专题 26.9 二次函数复习专题（4）——二次函数a、b、c、Δ符号判断（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识梳理模块系统构建二次函数a、b、c、Δ符号判断的知识体系，以核心判定法则、特殊代数式符号、对称轴等量关系及高频易错总结为框架，用“左同右异”口诀等工具呈现a、b符号判定等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过“基础四参数符号判断”等题型巩固核心知识，综合提升部分以中考压轴“综合多选结论判断”为例，引导分步验证培养推理意识。同步检测题量充足，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题 26.9 二次函数a、b、c、Δ符号判断（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数各项符号核心判定法则 1 【知识点2】特殊代数式符号判定（中考高频） 3 【知识点3】对称轴衍生等量关系 3 【知识点4】高频易错总结 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】基础四参数符号判断（a、b、c、Δ、） 4 【题型2】特殊值代数式符号判断 6 【题型3】对称轴衍生等式判断 10 三.题型精析（综合提升） 14 【题型4】综合多选结论判断（中考压轴选择） 14 【题型5】多式子混合符号推导 19 四.同步检测 26 （一）选择题（本大题共15个小题,每小题4分,共60分） 26 （二）填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 42 一.知识梳理 【知识点1】二次函数各项符号核心判定法则 针对二次函数 ，结合抛物线图像位置特征，可快速精准判定 的符号，该知识点为中考选择题压轴高频必考题型，解题依托图像特征，无需复杂计算。 1. 二次项系数a的符号（开口方向判定） ：抛物线开口向上，顶点为最低点； ：抛物线开口向下，顶点为最高点； 拓展： 越大，抛物线开口越窄，图像走势越陡峭； 越小，抛物线开口越宽，图像走势越平缓。 【要点提示】 1. 的正负仅由开口方向决定，与对称轴位置、y轴交点位置无任何关联； 2. 多个抛物线图像对比题型中，可直接通过 大小判断开口宽窄程度。 2. 一次项系数b的符号（对称轴位置判定） 对称轴核心公式：，结合 的正负可反向推导 的符号。 通用记忆口诀：左同右异： 对称轴在y轴左侧（<0）： 同号； 对称轴在y轴右侧（）：异号； 对称轴为y轴（）：。 【要点提示】 1. 不可单独根据对称轴位置判定 符号，必须搭配 的正负联合判断； 2. “左同右异”口诀仅适用于二次函数一般式，顶点式需先展开化简后再使用。 3. 常数项c的符号（y轴交点判定） 二次函数与y轴交点坐标恒为 ，交点位置直接决定 的符号： 交点在y轴正半轴：； 交点经过坐标原点：； 交点在y轴负半轴：。 【要点提示】 1. 令自变量 ，函数值 ，可快速读取 的符号与数值； 2. 若抛物线图像经过原点，可直接判定常数项。 4. 判别式Δ=b²−4ac的符号（x轴交点判定） 判别式 的符号仅对应抛物线与x轴的交点个数，是判断图像与x轴位置关系的核心依据： ：抛物线与x轴有两个不重合的交点； ：抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点落在x轴上）； ：抛物线与x轴无交点，图像整体在x轴上方或下方。 【要点提示】 1. 仅反映抛物线与x轴交点数量，与开口方向、y轴交点位置无直接关联； 2. 开口向上且顶点在x轴上方、开口向下且顶点在x轴下方时，均可判定 。 【知识点2】特殊代数式符号判定（中考高频） 通过代入特殊自变量取值，可将复合型代数式转化为对应横坐标的函数值，根据图像在x轴上下位置即可快速判断符号： 1. ：，对应图像点 ； 2. ：，对应图像点 ； 3. ：，对应图像点 ； 4. ：，对应图像点 。 【要点提示】 1. 判断特殊代数式符号无需计算，直接观察对应横坐标处图像高低：x轴上方则代数式为正，x轴下方则为负； 2. 拓展规律： 对应 ，所有整数自变量均可对应专属代数式。 【知识点3】对称轴衍生等量关系 已知抛物线对称轴直线 ，代入对称轴公式化简，可得到 固定等量关系，是多结论题型核心考点： 1. 对称轴为直线：，化简得 ； 2. 对称轴为直线 ：，化简得 ； 3. 拓展：对称轴为直线 ，可推导得 。 【要点提示】 1. 该类等量关系式是判断 等结论正误的核心依据； 2. 可通过等量代换，用 表示 ，简化复杂代数式的符号判断。 【知识点4】高频易错总结 1. 无法单独通过开口方向判断 符号，必须结合对称轴位置与 正负联合推导； 2. 仅用于判断抛物线与x轴交点个数，不受 单独符号影响； 3. 特殊代数式符号必须严格匹配对应横坐标位置，以图像高低为唯一判断标准； 4. “左同右异”口诀仅适用于二次函数标准一般式，变形解析式不可直接套用。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】基础四参数符号判断（a、b、c、Δ、） 解题技巧：开口定a、对称轴+左同右异定b、y轴交点定c、x轴交点个数定Δ，四步快速判定。 【例题1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由二次函数开口方向、与y轴交点位置，对称轴位置即可解答． 解：由题意知，二次函数开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在y轴右侧，则， ． 故选：C． 【变式1】（20-21九年级上·北京西城·期末）若抛物线（）的示意图如图所示，则____0，____0，____0（填“”，“＝”或“”）． 【答案】 【分析】根据二次函数图象与其各项系数的关系即可填写． 解：根据图象开口向上可知a>0，对称轴在y轴右侧可知b<0，与y轴交点在原点下方可知c<0． 故答案为：>，<，<． 【点拨】本题考查二次函数图象与各项系数的关系．熟知二次函数图象与各项系数的关系是解答本题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，即可求解． 解：观察图象得，：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧， ∴，故A，B，C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴、与x轴的交点逐一判断可得答案． 解：A、由抛物线开口向上知，此选项错误； B、由抛物线与y轴交于负半轴知，则，此选项错误； C、由抛物线的对称轴位置得，此选项错误； D、由抛物线与x轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，此选项正确． 故选：D． 【题型2】特殊值代数式符号判断 解题技巧：锁定代数式对应的自变量取值，观察图像对应点位置，x轴上方为正，x轴下方为负。 【例题1】（2025·四川绵阳·三模）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可． 解：对称轴为直线，经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ，故A选项错误； ， ， ，故B选项错误； 抛物线的开口向上， ， 当时，， ， ， ，故C选项错误； 抛物线与轴的交点在点与之间， ， 当时，， ， ， ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 【变式1】（2021·安徽·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论成立的是（　　） A．abc＞0 B．b＜a+c C．b2﹣4ac＜0 D．2c＜3b 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 解：A、∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，对称轴在y轴的右边， ∴a＜0，b＞0，c＞0，即abc＜0，故此选项错误； B、根据图象，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误； C、∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△= b2﹣4ac＞0，故此选项错误； D、∵抛物线的对称轴为直线x= 1，即=1，∴2a=﹣b， 又∵当x=1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，即2a+2c＜2b， ∴﹣b+2c＜2b，即2c＜3b，故此选项正确， 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数的图象与各项系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，能根据图象的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴的位置以及特殊点的位置进行判断是解答的关键． 【变式2】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 【变式3】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 【题型3】对称轴衍生等式判断 解题技巧：将对称轴数值代入对称轴公式，交叉化简，推导得出 等量关系。 【例题1】（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数与系数关系、二次函数与不等式的关系，解答的关键是利用数形结合的思想方法进行推理和计算． 根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，则当时，可对①进行判断;根据对称轴方程得，再根据抛物线与轴交点可知，可对②进行判断；根据题意，当当时，二次函数值小于一次函数值，可得，将代入即可得出取值范围，可对③进行判断． 解：点D在x轴下方且横坐标小于3，抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标， ∴当时，， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故②正确； 直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3， ∴当时，二次函数值小于一次函数值， ，有， ， 解得：， 故③正确， 综上，正确的有3个， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，二次函数开口向下，与轴正半轴有交点，则、，根据对称轴可得与轴的一个交点坐标为，令得到，根据二次函数图像与轴有两个交点， 得到判别式，根据 二次函数图像的对称轴判断增减性即可． 解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与x轴的交点在x轴上方， ∴ ∴，即①不正确； 根据图象，当时，， ∴当时， ∴，即②不正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】综合多选结论判断（中考压轴选择） 解题技巧：逐条验证结论，先判定 基础符号，再验证特殊代数式、对称轴等量关系、图像最值相关结论，杜绝遗漏。 【例题4】（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 【变式1】（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点拨】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 【变式2】（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 【变式3】（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 【题型5】多式子混合符号推导 解题技巧：分步判定 单独符号，结合乘法正负法则判断组合式符号，可通过对称轴等量代换简化复杂式子。 【例题5】（2023·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解． 解：根据函数图象，可得当时，，故①正确； ∵在上， ∴是方程的一个解；故②正确； ∵，在抛物线上， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得： ∴当时，， 当时，， ∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确； ∵，顶点坐标为， ∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误． 故正确的有3个， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定、、正负，判断①；利用抛物线对称性得到，结合点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出，代入抛物线得到与、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。 解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个． 【变式2】（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 【变式3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共15个小题,每小题4分,共60分） 1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数系数与图象的关系．根据二次函数图象得出，，的取值范围可得结论． 解：由图象得： ∵抛物线开口向下， ∴； 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴； 又抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案． 解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 4．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．，故，即可判断A；抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可判断B；抛物线和x轴有两个交点，即可判断C；从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，即可判断D． 解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 6．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息①；②；③；④．你认为其中正确信息的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，是基础题．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解： 抛物线开口方向向下， ． 对称轴， ， ∴故③正确； 二次函数，与正半轴相交， ， ．故①错误； 当时，，即． 故②正确； 当时，，即．故④错误； 综上所述，正确的结论是②③，共2个． 故选：C． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 解：点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 10．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 11．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 12．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 14．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 15．（2024·广东清远·二模）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由抛物线的对称轴得到，即可判断③；由当和当时的函数值即可判定②；由抛物线的最大值即可判断④；由，得到，，即可判断⑤． 解：由图象的开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与 轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，则， ∴， 故③正确； 当时，抛物线有最大值为，则， 当时，，则； 综上可知，，故②正确； 当时，抛物线有最大值为； 当时，抛物线， ，则，故④正确； ∵，， ∴，， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个． （2） 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 16．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 17．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过第____________象限 【答案】二/2 【分析】由抛物线的开口方向、与轴的交点以及对称轴，可确定，，的符号，继而可判定一次函数的图象不经过哪个象限即可． 解：开口向上， ， 与轴交于负半轴， ， 对称轴在轴左侧， ， 又∵， ， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点拨】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质． 18．（专题18二次函数-备战2021年中考数学考点一遍过（广东专用））如图：是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，则b__2a（填“＞”“＝”“＜”）． 【答案】＝ 【分析】由抛物线的对称轴x=-1利用对称轴公式可得＝1即可． 解：由图象可知，抛物线的对称轴x=-1， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a， 故答案为：＝． 【点拨】本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解题关键． 19．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③． 其中，正确结论的序号为___________． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线经过的点和对称轴位置确定、、的符号及关系，再分别分析三个结论．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 解：∵ 抛物线经过点， ∴ ∵ 抛物线经过点， ∴ ，即 ∵ 对称轴在轴左侧， ∴ 又，分情况讨论： 若，则可得，但，时，矛盾， ∴ ，则可得 ∴ ，，， ∴ ，故①正确． 对于方程，即. ， 其判别式 把，代入， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故②正确． 由，且， 解，得， 又. ， ∴ ，故③正确． 故选：①②③． 20．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上可得，，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，即可判断②错误；根据时的函数值与时的函数值相等可得当时，，由此即可判断③正确；求出当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断④错误． 解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，则结论②错误； 由函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，则结论③正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵当时，， ∴当时，， ∴，则结论④错误； 综上，正确结论的序号为①③， 故答案为：①③． 21．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 22．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：    ①当时，． ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有_____． 【答案】①③④ 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称，，故②错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得，， ， ∴点的坐标为，，故③正确； ，抛物线对称轴为直线， ，设， ，，， ， ， ，解得， ，故④正确． 故答案为①③④． 【点拨】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 23．（23-24九年级上·广东潮州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是_______(填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，注意数形结合；利用抛物线与y轴的交点位置得到，抛物线开口向下得，利用对称轴在y轴的右侧得，于是可对①进行判断；根据抛物线与轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线可判断④；将方程变形为，根据交点坐标可判断⑤． 解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时，， ∴，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以④正确； 由可得， ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标不一定为3， 只有当时，则，此时点D的横坐标为3，否则不为3， ∴方程的一个根为0，另一个根不一定为3，所以⑤错误． 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，利用对称得出抛物线与轴正半轴相交，确定，再由，结合得到，，即可判断①②；再将和代入中，即可判断④． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，抛物线与轴一个交点在和之间， ∴抛物线与轴另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴正半轴相交，且，故③正确； ∴， ∵对称轴为直线，则，而， ∴，， ∴，， 故①错误，②正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④， 故答案为：②③④． 25．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）如图，顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的m，均有③；④若，则；⑤⑥不等式的解集为其中正确的为____（填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了函数与不等式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质，将二次函数与不等式结合，逐个进行判断即可． 解：顶点为的抛物线， 设顶点式为， 把代入， 解得，故⑤正确； ， 即， ， ，故①正确； 当时，有最小值， 对于任意的m，均有，即故②错误； ，故③正确； 抛物线的对称轴为， 当或时，， 当，则或，故④错误； 解方程得 抛物线与直线的交点的横坐标分别为， 当或时，， 故不等式的解集为或，故⑥错误． 故答案为：①③⑤． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.9 二次函数a、b、c、Δ符号判断（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数各项符号核心判定法则 1 【知识点2】特殊代数式符号判定（中考高频） 3 【知识点3】对称轴衍生等量关系 3 【知识点4】高频易错总结 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】基础四参数符号判断（a、b、c、Δ、） 4 【题型2】特殊值代数式符号判断 5 【题型3】对称轴衍生等式判断 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型4】综合多选结论判断（中考压轴选择） 7 【题型5】多式子混合符号推导 9 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共15个小题,每小题4分,共60分） 11 （二）填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 15 一.知识梳理 【知识点1】二次函数各项符号核心判定法则 针对二次函数 ，结合抛物线图像位置特征，可快速精准判定 的符号，该知识点为中考选择题压轴高频必考题型，解题依托图像特征，无需复杂计算。 1. 二次项系数a的符号（开口方向判定） ：抛物线开口向上，顶点为最低点； ：抛物线开口向下，顶点为最高点； 拓展： 越大，抛物线开口越窄，图像走势越陡峭； 越小，抛物线开口越宽，图像走势越平缓。 【要点提示】 1. 的正负仅由开口方向决定，与对称轴位置、y轴交点位置无任何关联； 2. 多个抛物线图像对比题型中，可直接通过 大小判断开口宽窄程度。 2. 一次项系数b的符号（对称轴位置判定） 对称轴核心公式：，结合 的正负可反向推导 的符号。 通用记忆口诀：左同右异： 对称轴在y轴左侧（<0）： 同号； 对称轴在y轴右侧（）：异号； 对称轴为y轴（）：。 【要点提示】 1. 不可单独根据对称轴位置判定 符号，必须搭配 的正负联合判断； 2. “左同右异”口诀仅适用于二次函数一般式，顶点式需先展开化简后再使用。 3. 常数项c的符号（y轴交点判定） 二次函数与y轴交点坐标恒为 ，交点位置直接决定 的符号： 交点在y轴正半轴：； 交点经过坐标原点：； 交点在y轴负半轴：。 【要点提示】 1. 令自变量 ，函数值 ，可快速读取 的符号与数值； 2. 若抛物线图像经过原点，可直接判定常数项。 4. 判别式Δ=b²−4ac的符号（x轴交点判定） 判别式 的符号仅对应抛物线与x轴的交点个数，是判断图像与x轴位置关系的核心依据： ：抛物线与x轴有两个不重合的交点； ：抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点落在x轴上）； ：抛物线与x轴无交点，图像整体在x轴上方或下方。 【要点提示】 1. 仅反映抛物线与x轴交点数量，与开口方向、y轴交点位置无直接关联； 2. 开口向上且顶点在x轴上方、开口向下且顶点在x轴下方时，均可判定 。 【知识点2】特殊代数式符号判定（中考高频） 通过代入特殊自变量取值，可将复合型代数式转化为对应横坐标的函数值，根据图像在x轴上下位置即可快速判断符号： 1. ：，对应图像点 ； 2. ：，对应图像点 ； 3. ：，对应图像点 ； 4. ：，对应图像点 。 【要点提示】 1. 判断特殊代数式符号无需计算，直接观察对应横坐标处图像高低：x轴上方则代数式为正，x轴下方则为负； 2. 拓展规律： 对应 ，所有整数自变量均可对应专属代数式。 【知识点3】对称轴衍生等量关系 已知抛物线对称轴直线 ，代入对称轴公式化简，可得到 固定等量关系，是多结论题型核心考点： 1. 对称轴为直线：，化简得 ； 2. 对称轴为直线 ：，化简得 ； 3. 拓展：对称轴为直线 ，可推导得 。 【要点提示】 1. 该类等量关系式是判断 等结论正误的核心依据； 2. 可通过等量代换，用 表示 ，简化复杂代数式的符号判断。 【知识点4】高频易错总结 1. 无法单独通过开口方向判断 符号，必须结合对称轴位置与 正负联合推导； 2. 仅用于判断抛物线与x轴交点个数，不受 单独符号影响； 3. 特殊代数式符号必须严格匹配对应横坐标位置，以图像高低为唯一判断标准； 4. “左同右异”口诀仅适用于二次函数标准一般式，变形解析式不可直接套用。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】基础四参数符号判断（a、b、c、Δ、） 解题技巧：开口定a、对称轴+左同右异定b、y轴交点定c、x轴交点个数定Δ，四步快速判定。 【例题1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（20-21九年级上·北京西城·期末）若抛物线（）的示意图如图所示，则____0，____0，____0（填“”，“＝”或“”）． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】特殊值代数式符号判断 解题技巧：锁定代数式对应的自变量取值，观察图像对应点位置，x轴上方为正，x轴下方为负。 【例题1】（2025·四川绵阳·三模）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·安徽·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论成立的是（　　） A．abc＞0 B．b＜a+c C．b2﹣4ac＜0 D．2c＜3b 【变式2】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【变式3】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【题型3】对称轴衍生等式判断 解题技巧：将对称轴数值代入对称轴公式，交叉化简，推导得出 等量关系。 【例题1】（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 三.题型精析（综合提升） 【题型4】综合多选结论判断（中考压轴选择） 解题技巧：逐条验证结论，先判定 基础符号，再验证特殊代数式、对称轴等量关系、图像最值相关结论，杜绝遗漏。 【例题4】（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5】多式子混合符号推导 解题技巧：分步判定 单独符号，结合乘法正负法则判断组合式符号，可通过对称轴等量代换简化复杂式子。 【例题5】（2023·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 四.同步检测 （一）选择题（本大题共15个小题,每小题4分,共60分） 1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息①；②；③；④．你认为其中正确信息的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 12．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 15．（2024·广东清远·二模）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 （2） 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 16．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 17．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过第____________象限 18．（专题18二次函数-备战2021年中考数学考点一遍过（广东专用））如图：是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，则b__2a（填“＞”“＝”“＜”）． 19．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③． 其中，正确结论的序号为___________． 20．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 21．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号） 22．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：    ①当时，． ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有_____． 23．（23-24九年级上·广东潮州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是_______(填序号）． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 25．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）如图，顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的m，均有③；④若，则；⑤⑥不等式的解集为其中正确的为____（填序号）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $