第04讲 等腰三角形（核心知识+10易错辨析+14典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版八年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项

本讲义系统梳理等腰三角形核心知识，从定义出发，涵盖性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边），延伸至等边三角形的性质与判定，以及含30度角的直角三角形定理，构建从基础到特殊的知识支架。 资料特色突出，10个易错辨析助力学生用数学思维规避误区，14类典例结合格点图作图等几何直观培养抽象能力与推理意识，如手扶电梯、双翼闸门实例体现数学语言表达现实世界。课中辅助教师高效授课，课后作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第04讲 等腰三角形（核心知识+10易错辨析+14典例精讲+课后作业） 【知识点01】等腰三角形相关概念 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫作腰，第三条边叫作底边； 两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 2. 等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 【知识点02】等腰三角形性质（重点） 1. 性质1（等边对等角） 等腰三角形的两底角相等。 几何语言：在△ABC中，AB=AC，可得∠B=∠C。 2. 性质2（三线合一） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 三种常用几何表达： AB=AC，∠BAD=∠CAD，可得AD⊥BC，BD=CD AB=AC，BD=CD，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD AB=AC，AD⊥BC，可得BD=CD，∠BAD=∠CAD 注意：三线合一只针对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高、中线不适用！ 3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线（即底边的垂直平分线）。 【知识点03】等腰三角形判定 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。 几何语言：在△ABC中，∠B=∠C，可得AB=AC。 【知识点04】等边三角形性质与判定 性质 1. 三边相等； 2. 三个内角都相等，都等于60°； 3. 有3条对称轴。 判定 1. 三边相等的三角形是等边三角形； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点05】含30度角的直角三角形 1. 核心定理（必考重点） 定理内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴ BC=AB。 关键提醒：必须认准是30°角所对的直角边，而非邻边，这是定理核心。 2. 逆定理（常用解题推论） 逆定理内容：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB，∴ ∠A=30°。 3. 三边固定比例关系 含30°角的直角三角形，三边比值（短直角边:长直角边:斜边）为：1::2 设30°角所对的短直角边长为a，则： 短直角边（30°对边）：a 长直角边（60°对边）：a 斜边：2a 易错1：已知等腰三角形两边长，求周长，遗漏分类讨论、忽略三边关系检验 例题：等腰三角形两边长为3、7，求周长。 ❌ 错解：分3、3、7和7、7、3两种情况，计算两个周长 ✅ 正解：根据三角形三边关系，3+3<7，无法构成三角形，仅可取7、7、3，周长为17 口诀：遇边长，先分类，再验证三边关系。 易错2：已知等腰三角形一个内角，求另外两角，不分类顶角和底角 例题：等腰三角形一个内角为50°，求另外两角。 若50°是顶角：底角=(180°-50°)÷2=65°，另外两角为65°、65°； 若50°是底角：另一个底角50°，顶角80°，另外两角为50°、80°。 ⚠️ 特殊规律：等腰三角形中，钝角、直角只能是顶角（三角形最多一个直角或钝角），因此已知角≥90°时无需分类讨论，仅有一解。 易错3：混淆“三线合一”适用范围 误区：等腰三角形任意角平分线、任意中线、任意高都互相重合。 纠正：三线合一仅适用于等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高和中线不具备该性质。 易错4：忽视等边对等角、等角对等边的使用前提 两条定理的适用前提是同一个三角形内部，跨两个及以上三角形，不能直接使用该结论推导边角关系。 易错5：等边三角形判定条件记忆不全 误区：有一个角是60°的三角形是等边三角形。 纠正：判定核心条件为等腰三角形+一个60°内角，二者缺一不可。 易错6：轴对称对称轴表述错误 ❌ 错误表述：等腰三角形对称轴是底边。 ✅ 正确表述：等腰三角形对称轴是底边的垂直平分线（顶角平分线所在直线），对称轴是直线，不是线段。 易错7：混淆线段对应关系 ❌ 错误认知：直角三角形中，30°角对应的直角边等于另一条直角边的一半。 ✅ 正确结论：30°角所对的直角边，仅等于斜边的一半，与另一条直角边无一半数量关系。 易错8：忽略定理适用前提 ❌ 错误用法：任意三角形中，只要有30°角，就判定对边是最长边的一半。 ✅ 正确前提：定理和逆定理仅适用于直角三角形，普通三角形、钝角三角形、锐角三角形均不适用。 易错9：找错30°角的对边 典型误区：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，误判AB的一半为BC。 ✅ 精准判断：∠B=30°，对边为AC，因此AC=1/2 AB，做题需先标注角度、找准对边。 易错10：逆定理滥用 ❌ 错误用法：普通三角形中，若一条边是另一条边的一半，直接判定对应角为30°。 ✅ 严格规则：逆定理必须满足直角三角形前提，缺一不可。 【题型一】等腰三角形的定义 【例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．本题需结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【详解】解：等腰三角形两边长为、 分两种情况讨论 ①若第三边长为，则三边为、、 ，不满足三角形两边之和大于第三边的关系 此情况不成立 ②若第三边长为，则三边为、、 ，，满足三角形三边关系 此情况成立 第三边长为 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长为（   ） A．2或5 B．5 C．3.5 D．5或3.5 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，需分腰长为5和底边长为5两种情况讨论，再验证是否符合三角形三边关系． 【详解】解：①当腰长为5时， ∵等腰三角形周长为12，腰长为5， ∴底边长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立，腰长为5； ②当底边长为5时， ∵等腰三角形周长为12，底边长为5， ∴腰长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立，腰长为3.5， 综上，它的腰长为5或3.5， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）等腰三角形的两边长分别是和，则周长为______． 【答案】26 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论腰长，并应用三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：若腰长为，则底边为，，不满足三角形三边关系，故舍去． 若腰长为，则底边为，，满足三角形三边关系， 故周长为． 故答案为：26． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 【题型二】等边对等角 【例2】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角，熟练掌握性质是解题的关键．根据，得，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 【答案】或 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时． 【详解】在中，，，则． （Ⅰ）当点在线段上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ． （Ⅱ）当点在延长线上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 综上所述，或． 故答案为：或 【变式3】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）求证：等边对等角． 【答案】证明见解析 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质 “等边对等角” 的证明，解题关键是通过作辅助线，利用三角形全等证明对应角相等． 首先根据题意作出图形，将文字题用数学语言表达出来，再取BC的中点D，连接AD，利用SSS的证明方法即可证得，证得等边对等角． 【详解】如图：已知：在中，， 求证：． 证明：取BC的中点D，连接， 在和中， ， ． 【题型三】三线合一 【例3】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论． 【详解】解：∵，D为中点， ∴是的平分线， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为______． 【答案】2 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为2． 【变式2】．如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【变式3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，于点．若，，求的周长． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 由，，可得，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长为． 【题型四】格点图中画等腰三角形 【例4】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 【变式2】．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【答案】4 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【变式3】．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】(1) 如图①中，线段即为所求； (2)如图②中，线段即为所求； (3)如图③中，点即为所求． 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【题型五】根据等角对等边证明等腰三角形 【例5】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【详解】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 【变式1】．（2024八年级上·江苏扬州·期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个． 【答案】3 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解． 【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A， ∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C， ∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形， ∵∠C＝∠ABC＝72°， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键． 【变式2】．已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 【答案】 解：是等腰三角形，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴是等腰三角形. 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，利用证明，得到，则可证明，据此可得结论 ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图所示，在中，，是延长线上一点，点E在上，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型六】根据等角对等边证明边相等 【例6】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是9，，则周长为（   ） A．9 B．15 C．21 D．24 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边， 根据角平分线定义和平行线的性质得，再根据“等角对等边”得，然后根据周长得出答案． 【详解】解：∵的平分线交于点E， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵周长． ∵， ∴的周长为． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，平分，，若，则____． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，在上取点，使得，证明，推出，，再根据结合邻补角的定义可得，推出，由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再由全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中 ， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． 先用证明可得，再根据等角对等边即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接 ∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型七】根据等角对等边求边长 【例7】．如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等角对等边，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，，若，，则________． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了全等三角形的性质．等角对等边，根据全等三角形的性质得到，，根据等角对等边得出，进而可知． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为______． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了等角对等边，，则，由的周长为，可得，即，然后通过周长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型八】等腰三角形的性质和判定 【例8】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． A、证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得等腰直角三角形，则； B、根据可依据“”判定和全等得，据此可对该结论进行判断； C、过点D作于点H，先证明和全等得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得，据此可对该结论进行判断； D、根据点N在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：A、∵于点D， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点M， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故选项A正确； B、∵于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确； C、过点D作于点H，如图所示： ∴， ∵于点M， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项C正确； D、∵点N在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故选项D不正确． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 连接，证明，得出相等的边和角，再利用三角形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，且为， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积与四边形的面积相等， ∴， 即， 解得，（负值已舍） 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，平分，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】36°或 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，将设为并底角表示出来，再进行等腰三角形的分类讨论，计算是否符合情况得到答案即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论∶ ①当时，，即，解得， ∴； ②当时，此时点D和点C重合，∴此情况不存在； ③当时，，即， 解得 ， ∴； 故答案为：或． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，点G在上，且，求的度数； (3)过点C作连接交于点N，若，直接写出的面积_______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)21 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）利用已知条件即可证明，进而证得； （2）由（1）知，，证，得，最后由求解； （3）延长交于F，证明，得到，求得长度，利用三角形面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； （3）解：延长交于F． 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：21． 【题型九】等边三角形的性质 【例9】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质．先利用等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A． B．2025 C． D．2024 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，推出，，即的边长为；同理可得：，，即的边长为；，，即的边长为；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴，即的边长为； 同理可得：， ∴，即的边长为； ， ∴，即的边长为； …. ∴的边长为， 故选：C 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则_____． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，分别以的边 向外作等边和等边，与相交于点O． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据角的和差和对顶角的性质求出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 【题型十】等边三角形的判定 【例10】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键． 根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：根据等边三角形的判定可知：有两个角等于的三角形是等边三角形，故①可以判定为等边三角形； 根据等边三角形的判定可知：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故②可以判定为等边三角形； ∵三角形的外角和等于， 又∵三角形的三个外角都相等， ∴这个三角形的三个外角都等于， ∴这个三角形的三个内角都等于， ∴这个三角形是等边三角形， ∴三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故③可以判定为等边三角形； ∵一腰上的中线也是这条腰上的高， ∴这条线是腰的垂直平分线， ∴腰与底相等， 又∵腰与底相等的等腰三角形是等边三角形， ∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，故④可以判定为等边三角形． 综上所述：①②③④都能判定为等边三角形，共有4个． 故选：A． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ___________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． 【变式3】．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【答案】等边三角形， 证明：由折叠的性质可知：，， ∵是边的中线， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．由折叠的性质可得出、，根据角的计算可得出，再根据中线的定义即可得出，由此即可证出是等边三角形． 【题型十一】等边三角形的判定和性质 【例11】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质进行推理计算．先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】2.4 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】先根据平角的定义可得，进而可得是等边三角形，则可得 （米）． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由题知， ∴是等边三角形， ∴（米）． 故答案为：2.4． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)的度数为 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质和证明全等三角形，证明全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到对应边相等，再进行等角代换得到相等的角，即可证明； （2）根据角平分线并结合全等三角形得到，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵在等边中，是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）【探究】（1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点D在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （2）如图3，等边三角形中，，点E在上，．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②（2）或11 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质及已知条件可证得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； ②根据等边三角形的性质及已知条件可证得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）分当点在点左侧时、点在点右侧且在线段上、点在右侧且在延长线上三种情况，分别根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的定义进行解答即可． 【详解】解：（1）①，理由如下： 证明：∵和是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ②．理由如下： 证明：∵和是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过作， ∴， 则为等边三角形， 如图1：当点在点左侧时， ∵和是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ∴不可能为直角三角形． ②如图2：当点在点右侧，且在线段上时， 同理可得：， ， 此时只有有可能为． 当时，， ， ， ， 又 ∵， ． ③如图3：当点在右侧，且在延长线上时， 此时只有， ， ， ， ， ， ， 综上：的长为5或11． 【题型十二】含30度角的直角三角形 【例12】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的性质与角平分线的定义，通过角度计算得到线段的等量关系是解题关键． 根据，，平分，可得，，再由，可得，根据可得长度． 【详解】解：，， ， BD平分， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，构造直角三角形是解此题的关键．过作延长线于点，求出，根据含度的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：如图所示，过作延长线于点，  则，， ， ， ， 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 【答案】58 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．掌握此性质是解题的关键． 作于点，于点，得，再利用含角的直角三角形的性质，求出的值，即可求出通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：作于点，于点，得， ，， ，， 通过闸机的物体的最大宽度是． 故答案为58． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过A作于E，过B作于F， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【题型十三】斜边的中线等于斜边的一半 【例13】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　  　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练运用该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质可得到、的长，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别是边上的高，M为的中点， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴的周长=． 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为， ∴． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm． 【答案】1 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 根据直角三角形斜边中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，且为斜边的中线， ∴， 故答案为：1． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，进而得出由垂直定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】（1）解：，是边上的中线， ，， 【题型十四】直角三角形的两个锐角互余 【例14】．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 另一个锐角的度数是， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，、相交于点，图中相等的锐角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及对顶角、直角三角形两锐角关系，解题的关键是通过证明三角形全等得出角的关系． 先利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余得出一组角相等，再通过“HL”证明两个直角三角形全等，进而得出其他角相等，统计相等锐角的对数． 【详解】解：图中相等的锐角有： 证明：根据对顶角相等，可得：； ， ， ， ； 在和中， ， ， ． 故选：C． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在和中，，，，则______． 【答案】/40度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质，由，可得，再证明，得到，最后根据角的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及全等三角形的性质、直角三角形的性质，关键是利用证明三角形全等，再结合全等性质与直角三角形的角度关系求解． （1）先根据判定和为直角三角形，再结合已知和公共边，利用定理证明全等． （2）由全等三角形的性质得，在中求出的度数，再利用三角形外角性质或直角三角形两锐角互余的关系，建立关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， 又∵，， ∴，即， 解得； 故答案为：． 1. 三大核心定理 性质定理：等边对等角、等腰三角形三线合一； 判定定理：等角对等边。 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，配套可逆定理，是本章线段倍分关系的核心依据。 2. 核心思想方法 分类讨论思想：求解等腰三角形边长、内角度数时，需分情况讨论，避免漏解； 转化思想：借助三线合一，实现角相等、线段相等、垂直关系的相互转化，简化证明和计算； 数形结合思想：利用等腰三角形的轴对称性，快速寻找相等线段、相等角，梳理解题思路。 两个必备条件：使用定理必须同时满足「直角三角形」+「含30°内角」，缺一不可，这是解题的基础前提。 3. 通用解题思路 题干出现等腰三角形，优先利用底角相等、三线合一的性质；遇难题可作底边上的高构造垂直、平分关系； 需证明两条线段相等，可优先证明线段所对的角相等，利用等角对等边完成证明。 几何题中出现线段2倍、一半关系，优先考虑构造含30°角的直角三角形；非直角三角形含30°角，必先作高转化。 4. 知识层级关系 等边三角形属于特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时拥有自身专属性质（三个内角均为60°、三条对称轴）。 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，分类讨论是解答的关键． 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和为，分情况讨论已知内角为底角和顶角求解即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，等腰三角形的两个底角相等 若该内角为底角，则两底角之和为，不符合三角形内角和定理， ∴该内角只能是顶角， ∴底角度数为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 【详解】解：，， ，，． 故D错误，A，B，C正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则其周长为（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．10或13 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系；等腰三角形有两边相等，需分腰为3底为5或腰为5底为3两种情况，并验证三角形三边关系. 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和5， ∴有两种情况：①若腰为3，底为5，则三边为3，3，5， ∵较短的两边之和， ∴能组成三角形， 周长. ②若腰为5，底为3，则三边为5，5，3， ∵较短的两边之和， ∴能组成三角形， 周长. 综上：周长为11或13. 故选：C. 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与判定，如图：连接交于点O，证明垂直平分， ，，可得，再证明，进一步求解即可. 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则为（   ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中，度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形，， ，， 设，则， ，， ， ，， ， 故选B． 7．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 9．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、等腰三角形三线合一性质．熟悉直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 连接辅助线，，根据直角三角形斜边中线定理得到是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而根据勾股定理得到此时的长度． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∴点是线段的中点， ∴， ∴在中，， ∴此时线段． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点F，若，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识． 取的中点G，连接，设，再利用x、y表示，列方程即可得到x的值，即可解答． 【详解】解：取的中点G，连接， 设， 可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，由等腰三角形的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 14．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，为的角平分线，，于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与直线所夹的锐角为， ∴或； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，点在射线上，连接，若，则的最小值______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质；根据等边三角形的性质可得，，根据可证，可得，当时，的长度最小，根据直角三角形的性质可求的最小值． 【详解】解：是等边三角形，点是的中点， ， 和均为等边三角形， ，，， ，且，， ， ， 当时，的长度最小， ， 最小值， 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质．先利用等腰三角形三线合一的性质得出是直角三角形，然后通过是直角三角形斜边中线得到． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∴是直角三角形． 又∵点是边的中点， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则的周长为 ． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先由等腰三角形三线合一可得，且平分，则，根据等边三角形，可知，由等腰三角形性质及外角性质求得即可得证； （2）在中，由含直角三角形性质求出，再由等边三角形性质求周长即可得到答案． 【详解】（1）解：是等边三角形，是中线， ，且平分，， ∴， ， ， ， ， 则， ， 即是等腰三角形； （2）解：， ， 在中，，则， ， ， 是中线， ， 则的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形性质、直角三角形两锐角互余、含直角三角形性质等知识，熟记等边三角形的性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 19．按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键， （1）延长至E，使，连接证明，结合题意得到，，由此即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明，结合题意得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：延长至E，使，连接，如图1所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 延长至F，使，连接，如图2所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质可知，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可知，，所以可知，根据可求结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：， ∴， ， ∴． 21．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）解：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； （2）解：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出，即可得证； （2）作，交于点，进而得到，三线合一，得到，证明，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）作，交于点， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点与点重合时，求证：是的中点； (2)如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）旋转得到，进而求出，等角对等边，得到，同角的余角相等得到，得到，进而得到即可； （2）根据等边对等角，易得，得到点在边上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （3）取的中点，连接，根据旋转的性质，求出，证明，进而得到，进而得到，平行得到，斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角的性质，得到，等角对等边得到，进而得到，等量代换，得到，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的中点； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：取的中点，连接，如图： ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 24．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 【答案】(1)见解析 (2)或；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质． （1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：分两种情况： ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； （3）解：∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 等腰三角形（核心知识+10易错辨析+14典例精讲+课后作业） 【知识点01】等腰三角形相关概念 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫作腰，第三条边叫作底边； 两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 2. 等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 【知识点02】等腰三角形性质（重点） 1. 性质1（等边对等角） 等腰三角形的两底角相等。 几何语言：在△ABC中，AB=AC，可得∠B=∠C。 2. 性质2（三线合一） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 三种常用几何表达： AB=AC，∠BAD=∠CAD，可得AD⊥BC，BD=CD AB=AC，BD=CD，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD AB=AC，AD⊥BC，可得BD=CD，∠BAD=∠CAD 注意：三线合一只针对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高、中线不适用！ 3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线（即底边的垂直平分线）。 【知识点03】等腰三角形判定 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。 几何语言：在△ABC中，∠B=∠C，可得AB=AC。 【知识点04】等边三角形性质与判定 性质 1. 三边相等； 2. 三个内角都相等，都等于60°； 3. 有3条对称轴。 判定 1. 三边相等的三角形是等边三角形； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点05】含30度角的直角三角形 1. 核心定理（必考重点） 定理内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴ BC=AB。 关键提醒：必须认准是30°角所对的直角边，而非邻边，这是定理核心。 2. 逆定理（常用解题推论） 逆定理内容：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB，∴ ∠A=30°。 3. 三边固定比例关系 含30°角的直角三角形，三边比值（短直角边:长直角边:斜边）为：1::2 设30°角所对的短直角边长为a，则： 短直角边（30°对边）：a 长直角边（60°对边）：a 斜边：2a 易错1：已知等腰三角形两边长，求周长，遗漏分类讨论、忽略三边关系检验 例题：等腰三角形两边长为3、7，求周长。 ❌ 错解：分3、3、7和7、7、3两种情况，计算两个周长 ✅ 正解：根据三角形三边关系，3+3<7，无法构成三角形，仅可取7、7、3，周长为17 口诀：遇边长，先分类，再验证三边关系。 易错2：已知等腰三角形一个内角，求另外两角，不分类顶角和底角 例题：等腰三角形一个内角为50°，求另外两角。 若50°是顶角：底角=(180°-50°)÷2=65°，另外两角为65°、65°； 若50°是底角：另一个底角50°，顶角80°，另外两角为50°、80°。 ⚠️ 特殊规律：等腰三角形中，钝角、直角只能是顶角（三角形最多一个直角或钝角），因此已知角≥90°时无需分类讨论，仅有一解。 易错3：混淆“三线合一”适用范围 误区：等腰三角形任意角平分线、任意中线、任意高都互相重合。 纠正：三线合一仅适用于等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高和中线不具备该性质。 易错4：忽视等边对等角、等角对等边的使用前提 两条定理的适用前提是同一个三角形内部，跨两个及以上三角形，不能直接使用该结论推导边角关系。 易错5：等边三角形判定条件记忆不全 误区：有一个角是60°的三角形是等边三角形。 纠正：判定核心条件为等腰三角形+一个60°内角，二者缺一不可。 易错6：轴对称对称轴表述错误 ❌ 错误表述：等腰三角形对称轴是底边。 ✅ 正确表述：等腰三角形对称轴是底边的垂直平分线（顶角平分线所在直线），对称轴是直线，不是线段。 易错7：混淆线段对应关系 ❌ 错误认知：直角三角形中，30°角对应的直角边等于另一条直角边的一半。 ✅ 正确结论：30°角所对的直角边，仅等于斜边的一半，与另一条直角边无一半数量关系。 易错8：忽略定理适用前提 ❌ 错误用法：任意三角形中，只要有30°角，就判定对边是最长边的一半。 ✅ 正确前提：定理和逆定理仅适用于直角三角形，普通三角形、钝角三角形、锐角三角形均不适用。 易错9：找错30°角的对边 典型误区：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，误判AB的一半为BC。 ✅ 精准判断：∠B=30°，对边为AC，因此AC=1/2 AB，做题需先标注角度、找准对边。 易错10：逆定理滥用 ❌ 错误用法：普通三角形中，若一条边是另一条边的一半，直接判定对应角为30°。 ✅ 严格规则：逆定理必须满足直角三角形前提，缺一不可。 【题型一】等腰三角形的定义 【例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长为（   ） A．2或5 B．5 C．3.5 D．5或3.5 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）等腰三角形的两边长分别是和，则周长为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【题型二】等边对等角 【例2】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）求证：等边对等角． 【题型三】三线合一 【例3】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为______． 【变式2】．如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，于点．若，，求的周长． 【题型四】格点图中画等腰三角形 【例4】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式2】．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【变式3】．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【题型五】根据等角对等边证明等腰三角形 【例5】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式1】．（2024八年级上·江苏扬州·期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个． 【变式2】．已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图所示，在中，，是延长线上一点，点E在上，且．求证：． 【题型六】根据等角对等边证明边相等 【例6】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是9，，则周长为（   ） A．9 B．15 C．21 D．24 【变式1】．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，平分，，若，则____． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，，．求证：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点O，，．求证：． 【题型七】根据等角对等边求边长 【例7】．如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，，若，，则________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【题型八】等腰三角形的性质和判定 【例8】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，平分，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，点G在上，且，求的度数； (3)过点C作连接交于点N，若，直接写出的面积_______． 【题型九】等边三角形的性质 【例9】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】．如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A． B．2025 C． D．2024 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则_____． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，分别以的边 向外作等边和等边，与相交于点O． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型十】等边三角形的判定 【例10】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【变式2】．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ___________． 【变式3】．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【题型十一】等边三角形的判定和性质 【例11】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）【探究】（1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点D在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （2）如图3，等边三角形中，，点E在上，．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【题型十二】含30度角的直角三角形 【例12】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【题型十三】斜边的中线等于斜边的一半 【例13】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　  　） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【题型十四】直角三角形的两个锐角互余 【例14】．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，、相交于点，图中相等的锐角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式2】．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在和中，，，，则______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 1. 三大核心定理 性质定理：等边对等角、等腰三角形三线合一； 判定定理：等角对等边。 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，配套可逆定理，是本章线段倍分关系的核心依据。 2. 核心思想方法 分类讨论思想：求解等腰三角形边长、内角度数时，需分情况讨论，避免漏解； 转化思想：借助三线合一，实现角相等、线段相等、垂直关系的相互转化，简化证明和计算； 数形结合思想：利用等腰三角形的轴对称性，快速寻找相等线段、相等角，梳理解题思路。 两个必备条件：使用定理必须同时满足「直角三角形」+「含30°内角」，缺一不可，这是解题的基础前提。 3. 通用解题思路 题干出现等腰三角形，优先利用底角相等、三线合一的性质；遇难题可作底边上的高构造垂直、平分关系； 需证明两条线段相等，可优先证明线段所对的角相等，利用等角对等边完成证明。 几何题中出现线段2倍、一半关系，优先考虑构造含30°角的直角三角形；非直角三角形含30°角，必先作高转化。 4. 知识层级关系 等边三角形属于特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时拥有自身专属性质（三个内角均为60°、三条对称轴）。 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则其周长为（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．10或13 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 6．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则为（   ） A．4 B．5 C．6 D．3 7．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点F，若，则______． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 14．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，为的角平分线，，于点，若，则的长为______． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，点在射线上，连接，若，则的最小值______． 三、解答题 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，．求证：． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则的周长为 ． 19．按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点与点重合时，求证：是的中点； (2)如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：． 24．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为____. 1 学科网（北京）股份有限公司 $