专题04平方根精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦平方根与算术平方根核心知识点，系统梳理概念辨析、平方与开平方互逆关系，明确平方根性质（正数两相反数根、0的根是0、负数无根）及两大核心公式，突出算术平方根双重非负性，为后续二次根式学习搭建严谨的知识支架。 资料通过对比辨析纠正概念混淆等典型错误，设计10种梯度题型（如非负性解题、实际应用求地砖边长），融入规律探索与估算，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中助力教师高效授课，课后学生可依解题思路巩固提升，弥补知识盲点。

专题04平方根精讲学案 课堂核心立意 通过对比辨析平方根、算术平方根的概念，理清平方与开平方的互逆关系；掌握平方根的性质、两大核心公式，吃透算术平方根双重非负性这一核心考点；能准确求解平方根、算术平方根，会利用平方根性质、非负性解决参数求值、根式化简问题；纠正概念混淆、审题疏漏等典型错误，建立根式学习的严谨思维，为后续二次根式学习打好基础。 平方根的定义： 如果x2=a，那么x叫做a的平方根（二次方根），记作，其中a称为被开方数；只有a0时，a才有平方根，负数没有平方根。 算术平方根的定义： 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作；规定0的算术平方根是0；算术平方根具备双重非负性：a0，0。 平方根的性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 开平方运算： 求一个非负数平方根的运算叫做开平方；开平方与平方互为逆运算，可以借助平方运算检验开平方结果是否正确。 核心公式一： ()2=a (a0)；含义：对一个非负数先求算术平方根，再平方，结果等于它本身。  核心公式二： =|a|=；含义：一个数先平方，再求算术平方根，结果等于这个数的绝对值。 平方根的表述区分： “a的平方根”写；“a的算术平方根”只写；根式符号本身仅代表算术平方根。 正数平方根的内在关系： 已知正数一个平方根，直接取它的相反数，就能得到这个正数的另一个平方根。 ①混淆概念：=3（算术平方根），9的平方根是3，不要写成=3 ②负数不能开平方，无意义 ③分清两个公式：()2要求a0；结果要加绝对值 ④嵌套根式别跳步：的算术平方根，先算=4，再求结果为2 ⑤正数平方根求参数，不要漏负根，记得检验被开方数≥0 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★★ 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★★ 题型六 平方根概念理解 ★★ 题型七 求一个数的平方根 ★★ 题型八 求代数式的平方根 ★★★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★基础巩固；★★★中档；★★★★拔高 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路： ①明确：算术平方根结果只能是非负数，不带；②遇到小数、带分数，先统一化成假分数；③寻找一个非负数，它的平方等于被开方数，这个数就是算术平方根。 1．计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 3．有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 4．如图，将两个边长为的小正方形放到边长为的大正方形内，若长方形的面积为，两个小正方形重叠的部分面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的面积为，两个小正方形重叠的部分面积为，得出两个边长为的正方形面积为，进而求出，，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路： ①核心性质：0 (a0)}，算术平方根是一个非负数；②常见组合：+|B|+C2=0，算术平方根、绝对值、平方都属于非负数；③几个非负数相加等于0，则每一项分别等于0，列方程求出字母的值。 5．代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 6．已知，则________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 7．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 8．若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路： ①找出与被开方数相邻的两个完全平方数；②将被开方数夹在两个完全平方数中间；③同时开平方，确定算术平方根介于哪两个整数之间。 9．若，其中为正整数，则______． 【答案】 【分析】先估算，再结合，为正整数，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，为正整数， ∴． 10．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 11．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 12．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】估算出的范围，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 题型四：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路： ①横向对比：观察被开方数和对应算术平方根的数据；②看倍数变化：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；③多列举几组，归纳通用规律，再代入验证。 13．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 14．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 15．若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 16．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 题型五：算术平方根的实际应用 解题思路： ①根据题意列出关系式；②求出算术平方根；③结合实际意义，舍去负数结果；④写出实际问题的答案。 17．面积为的房间恰好被块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是__________． 【答案】 【分析】先求出每块正方形地砖的面积，再根据正方形面积与边长的关系求出边长． 【详解】解：由题意得，每块地砖的面积为， ∵正方形面积等于边长的平方，地砖边长为正数， ∴每块地砖的边长为． 18．一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项． 【详解】解：设长方形的长为，宽为（）. ∵ ∴ ∴ 长方形的宽为 ∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽 又∵，，， ∴ 边长为的正方形符合要求． 19．如图，在方格中每个小正方形的边长都为1，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长为________． 【答案】 【分析】通过割补法计算阴影部分面积，根据正方形面积公式求边长，即可求解． 【详解】解：观察图形可知，阴影部分由上方的矩形和下方的梯形组成， 上方长方形长为2，宽为2， ∴上方长方形面积为， 下方梯形上底为2，下底为4，高为2， ∴下方梯形面积为， ∴阴影部分总面积为， 设新拼成的正方形边长为， ∵新正方形面积等于阴影部分面积 ， ∴， ∵， ∴， 新正方形的边长为． 20．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 【答案】D 【分析】设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离，依次判断各个选项． 【详解】解：设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离， 最小距离：当水平距离时，m； 距离取值范围：， 两人之间的距离不可能为，A错误； 由两人之间的距离先变小后变大，到达终点线时，两人之间的距离仍为，则，两人之间的距离不可能为，B错误； 若出发时乙在前，初始乙领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再拉回到8m，意味着甲需要先追上乙、再反超乙8m，总相对位移16m，若甲匀速、乙匀速，甲速度恒定大于乙，全程持续拉大差距，横向距离会先减小再增大，因此甲可能匀速，C错误； 若出发时甲在前，初始甲领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再回到8m，需要乙先追上甲、再反超甲8m，乙全程匀速，若甲速度先慢后快：前期甲慢，乙快速拉近差距至相遇（，距离最小），后期甲加速，若甲加速后速度仍小于乙，乙会继续拉开差距至8m，满足距离先变小后变大、终点距离10m，这种运动情况成立．D正确． 题型六：平方根概念理解 解题思路： ①文字表述：一个正数的平方根有2个，互为相反数；②符号区分：只代表算术平方根（正根）；才是平方根；③牢记：负数没有平方根。 21．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数， ∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根． 22．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 23．如果，是2026的两个平方根，那么__________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得与的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ． 24．若一个三位正整数满足十位数字大于百位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，则称这个数为“师上数”．例如：123：是一个“师上数”．对于一个“师上数”m，交换其百位和十位得到，规定，若的值为完全平方数，求出所有满足条件的“师上数”m的值是______________． 【答案】123，156，235，268，347，459 【分析】设，且，，，为正整数，则，根据的值为完全平方数，可得或即可求解． 【详解】解：由题意，设，且，，，为正整数，则， ∴ ， ∵的值为完全平方数， ∴或， ∵，，，为正整数， 当时，，则， ∴，对应的为：123，235，347，459； 当时，，则， ∴，对应的为：156，268； 综上所述，所有满足条件的“师上数”m的值是123，156，235，268，347，459． 题型七：求一个数的平方根 解题思路： ①正数：有两个平方根，互为相反数，结果必须写；②0：平方根是0；③负数：不存在平方根。 25．9的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，寻找平方后等于9的数，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 9的平方根是． 26．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴是 的平方根 ∵， ∴． 27．我们规定：时，；当时，．已知，则________． 【答案】22或 【分析】先理解题意，再进行分类讨论，根据时，；当时，列式计算，即可作答． 【详解】解：当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ∴或 ∵ ∴． 综上：或． 28．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的恒等变形，先求出的值，再计算后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型八：求代数式的平方根 解题思路： ①先计算代数式的数值；②判断代数式的值是否0，负数没有平方根；③若为非负数，再写出它的两个平方根。 29．如果，求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 30．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 31．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 32．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 题型九：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路： ①正数的两个平方根互为相反数，相加等于0；②列方程求出参数；③将参数代回，对平方根进行平方，得到原数；④检验，保证被开方数不为负数。 33．已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 34．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】根据正数平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出x，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴这个正数的两个平方根为和， ∴这个正数为． 35．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 【答案】或 【分析】根据正数平方根的性质，分两个平方根互为相反数和两个平方根相等两种情况，列方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：两个平方根互为相反数， ∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为； 情况2：两个平方根相等，若两个平方根是同一个，则，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为， 综上，这个正数是或． 36．已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 题型十：利用平方根解方程 解题思路： ①将含有未知数的平方项看成整体；②移项变形，把方程化成(?)2=a(a0)}的形式；③两边同时开平方，不要漏掉；④得到两个一元一次方程，分别求解。 37．实数满足，则的值为_____． 【答案】 或 【详解】解：， 移项得 对等式两边同时开平方，得 即或． 38．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】根据平方数的非负性，判断方程左边的平方数与右边常数的大小关系，进而确定方程根的情况．本题主要考查了平方数的非负性以及一元二次方程根的判别，熟练掌握平方数的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵ ，对于任意实数，，而方程右边是， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 故选： ． 39．已知，则______．【提示：平方后用完全平方公式】 【答案】 【分析】根据条件可得，进一步可得，再进一步可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ． 40．（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________． （2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________． 【答案】 1 【分析】（1）先将原方程变形，根据平方根的意义可知方程的两根互为相反数，利用两根之和为列方程求解即可； （2）利用换元思想，将所求方程变形后，对比已知方程的根，得到关于的一次方程，进而求解． 【详解】解：（1）对方程两边同除以，得： ， ， ， ∴方程的两个根为， 所以两根互为相反数，因此两根之和为0，即： ， 整理得：， 解得：； （2）已知关于的方程的两根为：， 将方程移项整理，得： ， 令，可得， 因此或， 即或， 解得， 解得， 方程的根为． 解答题 1．已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． 2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得            这个正数的其中一个平方根为，   这个正数为． 4．解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵ ， ∴； （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， （4）解： ∵， ∴． 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 6．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 7．扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点、、分别在、和弧上，过点作垂直于交其延长线于，如图正方形边长为，那么由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为多少？ 【答案】 【分析】连接，设由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为，根据正方形内接于扇形及正方形的面积公式得出，，，进而求出，，根据，可得．即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为， ∵扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，正方形边长为， ∴，，， ∴，，， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根精讲学案 课堂核心立意 通过对比辨析平方根、算术平方根的概念，理清平方与开平方的互逆关系；掌握平方根的性质、两大核心公式，吃透算术平方根双重非负性这一核心考点；能准确求解平方根、算术平方根，会利用平方根性质、非负性解决参数求值、根式化简问题；纠正概念混淆、审题疏漏等典型错误，建立根式学习的严谨思维，为后续二次根式学习打好基础。 平方根的定义： 如果x2=a，那么x叫做a的平方根（二次方根），记作，其中a称为被开方数；只有a0时，a才有平方根，负数没有平方根。 算术平方根的定义： 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作；规定0的算术平方根是0；算术平方根具备双重非负性：a0，0。 平方根的性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 开平方运算： 求一个非负数平方根的运算叫做开平方；开平方与平方互为逆运算，可以借助平方运算检验开平方结果是否正确。 核心公式一： ()2=a (a)；含义：对一个非负数先求算术平方根，再平方，结果等于它本身。  核心公式二： =|a|=；含义：一个数先平方，再求算术平方根，结果等于这个数的绝对值。 平方根的表述区分： “a的平方根”写；“a的算术平方根”只写；根式符号本身仅代表算术平方根。 正数平方根的内在关系： 已知正数一个平方根，直接取它的相反数，就能得到这个正数的另一个平方根。 ①混淆概念：=3（算术平方根），9的平方根是3，不要写成=3 ②负数不能开平方，无意义 ③分清两个公式：()2要求a0；结果要加绝对值 ④嵌套根式别跳步：的算术平方根，先算=4，再求结果为2 ⑤正数平方根求参数，不要漏负根，记得检验被开方数≥0 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★★ 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★★ 题型六 平方根概念理解 ★★ 题型七 求一个数的平方根 ★★ 题型八 求代数式的平方根 ★★★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★基础巩固；★★★中档；★★★★拔高 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路： ①明确：算术平方根结果只能是非负数，不带；②遇到小数、带分数，先统一化成假分数；③寻找一个非负数，它的平方等于被开方数，这个数就是算术平方根。 1．计算：___________． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 4．如图，将两个边长为的小正方形放到边长为的大正方形内，若长方形的面积为，两个小正方形重叠的部分面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路： ①核心性质：0 (a0)}，算术平方根是一个非负数；②常见组合：+|B|+C2=0，算术平方根、绝对值、平方都属于非负数；③几个非负数相加等于0，则每一项分别等于0，列方程求出字母的值。 5．代数式的最小值为____． 6．已知，则________． 7．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 8．若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路： ①找出与被开方数相邻的两个完全平方数；②将被开方数夹在两个完全平方数中间；③同时开平方，确定算术平方根介于哪两个整数之间。 9．若，其中为正整数，则______． 10．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 11．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 12．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路： ①横向对比：观察被开方数和对应算术平方根的数据；②看倍数变化：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；③多列举几组，归纳通用规律，再代入验证。 13．已知，，则_________． 14．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 15．若，，，则______（用、、来表示）． 16．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 题型五：算术平方根的实际应用 解题思路： ①根据题意列出关系式；②求出算术平方根；③结合实际意义，舍去负数结果；④写出实际问题的答案。 17．面积为的房间恰好被块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是__________． 18．一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在方格中每个小正方形的边长都为1，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长为________． 20．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 题型六：平方根概念理解 解题思路： ①文字表述：一个正数的平方根有2个，互为相反数；②符号区分：只代表算术平方根（正根）；才是平方根；③牢记：负数没有平方根。 21．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 22．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 23．如果，是2026的两个平方根，那么__________． 24．若一个三位正整数满足十位数字大于百位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，则称这个数为“师上数”．例如：123：是一个“师上数”．对于一个“师上数”m，交换其百位和十位得到，规定，若的值为完全平方数，求出所有满足条件的“师上数”m的值是______________． 题型七：求一个数的平方根 解题思路： ①正数：有两个平方根，互为相反数，结果必须写；②0：平方根是0；③负数：不存在平方根。 25．9的平方根是______． 26．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 27．我们规定：时，；当时，．已知，则________． 28．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 题型八：求代数式的平方根 解题思路： ①先计算代数式的数值；②判断代数式的值是否0，负数没有平方根；③若为非负数，再写出它的两个平方根。 29．如果，求的值为__________． 30．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 31．若，求的平方根是___________． 32．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 题型九：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路： ①正数的两个平方根互为相反数，相加等于0；②列方程求出参数；③将参数代回，对平方根进行平方，得到原数；④检验，保证被开方数不为负数。 33．已知的平方根是，则的值为_____． 34．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 35．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 36．已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 题型十：利用平方根解方程 解题思路： ①将含有未知数的平方项看成整体；②移项变形，把方程化成(?)2=a(a0)}的形式；③两边同时开平方，不要漏掉；④得到两个一元一次方程，分别求解。 37．实数满足，则的值为_____． 38．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 39．已知，则______．【提示：平方后用完全平方公式】 40．（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________． （2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________． 解答题 1．已知．求的平方根． 2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 4．解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 6．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 7．扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点、、分别在、和弧上，过点作垂直于交其延长线于，如图正方形边长为，那么由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $