14.1全等三角形及其性质 课时练习 2026-2027学年 人教版数学八年级上册

**基本信息** 分层覆盖全等三角形性质的概念理解、性质应用及综合探究，梯度合理，适配新授课巩固需求，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|全等形概念、性质直接应用|单选1-5辨析全等形判定与性质，填空9-10强化对应边/角计算，夯实基础认知| |中档|性质综合应用、简单推理|填空11-12结合图形变换求角度、面积，解答13-16通过全等证线段/角关系，发展推理能力| |提升|动态几何、转化思想|解答17-18以折叠/旋转为背景，探究筝形面积及含参全等问题，渗透创新意识与空间观念|

14.1全等三角形及其性质 课时练习 一、单选题 1．下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A．B．C． D． 2．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．下列各组中是全等形的是（    ） A．两个周长相等的等腰三角形 B．两个面积相等的长方形 C．两个面积相等的直角三角形 D．两个周长相等的圆 4．如图，已知，若，，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，点D在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ． 10．若，，面积是，则中边上的高为 ． 11．如图，已知，点A，E，C，F在同一直线上，延长交边于点M，若，，则的度数为 ． 12．如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计） ．    三、解答题 13．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 14．如图，，点E在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 15．如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 16．如图，，，    求证： (1)； (2)． 17．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．    (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质____． (2)【探究证明】如图2，连接EC，设筝形的面积为．若，求S的最大值； (3)【迁移应用】在中，，点D，E分别在，上，当四边形是筝形时，请直接写出四边形的面积． 18．[方法探索] （1）如图1，在等边中，点P在内，且，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点A顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点A顺时针旋转得到，连接． 请完成解题过程； [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点P在等边外，且，求的长； （3）如图3，在中，，P是外一点，连接．已知．求的长． 答案 一、单选题 1．下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； D、两个图形形状相同，但大小不同，不能完全重合，不是全等图形，符合题意； 故选：D． 2．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中的两个三角形全等，与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ， 故选：． 3．下列各组中是全等形的是（    ） A．两个周长相等的等腰三角形 B．两个面积相等的长方形 C．两个面积相等的直角三角形 D．两个周长相等的圆 【答案】D 【详解】A、不一定是全等形，故此选项错误； B、不一定是全等形，故此选项错误； C、不一定是全等形，故此选项错误； D、是全等形，故此选项正确； 故选：D． 4．如图，已知，若，，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C 5．下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确． B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误． C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误． D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误． 故选：A． 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，A正确． ∵， ∴与不平行，D错误． ∴， ∴与不垂直，B错误． ∵， ∴， ∴，C错误． 故选：A． 7．如图，已知，点D在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ 故选：C． 8．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， 所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， 所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵PC=5，QC=PA=3, ∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以C不正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 二、填空题 9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．若，，面积是，则中边上的高为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴边上的高为， 故答案为：． 11．如图，已知，点A，E，C，F在同一直线上，延长交边于点M，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：84． 12．如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计） ．    【答案】21cm/21厘米 【详解】解：如图，    ∵后面画出的图形与第一个图形完全一样 ∴画第二个图形的时候，需往右走1cm，画第三个图的时候，需要再往右走3cm，画第四个图的时候，需要再往右走1cm…， ∴画第10个图时，网格的长至少为（cm）． 故答案为：21cm 三、解答题 13．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 14．如图，，点E在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴． 15．如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【详解】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 16．如图，，，    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又，， ∴； （2）∵， ∴， ∵是三角形的一个外角， ∴， 又，， ∴． 17．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．    (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质____． (2)【探究证明】如图2，连接EC，设筝形的面积为．若，求S的最大值； (3)【迁移应用】在中，，点D，E分别在，上，当四边形是筝形时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)对角线垂直平分， (2)18 (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴点A、点D都在的垂直平分线上，即对角线垂直平分， 故答案为：对角线垂直平分，(填“对角线互相垂直”也对) （2）由（1）得⊥，    ∴筝形面积为：， 设，则 ∴ ∴当时， （3）四边形的面积为或， 补充理由如下： 根据题意，分两种情况讨论：①；② ． ①当时 作出这个筝形如下，    根据折叠的性质可知：， ∴， ∵，， ∴，即是中边边上的中线， ∴ ∴ ∴． ②当时，作出这个筝形如下    根据折叠的性质可知：， ∴， 在中，， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴ 综上所示：四边形的面积为或 18．[方法探索] （1）如图1，在等边中，点P在内，且，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点A顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点A顺时针旋转得到，连接． 请完成解题过程； [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点P在等边外，且，求的长； （3）如图3，在中，，P是外一点，连接．已知．求的长． 【答案】 【详解】（1）由旋转得到， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：； （2）如图，连接，把绕着点顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ； ， ，即三点共线． ， 作于M，则； 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得： ； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点做于点， ， ， ， 在中，， ， 由旋转的性质可得， ， 则， 在中，， ， ， 在中，， ， ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $