第26章 二次函数几何初步（线段最值与面积问题）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“二次函数几何综合”为核心，通过知识点分类（水平线段、斜线段、线段比值最值及面积问题）和图示工具（如面积问题的割补法、铅锤法示意图）系统构建知识脉络，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型演练分层设计，如“水平竖直线段最值”例题通过坐标差构建函数表达式求最值，培养推理意识，“面积的等积变形”用铅锤法建立面积模型发展模型意识。巩固练习覆盖不同难度，助力分层提升，为教师精准教学提供有力支持。

目录 第7讲：二次函数几何综合初步…1 【知识梳理】… .1 知识点1：水平线段最值问题. 1 知识点2：斜线段最值问题… .1 知识点3：线段比值最值问题… 1 知识点4：二次函数中的面积问题2 【题型演练】 .3 【题型一：水平竖直线段最值】.3 【题型二：斜线段最值】 6 【题型三：线段比值最值】9 【题型四：已知面积求点的坐标】… 11 【题型五：面积的等积变形】… .12 【题型六：面积的最值问题】 16 【巩固练习】… .19 第7讲：二次函数几何综合初步 【知识梳理】 知识点1：水平线段最值问题 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达 式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式： 当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标： 当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标： ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围。 【注意】单线段最值求解时一定要保证线段是非负的. 知识点2：斜线段最值问题 AB=BC=lyA-ypl sin a sin a AB=AC=IXA-xBl coS a cos a 寻找和分析隐含信息：函数与坐标轴的交点坐标、一次函数图象与坐标轴的夹角，一次函 数的k值 知识点3：线段比值最值问题 思考：如何求出AM PM 识点点腊：证明△POM~△AM，一一器。箭线段的比值变为懂我段的比 值 知识点4：二次函数中的面积问题 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接 用面积公式。 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积， 用“割”或“补”的方法。 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有“等积变形”和“铅锤法”： 如图4，同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等. 如图5，同底三角形的面积比等于高的比， 如图6，同高三角形的面积比等于底的比. 如图7，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距 离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做△ABC 的“铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法：S4=二ah 图4 图5 图6 图7 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为t,a?+bt+c过点P做辅助线： 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式（一般为二次函数的形式）： 模型1 模型2 模型3 水平 SAA=2AD·lxn-xl SAc=2BD·lxe-A 3.写出表示面积的二次函数的顶点式，求出最值，即可得到三角形面积 【题型演练】 【题型一：水平竖直线段最值】 【例题1如图所示，抛物线'=-+c+C与直线4B交于 A(-4,-4)B(0,4) ”两点，点 C为线段AB上一动点，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D.· V (1)求该抛物线的解析式： (2)当点C运动到何处时，线段CD的长度有最大值： 【例题1-2】如图，抛物线'=-r+3x+4 y轴交于点A,交x轴正半轴于B,直线1过 AB MWI‖x ,M是抛物线第一象限内一点，过点M作 MN ”轴交直线于点N,则的最大值 为 N 【练习11】如图，二次函数"=-父+br+c 的图像与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,点A的坐标为 ,且OA=0C,B是线段O1上的一个动点，过点B作直线EF垂 -4,0) 直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)设点E的横坐标为m.当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少； 4 【练习12】抛物线'=+r经过1(-2,0），B(1,m 两点。 (1)求抛物线的解析式： (2)若M是线段AB上的一个动点，过点M作MNLx轴，交抛物线于点N,求线段MN的 最大值： 【练习13】如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=r+r-3 x轴交于点 A(-1,0),B(4,0) 与y轴交于点C. o (1)求抛物线的函数解析式. (2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点Q,过点P作x 轴的平行线交y轴于点F,过点Q作x轴的平行线交y轴于点E,求矩形PQEF的周长最大 值及此时点P的坐标， 5 【题型二：斜线段最值】 1 题2】如图O,抛物线y。了十)X中4与y轴交于点4，与x轴交于点B、C,招 2 AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D, 图① 图② (1)求直线AD的函数解析式： (2)如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点， ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离： y=ax'+bx+c 【练习2-1】如图，抛物线 与轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， 点4、B的坐标分别是-1,0).(30)，与'轴交于点C,点C的坐标是Q3),点D和点 C关于抛物线的对称轴对称. 6 M B 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最 大值： 【练习22】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线’=心+r-3与*轴交于 (-1,0)B 5 两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴是直线x= 2 图① 图② (1)求抛物线的表达式： (2)如图②点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于 PD+ PE 点D,作PE⊥BC于点E,直接写 2的最大值及此时点P的坐标： 【练习2-3】如图在平面直角坐标系中，直线1与x轴交于点 A(4,0) 与y轴交于点 B(0,-4) 抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=1。 x=1 M (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线1下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C,交直线I于点 D,求DP的最大值及此时P的坐标； (3)在(2)的条件下，过点P作PM⊥I,垂足为M.求PM的最大值. 8 【题型三：线段比值最值】 【例题3】如图，在平面直角坐标系中，y=-+3x+4与 4与轴交于1，B两点(4在B的 左侧)，与'轴交于点C,点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM∥x轴，且与 PD BC延长线相交于点M,连接AP交BC于点D,则DA的最大值为() D 6 4 3 A. 5 B.4 c 0.1 9 【练习3知图，碧物搜=宁+c与：销交于点410.B0.与y鞋交 点C,连接BC,若点P为线段BC上的动点（与B,C不重合），作射线AP交抛物线于 PO 点Q,在点p的运动过程4P的最大值为() B 4 5-1 A B.20 C.2 D.不存在 y=ax2+2ax-3a 【练习3-2】已知抛物线 (a为常数，u0)· 图1 图2 (1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含α的代数式表示）； (2)如图1，当a=-l时，若点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，求点P到直线AC距 离的最大值； (3)如图2，当a=-1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y 轴交于点C.点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E,设点E的横坐 10 S= SAADE 标为n,记 SABs,当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值. 【题型四：已知面积求点的坐标】 【例题4】己知如图，抛物线'=ar+x+3与x轴交于点 A(-1,0),B(3,0) 两点，与y轴交 于点C (1)求抛物线解析式及顶点坐标： 2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若5心=5 ,求P点的坐标： 11 【练习4知图，已知鹅物我= 4x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接PC,PB,设点P的横坐标为， (1)求线段AB的长： (2)请用含m的代数式表示△PBC的面积； 3)若SPc=4,求点P的坐标 【练习42】已知如图，抛物线”=+r+3与轴交于点1-1,0，B(,0 两点，与y轴 交于点C (1)求抛物线解析式及顶点坐标： 2已知点P是抛物线对称轴上一点，若5a=5 ,求P点的坐标： 12 【题型五：面积的等积变形】 【例题5】如图，己知抛物线’=-+x+C与轴交于 ←1,0).B(5.0两点（点4在点 B的左侧)，与'轴交于点C. E F B (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小，此时点P的坐标为一： (3)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C,B重合），过点D作DF⊥x轴于 点F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC把△BDF的面积分成两部分，使 S.BDE SBEF=3:2 ,请求出点D的坐标. y=ax2+bx+c 【练习5-1】如图，已知二次函数 的图像过点 2,0,B0,-0和C4,),与 x轴的另一个交点为D. D 13 (1)求该二次函数的解析式： (2)求三角形BDC的面积： (3)若P为抛物线上一点，且△PDC的面积是△BDC的2倍，求点P的坐标. 【练习5-2】如图所示，抛物线顶点坐标为点 4.交箱于点4B0),交'轴于点9 个 (1)求抛物线和直线AB的解析式： (2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA、PB,当P点运动到顶点C时， 14 求4CA 的铅垂高CD及a 旧点P是抛物线在第一象限内正的一个动点，是否存在一点p,使SS,若看 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式拓展】如图O,己知抛物线'=+r+3(a≠0)与x轴交于4-10)，B(3,0)两点， 与y轴交于点C. ① 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD,交BC于点E.设 15 S=SARED-S△MCES ，S是否存在最大值？如果存在求出此时点D的坐标并求出此时S的最大 值，否则请说明理由； 【题型六：面积的最值问题】 【例题6】已知：二次函数'=r+br+ 的图像与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为 (3,0),与y轴交于点C,点 D(-2,-3) 在抛物线上 16 D (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P,若PA+PD最小，求P的坐标： (3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q,使得△BD的面积有最大值？若存在，请 求出点Q坐标，及△BD的最大面积；若不存在，请明理由. 【练习61】如图，抛物线=+-4与轴交于点4(-2,0)和点B(4,0,与y销交于 和点 点C 17 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是直线BC下方抛物线上的动点，连接PC和PB,当△BPC的面积最大时，求点 P的坐标及面积的最大值。 【练习6-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数"=-r+x+C 的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C(0,3).A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0).点P是抛物线上一 个动点，且在直线BC的上方. B (1)求这个二次函数的表达式： (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐 标；若不存在，请说明理由： (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形 面积的最大值. 18 7 【练习6-3】如图，直线y=-x+2与y轴相交于点C,抛物线y=- x+bx+C过点 7 G(3,2),且与直线y=-x+2交于B,C两点. VA D B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当自变量x满足a-3≤x≤a+2时，对应的抛物线函数值y的最大值为-5，求a的值： (3)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，点P为对称轴上一动点，当△BCD的面积取 得最大值时，求△PDG的周长最小值， 19 【巩固练习】 1已知抛物线'=+伽+6<“为常数，a*0)交*轴于点46,0)，点-1,0)，交y 轴于点C. (1)求点C的坐标和抛物线的解析式： (2)P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D,当 PD取得最大值时，求点P的坐标： 2.在平面直角坐标系0中，已知抛物线”=+伽+c(a≠0)与x轴交于 A(-3,0) B,0两点，与y轴交于点CQ3),点P是直线4C上方的抛物线上的一个动点（不与点 A,C重合)· VA 0 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，过点P作P№⊥AC于点Q,当P№的值最大时，求点P的坐标及P№的最大值； 20 3.如图，在平面直角华标系中，已知抛物线"=+c+C与轴交于《-10.820 两 点，与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点. VA (1)求抛物线的表达式： (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的 横坐标为t,DE的长为I,请写出I关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围： SADEE (3)连接AD,交BC于点F,求S△Br的最大值. 21 y=-x2+mx+3 4.如图，已知抛物线 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐 标为30) A B (1)求的值及抛物线的顶点坐标. (2)点P是抛物线对称轴I上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标 (3)探究在抛物线上是否存在点M,使得△AMB的面积等于3？若存在，求出点M的坐标： 若不存在，请说明理由， 22 4 5.如图，已知直线y=3x+4与x轴交于点4：与y轴交于点C,抛物线y=m2+bx+c经 过A,C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=1. D B (1)求抛物线的表达式； (2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标： (3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求△ACD面积S的最大值及此 时D点的坐标 23 6,图.以D为顶点的跳物线y=+加+c交r精于人B两点，交y精于点c·直 线BC的表达式为y=-x+6, B小衣 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)求△BCD面积： 3)点P为第一象限内抛物线上任意一点（除D外），当 s=S时，求P点坐标. 24 目录 第7讲：二次函数几何综合初步 1 【知识梳理】 1 知识点1：水平线段最值问题 1 知识点2：斜线段最值问题 1 知识点3：线段比值最值问题 1 知识点4：二次函数中的面积问题 2 【题型演练】 3 【题型一：水平竖直线段最值】 3 【题型二：斜线段最值】 10 【题型三：线段比值最值】 18 【题型四：已知面积求点的坐标】 26 【题型五：面积的等积变形】 31 【题型六：面积的最值问题】 40 【巩固练习】 50 第7讲：二次函数几何综合初步 【知识梳理】 知识点1：水平线段最值问题 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式： 当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； 当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 【注意】单线段最值求解时一定要保证线段是非负的. 知识点2：斜线段最值问题 寻找和分析隐含信息：函数与坐标轴的交点坐标、一次函数图象与坐标轴的夹角，一次函数的k值 知识点3：线段比值最值问题 思考：如何求出 知识点点睛：证明，斜线段的比值变为铅锤线段的比值 知识点4：二次函数中的面积问题 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有“等积变形”和“铅锤法”： 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 如图7，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度h叫做的“铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法： 图4 图5 图6 图7 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积 【题型演练】 【题型一：水平竖直线段最值】 【例题1-1】如图所示，抛物线与直线交于，两点，点为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点C运动到何处时，线段的长度有最大值； 【答案】(1) (2)C的坐标为 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； 【详解】（1）解：把，分别代入得： 解之得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，分别代入 得：，解之得：， 直线的解析式为， 设点为， 轴， ， ， ， 当时，线段的长度有最大值，此时点的坐标为； 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．考查了勾股定理，解直角三角函数，求一次函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【例题1-2】如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 【练习1-1】如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； 【答案】(1) (2)当时，有最大值，且最大值为 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 【练习1-2】抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、折叠问题、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）用待定系数法求出线段所在的直线方程为：，由题意可设，其中，则，进而得到，从而即可得到答案； 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵在图象上， ∴，即， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， 线段所在的直线方程为：， 如图1， ，     由题意可设，其中，则， ， 当时，长度的最大值为，此时，点的坐标为； 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 【练习1-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形PQEF的周长最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质． （1）把代入求解即可； （2）求出，进而求出直线解析式，设，则，则，根据矩形的性质得到，求出矩形的周长的解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【题型二：斜线段最值】 【例题2】如图①，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，将直线绕点A逆时针旋转，所得直线与x 轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图②，若点P是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； 【答案】(1) (2)①点P的坐标为，最大距离为；②或． 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点，从而得出，再结合旋转的性质，可得是等腰直角三角形，从而得出，再利用待定系数法求解即可； （2）①如图，过点作于点，轴交直线于点，则点P到直线的距离为，设，则，证明出是等腰直角三角形，从而得出，再利用二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C， 当时，； 当时，，解得，， ，，， ， ， 由旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， 则，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：①如图，过点作于点，轴交直线于点，则点P到直线的距离为， 点P是直线上方抛物线上的一个动点， 设， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，有最大值为，此时， 当点P到直线的距离最大时，点P的坐标为，最大距离为； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的性质等知识，利用数形结合的思想解题是关键． 【练习2-1】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 【练习2-2】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)最大值， 【知识点】一次函数图象平移问题、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，求二次函数的最值，勾股定理，利用割补法表示出的面积时解题的关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式为； （2）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． 连接，设点， 由，得 ， ． ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 【练习2-3】如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 【题型三：线段比值最值】 【例题3】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为． 【练习3-1】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 【练习3-2】已知抛物线（a为常数，a≠0）． (1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)如图1，当时，若点P是直线上方抛物线上的一个动点，求点P到直线距离的最大值； (3)如图2，当时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线上方抛物线上的一个动点，交于点E，设点E的横坐标为n，记，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 【答案】(1)顶点为，对称轴为直线； (2) (3)当时，S有最大值． 【分析】（1）由，即可求顶点为，对称轴为直线； （2）过点P作于点H，作于点N，交线段于点M，，，求得,证明是等腰直角三角形，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则，则，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）与等高得，过点D作轴交AC于点F，过B点作轴交AC于点G，由得，设，求得，此时，待定系数法求出直线的解析式,与解析式联立，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴顶点为，对称轴为直线； （2）如图，过点P作于点H，作于点N，交线段于点M，，， 当时，， 当，， 当，，解得， ∴,,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵点P是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴时，有最大值， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：当时，， 当时，， 当，， 当，，解得， ∴,,, ∵与等高， ∵， 过点D作轴交AC于点F，过B点作轴交AC于点G， ∴， ∴， 由（2）可知直线的解析式为， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴当时，S有最大值， 当时， 此时， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， ∴， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【题型四：已知面积求点的坐标】 【例题4】已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； 【练习4-1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，求出，，即可得解； （2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解； （3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接， ， 在中，令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可得：， 由题意得：， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—三角形面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【练习4-2】已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； 【题型五：面积的等积变形】 【例题5】如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标为______； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把△BDF的面积分成两部分，使，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于点P，此时的值最小； （3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称， 设交l于点P，则P即为所求的点， 当时，，则 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）如图， 设，则， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 化简得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 【练习5-1】如图，已知二次函数的图像过点，和，与轴的另一个交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)若为拋物线上一点，且的面积是的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数的综合，涉及一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线与轴交于点，先根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，得到，最后根据即可求解； （3）过点作轴，交直线于点，先求出直线的解析为，设，则，得到，进而得到，最后根据的面积是的倍列方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，和代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）设直线与轴交于点， 在中，令，则， 解得：或， 二次函数与轴的另一个交点， 设直线的解析式为：， 将和代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， ； （3）如图，过点作轴，交直线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 的面积是的倍，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【练习5-2】如图所示，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接、，当P点运动到顶点C时，求的铅垂高及； (3)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数与几何图形综合题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）有待定系数法即可求解； （2）当时，分别代入和得，，得到，进而求解； （3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高，则，由即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为点，且经过点， 设抛物线的解析式为：， 把代入解析式， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴的交点坐标， 设直线 的表达式为 由点A、B的坐标得，直线的表达式为：； （2）点，点在抛物线上，点在直线上， 当时，分别代入和得，， ， ； （3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高， 则， 由得：， 化简得， 解得， 将代入得， 符合条件的点的坐标为． 【变式拓展】如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； 【答案】(1) (2)，存在最大值 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； 【题型六：面积的最值问题】 【例题6】 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【练习6-1】如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方抛物线上的动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)；面积的最大值为4 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】考查二次函数解析式（交点式）、一次函数解析式、三角形面积最值（铅垂高法）；核心技巧是用铅垂高表示面积，转化为二次函数求最值；易错点是铅垂高计算时符号错误，或配方时符号出错． （1）利用交点式设抛物线，代入C点求 a；（2）作铅垂线，将面积拆分为两个小三角形面积之和，转化为二次函数求最大值． 【详解】（1）由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线解析式得，又． 设直线的解析式为，将、代入： ​ 将代入，得． 故直线的解析式为：． 过点P作轴交于点H， 设点，则点， 则， 则， 将代入面积公式： 即的面积的最大值为4，此时，则点 【练习6-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，四边形面积的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【详解】（1）解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； （2）解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， （3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 【练习6-3】如图，直线与y轴相交于点C，抛物线过点，且与直线交于B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当自变量x满足时，对应的抛物线函数值y的最大值为，求a的值； (3)点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为对称轴上一动点，当的面积取得最大值时，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)或． (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）先求得，再运用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线对称轴为抛物线的对称轴为，再分、、三种情况，分别利用二次函数的性质以及已知条件，列关于a的方程求解即可． （3）先联立抛物线和直线的解析式求得，，如图：设，则，即；进而得到，根据二次函数的性质可得当时，即的面积最大，此时；易得，则要求的周长最小值，需先求得的最小值；如图：连接，点P在对称轴上，进而说明当C、P、G三点共线时，有最小值，即有最小值为，再求得的长，最后求得的周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴相交于点C， ∴， 由题意可得：抛物线过点和， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ①当，即时，函数在上，y随x的增大而增大， ∴当时，对应的抛物线函数值y最大， ∴ ，解得：或（不合题意舍去）； ②当，即时，当时，抛物线函数值y最大，最大值为，不符合题意； ③当函数在上，y随x的增大而减小， ∴当时，抛物线函数值y最大， ∴ ，解得： （不合题意舍去）或． 综合，a的值为或． （3）解：∵抛物线与直线交于B，C两点． ∴，解得：或， ∴，， 如图：设，则， ∴， ∵， ∴当时，即的面积最大，此时， ∵， ∴， ∴要求的周长最小值，需先求得的最小值， 如图：连接，点P在对称轴上， ∵，， ∴点C和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、G三点共线时，有最小值，即有最小值为， ∵，， ∴，即有最小值为， ∴的周长最小值． 【巩固练习】 1. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，交轴于点． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标； 【答案】(1)，抛物线的解析式为； (2)； 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）先求出直线的解析式为，设，则，然后即可求出，再由二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：如图， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 当时，最大，此时，， ∴； 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； 【答案】(1) (2)当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交直线于，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，也取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为， 当时，，即； 当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． (3)探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； （3）解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 5．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标； (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)最大值是，此时点的坐标是． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、利用二次函数对称性求最短路径、面积问题(二次函数综合) 【分析】利用一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴是，可得关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可得到抛物线的解析式； 根据将军饮马原理可知，当的值最小时，点是直线与对称轴的交点，即可求出点的坐标； 设点的坐标为 ，点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质即可求出面积的最大值． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 抛物线经过点，， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图所示，设直线交于点，连接、， 直线， 当时，， ， 直线垂直平分， ，， ， ， 当点与点重合时，，此时的值最小， ，此时的值最小， 当的值最小时，点的坐标是； （3）解：如图所示，作轴于点，交于点， 点的横坐标为， 点的坐标为 ，点的坐标为， ， 点的坐标是， ， ， 整理可得：， 当时，，此时， 面积的最大值是，此时点的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、将军饮马原理、最短路径． 6．如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积； (3)点为第一象限内抛物线上任意一点（除外），当时，求点坐标． 【答案】(1) (2)12 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据直线的表达式为，求出B,C的坐标，代入求解； （2）求出的长，可得结论， （3）根据可得，求出的解析式，再求出交点即可． 【详解】（1）解：的表达式为， ， 将代入得， 解得：，， 抛物线的解析式为； （2）， ． 如图，过点作于点，交于点． ∵直线的解析式为， 当时，， ， ， （3）∵且为第一象限内抛物线上的点 ∴ 设直线的解析式为， ∵ 将代入得，， ， 直线的解析式为， 联立得： 解得：， ∴点坐标为 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型． 2 学科网（北京）股份有限公司 $