专题 26.10 二次函数复习专题（5）——二次函数与方程、不等式综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建二次函数与方程、不等式综合的知识体系，将核心关系、交点式与韦达定理互通、图像解法等知识点用框架图呈现脉络，突出判别式应用、图像法解不等式等重难点，体现函数与方程、不等式的内在转化，培养抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分如“由函数图像求方程根”，综合提升部分如“含参不等式综合判断”，结合例题与变式题培养推理能力和运算能力。同步检测分选择、填空、解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准分层教学。

专题 26.10 二次函数复习专题（5）——二次函数与方程、不等式综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数与一元二次方程核心关系 1 【知识点2】交点式与韦达定理互通 2 【知识点3】二次函数与一元二次不等式（图像解法） 2 【知识点4】直线与抛物线交点判定 3 【知识点5】高频易错总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】由函数图像求一元二次方程根 3 【题型2】图像法解一元二次不等式 4 【题型3】直线与抛物线交点个数判断 5 三.题型精析（综合提升） 6 【题型4】由交点个数求参数范围 6 【题型5】含参不等式综合判断 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识梳理 【知识点1】二次函数与一元二次方程核心关系 对于二次函数 ，令函数值 ，即可得到对应一元二次方程 。方程的实数根，就是抛物线与 轴交点的横坐标，二者一一对应。 1. ：方程有两个不相等实数根，抛物线与 轴有两个不同交点； 2.：方程有两个相等实数根，抛物线与 轴有唯一一个交点（顶点落在 轴上）； 3. ：方程无实数根，抛物线与 轴无交点。 【要点提示】 1. 函数零点、一元二次方程实数根、抛物线与x轴交点横坐标，三者为等价概念； 2. 判断抛物线与x轴交点个数，无需画图，直接计算判别式 即可； 3. 已知抛物线交点坐标，可直接写出对应一元二次方程。 【知识点2】交点式与韦达定理互通 若一元二次方程 的两根为 ，则二次函数可写为交点式：。 结合韦达定理可得核心结论： 两根和：（对应抛物线对称轴横坐标）； 两根积：。 【要点提示】 1. 题干已知抛物线与x轴两个交点，优先使用交点式设解析式，简化计算； 2. 韦达定理可快速判断两根正负、对称轴位置，无需解方程； 3. 仅当 时，二次函数可写成交点式。 【知识点3】二次函数与一元二次不等式（图像解法） 解一元二次不等式无需复杂代数运算，依托抛物线图像上下位置即可快速写出解集，核心是判断开口方向与x轴交点。 1. 开口向上（） ：图像在x轴上方，解集 或 ； ：图像在x轴下方，解集 。 2. 开口向下（） ：图像在x轴上方，解集 ； ：图像在x轴下方，解集 或 。 【要点提示】 1. 解不等式第一步必须判定开口方向，不可死记硬背口诀； 2. 时，不等式解集可能为空集或全体实数，需单独分析； 3. 含等号的不等式，解集需包含交点横坐标。 【知识点4】直线与抛物线交点判定 联立一次函数与二次函数解析式，消去变量得到一元二次方程，通过 判断交点个数： 1. ：两个不同交点； 2. ：图像相切，唯一一个交点； 3. ：无交点。 【要点提示】 1. 函数相切题型为中考高频，固定使用 求解参数； 2. 求具体交点坐标，需解出方程根后代入一次函数解析式求值。 【知识点5】高频易错总结 1. 解一元二次不等式必须结合图像，不能单纯依靠代数计算； 2. 函数零点、方程的根、图像交点横坐标为等价概念，可灵活转化； 3. 联立函数方程后，必须整理为标准一元二次方程再计算判别式。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】由函数图像求一元二次方程根 解题技巧：抛物线与x轴交点的横坐标，即为对应一元二次方程的实数根。 【例题1】（25-26九年级下·全国·课后作业）利用函数的图象求下列方程组的解： （1） （2） 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．或0 B．或 C．3或 D．或1 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． （1）在坐标系中画出抛物线与直线． （2）根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【题型2】图像法解一元二次不等式 解题技巧：判定开口方向→求出x轴交点→根据图像上下位置，书写对应解集。 【例题2】（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【变式1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（2024九年级·浙江杭州·竞赛）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【变式3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）结合图像，当时，直接写出的取值范围． （3）在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【题型3】直线与抛物线交点个数判断 解题技巧：联立两个函数解析式，消元得到一元二次方程，计算 判断交点数量。 【例题3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知y关于x的二次函数． （1）判断该二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； （2）若该二次函数的图象经过点和，当时，求y的取值范围． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）抛物线与轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．有且只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如果关于的不等式组至少有四个整数解；且y关于t的二次函数的图像与横轴有交点，则符合条件的所有整数的个数为______个． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） （1）当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； （2）求证：抛物线与轴必有两个交点． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】由交点个数求参数取值或取值范围 解题技巧：根据交点个数对应 的不等关系，列不等式求解参数范围。 【例题4】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【变式1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数．则的取值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是______． 【变式3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图像写出关于的不等式的解集； （3）已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【题型5】含参不等式综合判断 解题技巧：根据不等式解集区间形态，反向推导抛物线开口方向与参数符号。 【例题5】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． （1）求，的值． （2）当时，函数值都小于，求的取值范围． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数（为常数且），下列五个结论： ①该函数图象过； ②当时，该函数与轴有两个不同的交点； ③若，且当时，随的增大而增大，则的取值范围为； ④若，且该二次函数与轴负半轴交于，则； ⑤若，则关于的方程的正根只有一个． 其中正确的有_____． 【变式3】（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． （1）用含的式子分别表示和； （2）是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 3．（2024九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 4．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．（25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 6．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 7．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 8．（2022·陕西西安·模拟预测）抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 9．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．（2024·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 12．（25-26九年级上·云南保山·期末）m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 13．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 14．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 15．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 16．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 17．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 18．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·浙江丽水·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个函数图象与轴的交点坐标． 20．（本小题满分8分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知函数（m是常数）． （1）当时，该函数的图象与直线有几个公共点？说明理由； （2）若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有且只有一个实数根，写出的值． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知二次函数． （1）若，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： （3）将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的关系式为． （1）设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； （2）直接写出该二次函数的顶点坐标； （3）画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.10 二次函数复习专题（5）——二次函数与方程、不等式综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数与一元二次方程核心关系 1 【知识点2】交点式与韦达定理互通 2 【知识点3】二次函数与一元二次不等式（图像解法） 2 【知识点4】直线与抛物线交点判定 3 【知识点5】高频易错总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】由函数图像求一元二次方程根 3 【题型2】图像法解一元二次不等式 7 【题型3】直线与抛物线交点个数判断 11 三.题型精析（综合提升） 14 【题型4】由交点个数求参数范围 14 【题型5】含参不等式综合判断 17 四.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.知识梳理 【知识点1】二次函数与一元二次方程核心关系 对于二次函数 ，令函数值 ，即可得到对应一元二次方程 。方程的实数根，就是抛物线与 轴交点的横坐标，二者一一对应。 1. ：方程有两个不相等实数根，抛物线与 轴有两个不同交点； 2.：方程有两个相等实数根，抛物线与 轴有唯一一个交点（顶点落在 轴上）； 3. ：方程无实数根，抛物线与 轴无交点。 【要点提示】 1. 函数零点、一元二次方程实数根、抛物线与x轴交点横坐标，三者为等价概念； 2. 判断抛物线与x轴交点个数，无需画图，直接计算判别式 即可； 3. 已知抛物线交点坐标，可直接写出对应一元二次方程。 【知识点2】交点式与韦达定理互通 若一元二次方程 的两根为 ，则二次函数可写为交点式：。 结合韦达定理可得核心结论： 两根和：（对应抛物线对称轴横坐标）； 两根积：。 【要点提示】 1. 题干已知抛物线与x轴两个交点，优先使用交点式设解析式，简化计算； 2. 韦达定理可快速判断两根正负、对称轴位置，无需解方程； 3. 仅当 时，二次函数可写成交点式。 【知识点3】二次函数与一元二次不等式（图像解法） 解一元二次不等式无需复杂代数运算，依托抛物线图像上下位置即可快速写出解集，核心是判断开口方向与x轴交点。 1. 开口向上（） ：图像在x轴上方，解集 或 ； ：图像在x轴下方，解集 。 2. 开口向下（） ：图像在x轴上方，解集 ； ：图像在x轴下方，解集 或 。 【要点提示】 1. 解不等式第一步必须判定开口方向，不可死记硬背口诀； 2. 时，不等式解集可能为空集或全体实数，需单独分析； 3. 含等号的不等式，解集需包含交点横坐标。 【知识点4】直线与抛物线交点判定 联立一次函数与二次函数解析式，消去变量得到一元二次方程，通过 判断交点个数： 1. ：两个不同交点； 2. ：图像相切，唯一一个交点； 3. ：无交点。 【要点提示】 1. 函数相切题型为中考高频，固定使用 求解参数； 2. 求具体交点坐标，需解出方程根后代入一次函数解析式求值。 【知识点5】高频易错总结 1. 解一元二次不等式必须结合图像，不能单纯依靠代数计算； 2. 函数零点、方程的根、图像交点横坐标为等价概念，可灵活转化； 3. 联立函数方程后，必须整理为标准一元二次方程再计算判别式。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】由函数图像求一元二次方程根 解题技巧：抛物线与x轴交点的横坐标，即为对应一元二次方程的实数根。 【例题1】（25-26九年级下·全国·课后作业）利用函数的图象求下列方程组的解： （1） （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果； （2）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果． （1）解：画出的图象如下： 由图象可知，两条图象的交点为和， ∴方程组的解为，； （2）解：画出图象如图： 由图可知，直线和抛物线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．或0 B．或 C．3或 D．或1 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以得到函数的对称轴为直线，进而得到该函数与x轴的两个交点的坐标，从而可以写出一元二次方程的解． 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， 由图象可知：二次函数与x轴的一个交点为， ∴该函数与x轴的另一个交点为， ∴当时，对应的x的值为或1， 故选：D． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． （1）在坐标系中画出抛物线与直线． （2）根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【答案】（1）二次函数和一次函数的图象如下图所示， （2） 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． 解：（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 【题型2】图像法解一元二次不等式 解题技巧：判定开口方向→求出x轴交点→根据图像上下位置，书写对应解集。 【例题2】（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． （1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 【变式1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 【变式2】（2024九年级·浙江杭州·竞赛）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 【变式3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）结合图像，当时，直接写出的取值范围． （3）在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【答案】（1）；（2）或 （3） 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． （1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； （3）解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 【题型3】直线与抛物线交点个数判断 解题技巧：联立两个函数解析式，消元得到一元二次方程，计算 判断交点数量。 【例题3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知y关于x的二次函数． （1）判断该二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； （2）若该二次函数的图象经过点和，当时，求y的取值范围． 【答案】（1）二次函数的图象与x轴有2个交点，理由如下： ∵ ， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点； （2） 【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键． （1）计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与x轴的交点的个数； （2）根据对称性求出m的值，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）解：略； （2）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象开口向下， ∴当时，y有最大值为1， ∵， ∴当时，y有最小值为， ∴当时，y的取值范围为． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）抛物线与轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．有且只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据的取值情况来进行判断． 解：∵， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如果关于的不等式组至少有四个整数解；且y关于t的二次函数的图像与横轴有交点，则符合条件的所有整数的个数为______个． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解，二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．先解不等式组，得到，根据不等式组至少有四个整数解，得出，根据y关于t的二次函数的图像与横轴有交点，得出且，从而得出符合条件的所有整数的值为，，1，2，3，即可得出答案． 解：解不等式组，得：， 不等式组至少有四个整数解， ， 解得：， ∵y关于t的二次函数的图像与横轴有交点， ∴有实数解， ∴，且， 解得：且， ∴且， 符合条件的所有整数的值为，，1，2，3， 符合条件的所有整数的个数为5个． 故答案为：5． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） （1）当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； （2）求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 解：（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】由交点个数求参数取值或取值范围 解题技巧：根据交点个数对应 的不等关系，列不等式求解参数范围。 【例题4】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． （1）解：将，代入，得 解得，，故抛物线表达式为． （2）解：联立，得， 因直线与抛物线只有一个交点，故， 整理得， 解得． 【变式1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数．则的取值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 利用直线与（，n为常数）的图象有且只有一个交点，有根的判别式求出c的值，即可求出直线的解析式； 解：将代入， 整理得：， 当时，函数与的图象有且只有一个交点， 有一个实数根， 即， 解得：， 把代入与中得，， 把代入与中得，， 当或时，函数与的图象有且只有一个交点， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是______． 【答案】或 【分析】此题考查了函数图象与轴只有一个公共点，熟练掌握二次函数根的判别式为，分类讨论是解题关键． 分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可． 解：关于的函数的图象与x轴仅有一个公共点， ∴当时， ， 解得， 当时，是一次函数，图象与轴只有一个公共点， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图像写出关于的不等式的解集； （3）已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． （1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【题型5】含参不等式综合判断 解题技巧：根据不等式解集区间形态，反向推导抛物线开口方向与参数符号。 【例题5】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． （1）求，的值． （2）当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． （1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数（为常数且），下列五个结论： ①该函数图象过； ②当时，该函数与轴有两个不同的交点； ③若，且当时，随的增大而增大，则的取值范围为； ④若，且该二次函数与轴负半轴交于，则； ⑤若，则关于的方程的正根只有一个． 其中正确的有_____． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①不正确； 当时，， ，该函数与轴有两个不同的交点，故②正确； 若， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴ 解得，故③不正确 若，且该二次函数与轴负半轴交于， ∴抛物线的开口向上， 时，， 当时，， ∴，故④正确； ∵， ∴当时，， ∵ ∴开口向上，对称轴，在轴的左侧， 与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， ∴有一个正根， 当时，与直线有两个交点，一个在轴上，一个在第三象限， 综上所述，，则关于的方程的正根只有一个．故⑤正确； 故答案为：②④⑤． 【变式3】（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． （1）用含的式子分别表示和； （2）是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）的取值范围是且． 【分析】（）先将点横坐标代入抛物线解析式，化简求出用表示的式子；再把含的点坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出与的关系式； （），先分别把横坐标代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出的取值范围，最后综合得到的取值范围． 解：（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．熟练掌握表格确定函数值正负的自变量的值，二次函数的图像和性质，是解题的关键． 通过观察表格中函数值的正负变化，确定方程根所在的区间．当函数值由负变正时，对应的自变量区间内存在一个根． 解：∵当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根在之间． 故选：B． 3．（2024九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 4．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 解：观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 5．（25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 解：根据函数图象，当或时，， 所以若，则x的取值范围为或． 故选：C． 6．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 7．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 8．（2022·陕西西安·模拟预测）抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 9．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 10．（2024·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 12．（25-26九年级上·云南保山·期末）m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键．m是抛物线与x轴交点的横坐标，即m是方程的根，由方程可直接得出的值． 解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根，即， ∴． 故答案为：2． 13．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 14．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 15．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 16．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 17．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题． 直接根据图象作答即可． 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， ∴当或时，二次函数在一次函数上方， 即关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 18．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·浙江丽水·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． （1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 20．（本小题满分8分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知函数（m是常数）． （1）当时，该函数的图象与直线有几个公共点？说明理由； （2）若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 【答案】（1）有1个公共点，理由见分析；（2）m的值为0或 【分析】此题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，解题关键在于要注意分类讨论，不要漏解． （1）转化为求方程组的解，即可判断； （2）分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用判别式，转化为方程即可解决问题； （1）解：当时，函数解析式为， 联立得：， 解得， ∴该函数的图象与直线有1个公共点． （2）解：①当时，该函数解析式为，此时函数图象与x轴只有一个交点； ②当时，若函数的图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 综上，若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． （1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． （1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见分析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知二次函数． （1）若，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： （3）将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或且 【分析】（1）当时，，令，求出对应的自变量取值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）将函数化为顶点式，得出抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小，进而求出时，y的最大值与最小值，即可得解； （3）根据与轴的交点可得，图象G与直线始终有1个交点，分两种情况讨论：当时，在处图象上的点需在直线上或它的上方；当时，在处图象上的点需在直线上或它的下方，再考虑直线与图象相切时只有1个交点，即可得解． 解：（1）解：当时，， 令，则， 解得：，， 此函数与x轴的交点坐标为，； （2）解：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小， 当时，为最大值； ， 当时，为最小值 时，y的最大值与最小值的差为5， ， ， 解得：； （3）解：， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 令，则， 直线与x轴的交点坐标为， 图象与直线始终有1个交点， 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：； 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：， 当时，整理得，， 若直线与图象相切，则， 整理得，，即 解得：，此时只有1个交点， 综上可知，若图象G与直线有2个不同的交点，a的取值范围为或且． 24．（本小题满分12分）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的关系式为． （1）设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； （2）直接写出该二次函数的顶点坐标； （3）画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 【答案】（1），，；（2）；（3）画出该二次函数的大致图象如图： ①；②， 【分析】（1）求出时的y值和时的x值即可； （2）先根据对称性求得对称轴为直线，再将代入函数解析式中求得y值即可解答； （3）利用描点法，描出关键点，再用平滑曲线连线即可画出图象； ①先得到直线经过点B、点C，同一坐标系中画出对应图象，找出二次函数图象位于直线上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解； ②根据二次函数的图象求解即可． （1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入得， ∴二次函数的关系式为的顶点为； （3）解：根据对称性，点C关于直线的对称点为，画图略 ①对于，当时，由得， 当时，， ∴直线经过点B、点C，如图， 由图象可知，不等式的解集是； ②由图象可知，当时，y随x的增大而增大，到对称轴的距离越大的点的纵坐标越小， ∴若，则； 若，则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $