定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 ②几何表达：AD是ABC的中线，则BD=CD=BC。 ③性质：三条中线相交于重心；一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，中线始终在三角形内部。 角平分线 ①定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 ②几何表达：AD平分 BAC，则 BAD= CAD= BAC。 ③性质：三条角平分线交点在三角形内部。  高 ①定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 ②几何表达：AD是BC边上的高，则ADBC， ADB=ADC=90。 ③位置特点：锐角三角形三条高全部在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形有两条高在三角形外部。 三角形内角和 1. 定理：三角形三个内角的和等于180。 2. 推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 应用：直接角度计算、根据角度比例求各个内角大小。 ①忽略三边关系，直接把任意三条线段判定为三角形。 ②混淆高、中线、角平分线，误把三者当成直线或者射线。 ③钝角三角形作高，容易漏画外部的高，垂足落在边的延长线上。 ④求第三边范围，漏掉大于两边之差。 ⑤直角三角形审题，分不清哪个角是直角，误用互余关系。 ⑥等腰三角形求边长，算出结果不检验三边关系，保留无效解。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 构成三角形的条件 ★★ 题型四 确定第三边的取值范围 ★★ 题型五 三角形三边关系的应用 ★★★ 题型六 大（小）边对大（小）角定理 ★★★ 题型七 根据三角形中线求长度 ★★ 题型八 根据三角形中线求面积 ★★★ 题型九 重心的概念 ★★ 题型十 三角形角平分线的定义 ★★ 题型十一 画三角形的高 ★★ 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 题型十三 利用网格求三角形面积 ★★★ 题型十四 垂心 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一：三角形的识别与有关概念 解题思路： ①依据定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成三角形； ②识别顶点、边、内角，规范书写 ABC； ③分清边的对角、角的对边的对应关系； ④排除三点共线、线段没有首尾相接的图形。 1．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 2．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 3．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 题型二：三角形的个数问题 解题思路： ①有序枚举，按从小到大、从左到右的顺序数，防止重复、遗漏； ②方法：固定一条边，数出以此边构成的所有三角形； ③标记顶点，组合筛选，三点共线不能构成三角形，不计入。 4．如图，图中有_______个三角形． 【答案】6 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：图中有6个三角形，分别是． 5．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 6．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 7．平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，解决本题的关键是逐一增加三角形个数进行判断． 平面被n个三角形最多分成的区域数遵循递推规律，每新增一个三角形，其每条边与之前每个三角形的两条边相交，新增区域数等于交点数． 【详解】解：初始状态：平面未被分割时，区域数为1． 第1个三角形：将平面分成2部分，即新增1部分，累计区域数， 第2个三角形：每条边与第1个三角形的两条边相交，产生个交点，新增6部分，累计区域数， 第3个三角形：每条边与前2个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增12部分，累计区域数， 第4个三角形：每条边与前3个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增18部分，累计区域数， 第5个三角形：每条边与前4个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增24部分，累计区域数， 综上，5个三角形最多将平面划分成62个部分， 故选C． 题型三：构成三角形的条件 解题思路： ①定理：三角形任意两边之和大于第三边； ②快速判断：较短两边之和＞最长边，就可以组成三角形； ③等腰三角形计算出边长后，务必回代检验三边关系，舍去无效解。 8．三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分两种情况：第三边的长为和第三边的长为，根据三角形中，任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形，再结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为； 故答案为：20． 9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，求解即可； 【详解】解：A．，能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，不能组成三角形； 10．若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是_______． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系解题． 【详解】解：分两种情况讨论：当腰长为时，第三边长为，此时三边长为， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 当腰长为时，第三边长为，此时三边长为， ∵ ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 因此第三边长为． 11．若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 题型四：确定第三边的取值范围 解题思路： ①已知两边a、b，第三边x范围：|a-b|<x<a+b； ②若要求边长是整数，在不等式范围内找出所有整数； ③看清题干有无实际限制条件。 12．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：此三角形的两边长分别为和， 第三边长的取值范围是， 即． 13．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 14．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 15．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 题型五：三角形三边关系的应用 解题思路： ①利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； ②用于化简带绝对值的代数式，先判断式子内部正负，再去绝对值； ③等腰三角形求周长，分情况讨论腰与底，每种情况都检验三边关系。 16．已知一个三角形的三边均为整数，其中两边长分别是和，则第三边的长度可以是________．（填一个满足条件的答案即可） 【答案】（或或） 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，再选取符合条件的整数即可. 【详解】解：设第三边的长度为， 根据三角形三边关系可得，， 即， 因为三角形三边均为整数， 所以可以取或，． 17．下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，错误； B、，不能组成三角形，错误； C、，能够组成三角形，正确； D、，不能组成三角形，错误． 18．若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 19．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（     ） A．1.5 B．2.1 C．2.4 D．3.0 【答案】A 【分析】根据题意可得的周长等于正方形的周长，都为4，设，则，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：正方形的周长为， ∴的周长， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴A选项符合题意． 题型六：大（小）边对大（小）角定理 解题思路： ①同一三角形内：大边对大角，小边对小角；反过来大角对大边，小角对小边； ②比较角大小：看它们所对边的长短；比较边大小：看对应内角大小； ③只适用于同一个三角形，不同三角形不能直接套用。 20．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 21．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 22．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 23．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型七：根据三角形中线求长度 解题思路： ①中线定义：中线平分对边，若AD是BC边上中线，则BD=DC=BC； ②利用线段的和差进行计算； ③多条中线共存时，找准相等的线段，建立等式求解。 24．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 25．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的中线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，因此需判断哪个选项能推出是的中点，即． 【详解】解：A、由折叠可知，无法推出，故不一定是的中线； B、由折叠可知，无法推出，故不一定是的中线； C、由折叠可知，即点是的中点，故是的中线； D、由折叠可知，无法推出，故不一定是的中线． 26．如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 27．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 题型八：根据三角形中线求面积 解题思路： ①三角形的一条中线，把原三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）； ②多次作中线，层层传递面积倍数关系； ③看清是哪条边上的中线，找准等底的线段。 28．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 【答案】 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴． 29．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 30．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． 31．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 题型九：重心的概念 解题思路： ①重心：三角形三条中线的交点，一定在三角形内部； ②重心性质：重心把每条中线分成2:1两段，顶点到重心的长度:重心到中点的长度=2:1； ③利用2:1比例进行线段长度计算。 32．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 33．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 34．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 题型十：三角形角平分线的定义 解题思路： ①三角形角平分线是线段，平分三角形的一个内角； ②几何语言：AD平分 BAC BAD= CAD= BAC； ③结合角的和差关系计算角度；注意区分“角平分线（线段）”和角的平分线（射线）。 35．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 36．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 37．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 38．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 题型十一：画三角形的高 解题思路： ①高：从顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点到垂足的线段； ②锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ③直角三角形：两条高就是两条直角边； ④钝角三角形：两条高在三角形外部，垂足落在边的延长线上，不要画到边本身上。 39．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 40．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 41．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 题型十二：与三角形的高有关的计算问题 解题思路： ①高垂直对应底边，出现90直角； ②常用等面积法：底1高1=底2高2，已知一组底和高，求另一边上的高； ③结合直角互余进行角度计算，注意钝角三角形外部高的角度关系。 42．在中，，是的高，，则__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差求解即可． 【详解】解：①如图，当在的内部时， ∵，， ∴； ②如图，当在的外部时， ∵，， ∴； 综上，或． 43．如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 44．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 45．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 题型十三：利用网格求三角形面积 解题思路： ①方法一：直接找水平/竖直的底和对应高，用面积公式计算； ②方法二：割补法，把三角形包裹在矩形内，用矩形面积减去周围几个直角三角形的面积； ③网格中注意不要数错格子的边长。 46．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点上，则的面积是________． 【答案】5 【分析】网格中利用割补法求不规则三角形面积为周围的正方形面积减去三个直角三角形的面积． 【详解】解：由图可得． 47．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将沿的方向平移，使得点A移至图中的点的位置，写出平移过程中线段扫过的面积________． 【答案】8 【分析】根据平移画出图形，结合图形利用割补法求解可得． 【详解】解：如图， 线段扫过的图形为平行四边形， 则． 48．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 题型十四：垂心 解题思路： ①垂心定义：三角形三条高所在直线的交点； ②位置区分：锐角三角形垂心在内部；直角三角形垂心在直角顶点；钝角三角形垂心在三角形外部； ③垂心是高所在直线交点，钝角三角形两条高是线段，但垂心在线段之外。 49．下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确； B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确； C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确； D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键． 50．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 51．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 解答题 1．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 2．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 3．如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 【点睛】 5．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作三角形； (2)解：如图所示，为边上的中线； (3)解：如图所示，为边上的高线； (4)4 【分析】（1）首先根据对应点和可以确定平移的方向和距离，然后借助网格确定出，平移后的对应点，，进而可确定出； （2）观察网格可知，的长度等于长、宽分别为4和2的长方形的对角线的长度，因此它的长度的一半等于长、宽分别为2和1的长方形的对角线的长度，进而确定出的中点，再连接即可； （3）利用三角尺的直角，过点作边的延长线的垂线，垂足为，连接即为所求； （4）利用“割补法”求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示， ． 6．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1) 点即为所作； (2) 线段即为所作； 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 【答案】，，， ，，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，平分（已知） ∴，， ∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，，，，，，，同位角相等，两直线平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的线段和角精讲学案 课堂核心立意 本节课是三角形几何的起始内容，认识三角形基本构成要素，掌握三角形三边大小关系，理解高、中线、角平分线三条重要线段，运用三角形内角和定理进行角度计算，初步建立几何识图与简单推理能力，为全等三角形学习做好铺垫。 三角形的概念与分类 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形，记作ABC。 2. 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直角三角形记为RtABC，两个锐角互余。 3. 按边分类：不等边三角形、等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形三边关系 1. 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 2. 快速判定方法：只需检验较短两条线段之和大于最长线段，即可围成三角形。 3. 已知两条边长，求第三边取值范围：|a-b|<第三边<a+b。 三角形三条重要线段（均为线段，不是射线、直线） 中线 ①定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 ②几何表达：AD是ABC的中线，则BD=CD=BC。 ③性质：三条中线相交于重心；一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，中线始终在三角形内部。 角平分线 ①定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 ②几何表达：AD平分 BAC，则 BAD= CAD= BAC。 ③性质：三条角平分线交点在三角形内部。  高 ①定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 ②几何表达：AD是BC边上的高，则ADBC， ADB=ADC=90。 ③位置特点：锐角三角形三条高全部在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形有两条高在三角形外部。 三角形内角和 1. 定理：三角形三个内角的和等于180。 2. 推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 应用：直接角度计算、根据角度比例求各个内角大小。 ①忽略三边关系，直接把任意三条线段判定为三角形。 ②混淆高、中线、角平分线，误把三者当成直线或者射线。 ③钝角三角形作高，容易漏画外部的高，垂足落在边的延长线上。 ④求第三边范围，漏掉大于两边之差。 ⑤直角三角形审题，分不清哪个角是直角，误用互余关系。 ⑥等腰三角形求边长，算出结果不检验三边关系，保留无效解。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 构成三角形的条件 ★★ 题型四 确定第三边的取值范围 ★★ 题型五 三角形三边关系的应用 ★★★ 题型六 大（小）边对大（小）角定理 ★★★ 题型七 根据三角形中线求长度 ★★ 题型八 根据三角形中线求面积 ★★★ 题型九 重心的概念 ★★ 题型十 三角形角平分线的定义 ★★ 题型十一 画三角形的高 ★★ 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 题型十三 利用网格求三角形面积 ★★★ 题型十四 垂心 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一：三角形的识别与有关概念 解题思路： ①依据定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成三角形； ②识别顶点、边、内角，规范书写 ABC； ③分清边的对角、角的对边的对应关系； ④排除三点共线、线段没有首尾相接的图形。 1．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 3．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 题型二：三角形的个数问题 解题思路： ①有序枚举，按从小到大、从左到右的顺序数，防止重复、遗漏； ②方法：固定一条边，数出以此边构成的所有三角形； ③标记顶点，组合筛选，三点共线不能构成三角形，不计入。 4．如图，图中有_______个三角形． 5．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 6．如图所示，图中共有三角形______个． 7．平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 题型三：构成三角形的条件 解题思路： ①定理：三角形任意两边之和大于第三边； ②快速判断：较短两边之和＞最长边，就可以组成三角形； ③等腰三角形计算出边长后，务必回代检验三边关系，舍去无效解。 8．三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 10．若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是_______． 11．若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 题型四：确定第三边的取值范围 解题思路： ①已知两边a、b，第三边x范围：|a-b|<x<a+b； ②若要求边长是整数，在不等式范围内找出所有整数； ③看清题干有无实际限制条件。 12．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 13．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 15．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 题型五：三角形三边关系的应用 解题思路： ①利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； ②用于化简带绝对值的代数式，先判断式子内部正负，再去绝对值； ③等腰三角形求周长，分情况讨论腰与底，每种情况都检验三边关系。 16．已知一个三角形的三边均为整数，其中两边长分别是和，则第三边的长度可以是________．（填一个满足条件的答案即可） 17．下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 19．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（     ） A．1.5 B．2.1 C．2.4 D．3.0 题型六：大（小）边对大（小）角定理 解题思路： ①同一三角形内：大边对大角，小边对小角；反过来大角对大边，小角对小边； ②比较角大小：看它们所对边的长短；比较边大小：看对应内角大小； ③只适用于同一个三角形，不同三角形不能直接套用。 20．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 21．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 22．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 23．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 题型七：根据三角形中线求长度 解题思路： ①中线定义：中线平分对边，若AD是BC边上中线，则BD=DC=BC； ②利用线段的和差进行计算； ③多条中线共存时，找准相等的线段，建立等式求解。 24．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则_____． 25．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的中线的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 27．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 题型八：根据三角形中线求面积 解题思路： ①三角形的一条中线，把原三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）； ②多次作中线，层层传递面积倍数关系； ③看清是哪条边上的中线，找准等底的线段。 28．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 29．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 30．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 31．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 题型九：重心的概念 解题思路： ①重心：三角形三条中线的交点，一定在三角形内部； ②重心性质：重心把每条中线分成2:1两段，顶点到重心的长度:重心到中点的长度=2:1； ③利用2:1比例进行线段长度计算。 32．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 33．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 34．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 题型十：三角形角平分线的定义 解题思路： ①三角形角平分线是线段，平分三角形的一个内角； ②几何语言：AD平分 BAC BAD= CAD= BAC； ③结合角的和差关系计算角度；注意区分“角平分线（线段）”和角的平分线（射线）。 35．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 36．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 37．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 38．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 题型十一：画三角形的高 解题思路： ①高：从顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点到垂足的线段； ②锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ③直角三角形：两条高就是两条直角边； ④钝角三角形：两条高在三角形外部，垂足落在边的延长线上，不要画到边本身上。 39．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 40．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 题型十二：与三角形的高有关的计算问题 解题思路： ①高垂直对应底边，出现90直角； ②常用等面积法：底1高1=底2高2，已知一组底和高，求另一边上的高； ③结合直角互余进行角度计算，注意钝角三角形外部高的角度关系。 42．在中，，是的高，，则__________． 43．如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 44．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 45．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 题型十三：利用网格求三角形面积 解题思路： ①方法一：直接找水平/竖直的底和对应高，用面积公式计算； ②方法二：割补法，把三角形包裹在矩形内，用矩形面积减去周围几个直角三角形的面积； ③网格中注意不要数错格子的边长。 46．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点上，则的面积是________． 47．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将沿的方向平移，使得点A移至图中的点的位置，写出平移过程中线段扫过的面积________． 48．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 题型十四：垂心 解题思路： ①垂心定义：三角形三条高所在直线的交点； ②位置区分：锐角三角形垂心在内部；直角三角形垂心在直角顶点；钝角三角形垂心在三角形外部； ③垂心是高所在直线交点，钝角三角形两条高是线段，但垂心在线段之外。 49．下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 50．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 51．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 解答题 1．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 2．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 3．如图，已知：与相交于点，，，求证：． 4．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 5．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 6．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 7．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $