专题 26.7 二次函数复习专题（2）——二次函数图像与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建二次函数图像与性质的复习体系，涵盖图像基本特征、a的作用、增减性、最值、顶点式性质5个核心知识点，以要点提示和分层结构呈现知识脉络，突出增减性、最值等中考重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型精析分夯实基础与综合提升，如判断开口方向的基础题型和已知增减性求参数范围的综合题型，培养运算能力与推理意识。同步检测含选择、填空、解答题分层设计，助力不同层次学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

专题 26.7 二次函数复习专题（2）——二次函数图像与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数图像基本特征 1 【知识点2】a的作用：开口方向与开口大小 2 【知识点3】二次函数增减性（中考核心） 2 【知识点4】二次函数最值性质 3 【知识点5】顶点式图像性质（简化版） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】判断抛物线开口、对称轴、顶点、最值 3 【题型2】二次函数增减性判断 4 【题型3】顶点式快速求最值 5 三.题型精析（综合提升） 6 【题型4】利用增减性比较函数值大小 6 【题型5】已知增减性求参数范围 6 【题型6】对称点综合函数值比较 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理 【知识点1】二次函数图像基本特征 二次函数 的图像是一条抛物线，属于轴对称图形，拥有唯一顶点，是图像的最高点或最低点。 核心基础属性： 1. 对称轴：直线 ； 2. 顶点坐标：； 3. 图像走势、开口方向、最值情况均由二次项系数 唯一决定。 【要点提示】 1. 抛物线为轴对称光滑曲线，无断点、无折点，仅有一条竖直对称轴，且对称轴必过顶点； 2. 解题优先判断解析式类型：一般式代入公式求对称轴、顶点，顶点式可直接读取核心参数，大幅简化计算； 3. 顶点是抛物线的极值点，既是图像高低分界点，也是函数增减性的转折点。 【知识点2】a的作用：开口方向与开口大小 1. 开口方向 ，抛物线开口向上，顶点为图像最低点，函数有最小值； ，抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数有最大值。 2. 开口大小 越大，抛物线开口越窄，图像走势越陡峭； 越小，抛物线开口越宽，图像走势越平缓。 【要点提示】 1. 开口方向仅由的正负决定，与的取值无关； 2. 若两个二次函数的相等，则抛物线开口宽窄完全一致，仅位置、开口方向可能不同； 3. 含参数题型中，优先锁定的符号，可快速判断函数最值、增减区间等核心性质。 【知识点3】二次函数增减性（中考核心） 二次函数增减性以对称轴为唯一分界线，对称轴左右两侧函数单调性完全相反，全体实数范围内增减规律如下： 1. 当时（开口向上） 对称轴左侧（）：y随x增大而减小；对称轴右侧（）：y随x增大而增大。 2. 当时（开口向下） 对称轴左侧（）：y随x增大而增大；对称轴右侧（）：y随x增大而减小。 【要点提示】 1. 对称轴处是函数增减性的转折点，顶点为单调区间的分界点，无增减性； 2. 描述增减区间必须明确对称轴，不可笼统描述为左边递增、右边递减； 3. 若自变量限定在局部区间，需先判断区间与对称轴的位置关系，再分析单调性。 【知识点4】二次函数最值性质 自变量取全体实数时，二次函数最值仅在顶点处取得，无区间最值偏差： 1. ，当 时，函数取得最小值 ，无最大值； 2. ，当 时，函数取得最大值 ，无最小值。 【要点提示】 1. 全体实数范围内，二次函数有且仅有一个最值（最大或最小）； 2. 若自变量有取值范围限制，函数最值不一定在顶点处，需对比顶点与区间端点函数值； 3. 顶点式可直接读取最值，规避一般式复杂公式计算，提升解题效率与准确率。 【知识点5】顶点式图像性质（简化版） 对于顶点式 ，图像性质可直接读数，无需套公式： 1. 对称轴：直线 ，顶点坐标 ； 2. ， 时，； 3. ， 时，； 4. 增减性直接以 为分界，判断逻辑更简单。 【要点提示】 1. 高频易错点： 可转化为 ，对称轴为 ，注意符号转换； 2. 题干给出最值、对称轴、顶点等条件时，优先选用顶点式分析性质； 3. 比较函数值大小时，顶点式可快速计算点到对称轴的距离，简化判断流程。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】判断抛物线开口、对称轴、顶点、最值 解题技巧：一般式代入公式计算，顶点式直接读取参数，先判断的符号，确定开口方向和最值类型，再求解具体数值。 【例题1】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）； （2）． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）二次函数的对称轴是直线______，顶点坐标______． 【变式3】（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型2】二次函数增减性判断 解题技巧：先确定对称轴与开口方向，以对称轴为分界，左右划分增减区间，准确描述函数单调性。 【例题2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； （3）抛物线与y轴的交点坐标为______． 当______时，函数值y随着x的增大而增大， 当______时，函数值y随着x的增大而减小． 【变式1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【题型3】顶点式快速求最值 解题技巧：顶点式无需计算，直接读取顶点纵坐标，结合的正负判断最大值或最小值。 【例题3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）求下列二次函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值． （1） （2） 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【变式2】（25-26九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的最大值为______，最小值是______． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】利用增减性比较函数值大小 解题技巧：自变量在对称轴同侧，直接用增减性判断函数值大小；自变量在对称轴异侧，先计算各点到对称轴的距离，开口向上，距离越大函数值越大；开口向下，距离越大函数值越小。 【例题4】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，且最小值为1． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点，在图象上，比较与的大小． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知，，三点都在二次函数的图象上，比较、、的大小：______．（用“＞”连接） 【变式3】（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线过，，，四点． （1）若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． （2）若，，判断是否成立，并说明理由． 【题型5】已知增减性求参数范围 解题技巧：根据函数增减区间，判断题目给定的自变量区间整体在对称轴同侧，据此列出不等式，求解参数取值范围。 【例题5】（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围． 【变式1】（2025·吉林长春·二模）对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【变式3】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求t的值； （2）若对于，都有，求t的取值范围． 【题型6】对称点综合函数值比较 解题技巧：函数值相等的两个点关于抛物线对称轴对称，先利用对称点求出对称轴，再通过点到对称轴的距离，结合开口方向比较函数值大小。 【例题6】（2024·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． （1）求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． （2）点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【变式3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 2．（2024·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 4．（2024·浙江宁波·三模）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 5．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 5 6 … … 14 14 23 … 则下列结论中，正确的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．有最小值 D．若点都在抛物线上，则 9．（2025·广东惠州·二模）在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A．当时，随增大而增大 B．抛物线的开口向下 C． D．当时，的取值范围是 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的对称轴是直线_______，最值为_______． 12．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 14．（2025九年级·浙江·学业考试）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的最大值为_____． 15．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 17．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，当y＜时，x的取值范围是__________． x … … y … 0 1 0 … 18．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（上海市浦东新区几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建福州·期中）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 （1）求该二次函数的解析式； （2）求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象与x轴的交点是，． （1）这个二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若该二次函数图象上的最高点到x轴的距离为2．求该二次函数的解析式． 23．（本小题满分10分）（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） （1）求二次函数的对称轴； （2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； （3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． （1）当时，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.7 二次函数复习专题（2）——二次函数图像与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数图像基本特征 1 【知识点2】a的作用：开口方向与开口大小 2 【知识点3】二次函数增减性（中考核心） 2 【知识点4】二次函数最值性质 3 【知识点5】顶点式图像性质（简化版） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】判断抛物线开口、对称轴、顶点、最值 3 【题型2】二次函数增减性判断 5 【题型3】顶点式快速求最值 8 三.题型精析（综合提升） 11 【题型4】利用增减性比较函数值大小 11 【题型5】已知增减性求参数范围 14 【题型6】对称点综合函数值比较 18 四.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.知识梳理 【知识点1】二次函数图像基本特征 二次函数 的图像是一条抛物线，属于轴对称图形，拥有唯一顶点，是图像的最高点或最低点。 核心基础属性： 1. 对称轴：直线 ； 2. 顶点坐标：； 3. 图像走势、开口方向、最值情况均由二次项系数 唯一决定。 【要点提示】 1. 抛物线为轴对称光滑曲线，无断点、无折点，仅有一条竖直对称轴，且对称轴必过顶点； 2. 解题优先判断解析式类型：一般式代入公式求对称轴、顶点，顶点式可直接读取核心参数，大幅简化计算； 3. 顶点是抛物线的极值点，既是图像高低分界点，也是函数增减性的转折点。 【知识点2】a的作用：开口方向与开口大小 1. 开口方向 ，抛物线开口向上，顶点为图像最低点，函数有最小值； ，抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数有最大值。 2. 开口大小 越大，抛物线开口越窄，图像走势越陡峭； 越小，抛物线开口越宽，图像走势越平缓。 【要点提示】 1. 开口方向仅由的正负决定，与的取值无关； 2. 若两个二次函数的相等，则抛物线开口宽窄完全一致，仅位置、开口方向可能不同； 3. 含参数题型中，优先锁定的符号，可快速判断函数最值、增减区间等核心性质。 【知识点3】二次函数增减性（中考核心） 二次函数增减性以对称轴为唯一分界线，对称轴左右两侧函数单调性完全相反，全体实数范围内增减规律如下： 1. 当时（开口向上） 对称轴左侧（）：y随x增大而减小；对称轴右侧（）：y随x增大而增大。 2. 当时（开口向下） 对称轴左侧（）：y随x增大而增大；对称轴右侧（）：y随x增大而减小。 【要点提示】 1. 对称轴处是函数增减性的转折点，顶点为单调区间的分界点，无增减性； 2. 描述增减区间必须明确对称轴，不可笼统描述为左边递增、右边递减； 3. 若自变量限定在局部区间，需先判断区间与对称轴的位置关系，再分析单调性。 【知识点4】二次函数最值性质 自变量取全体实数时，二次函数最值仅在顶点处取得，无区间最值偏差： 1. ，当 时，函数取得最小值 ，无最大值； 2. ，当 时，函数取得最大值 ，无最小值。 【要点提示】 1. 全体实数范围内，二次函数有且仅有一个最值（最大或最小）； 2. 若自变量有取值范围限制，函数最值不一定在顶点处，需对比顶点与区间端点函数值； 3. 顶点式可直接读取最值，规避一般式复杂公式计算，提升解题效率与准确率。 【知识点5】顶点式图像性质（简化版） 对于顶点式 ，图像性质可直接读数，无需套公式： 1. 对称轴：直线 ，顶点坐标 ； 2. ， 时，； 3. ， 时，； 4. 增减性直接以 为分界，判断逻辑更简单。 【要点提示】 1. 高频易错点： 可转化为 ，对称轴为 ，注意符号转换； 2. 题干给出最值、对称轴、顶点等条件时，优先选用顶点式分析性质； 3. 比较函数值大小时，顶点式可快速计算点到对称轴的距离，简化判断流程。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】判断抛物线开口、对称轴、顶点、最值 解题技巧：一般式代入公式计算，顶点式直接读取参数，先判断的符号，确定开口方向和最值类型，再求解具体数值。 【例题1】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）； （2）． 【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵，， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【答案】C 【分析】通过将二次函数化为顶点形式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值． 解： 将二次函数化为顶点式：， A、二次项系数，故抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为直线，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为，C正确，符合题意； D、开口向上， 函数有最小值，无最大值，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点拨】将二次函数化为顶点式是分析其性质的关键，可直接得出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）二次函数的对称轴是直线______，顶点坐标______． 【答案】 直线 【分析】首先把解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质，即可解答． 解：， ∴顶点坐标是，对称轴是直线． 故答案为：直线，． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，把解析式化成顶点式是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. （1）解：． （2）略 【题型2】二次函数增减性判断 解题技巧：先确定对称轴与开口方向，以对称轴为分界，左右划分增减区间，准确描述函数单调性。 【例题2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； （3）抛物线与y轴的交点坐标为______． 当______时，函数值y随着x的增大而增大， 当______时，函数值y随着x的增大而减小． 【答案】（1）；（2）抛物线的函数解析式为的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（3），，． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）将代入抛物线，求出a的值即可； （2）令，得，当时，，得到抛物线的函数解析式为的对称轴为，顶点坐标为，再由，得到抛物线的函数解析式为的开口向下，即可解答； （3）当时，，得到抛物线与y轴的交点坐标为，再根据抛物线的函数解析式为的开口向下，对称轴为，得到当时，函数值y随着x的增大而增大，当时，函数值y随着x的增大而减小即可． （1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）令，得， 当时，， ∴抛物线的函数解析式为的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵， ∴抛物线的函数解析式为的开口向下， 答：抛物线的函数解析式为的开口向下，对称轴为，顶点坐标为． （3）当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． ∵抛物线的函数解析式为的开口向下，对称轴为， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， 当时，函数值y随着x的增大而减小． 故答案为：，，． 【变式1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． （1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 【题型3】顶点式快速求最值 解题技巧：顶点式无需计算，直接读取顶点纵坐标，结合的正负判断最大值或最小值。 【例题3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）求下列二次函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值． （1） （2） 【答案】（1）当时，y的最大值为4；（2）当时，y的最小值为 【分析】把解析式化成顶点式即可求解； 把解析式化成顶点式即可求解． 此题考查二次函数的最值，求二次函数的最值一般利用公式法或配方法解决问题． 解：（1）， ， ∴函数有最大值， ∴当时，y的最大值为4； （2）， ， ∴函数有最小值， ∴当时，y的最小值为 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】C 【分析】根据图象及的取值范围，求出最大值和最小值即可． 解：根据图象及的取值范围， 当时，取最小值为， 当，取最大值为2.5， 该函数有最小值，有最大值2.5， 故选：C． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的最值，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小值，函数所对的最低点的值为最小值，最高点的值为最大值． 【变式2】（25-26九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的最大值为______，最小值是______． 【答案】 【分析】此题考查了将二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将二次函数解析式化为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，判断顶点是否在给定区间内，从而得到最大值；再计算区间端点的函数值，比较得出最小值． 解：将二次函数化为顶点式， ， 因此顶点坐标为，二次项系数为负，抛物线开口向下； 顶点横坐标在区间内，故最大值为3； 计算区间端点函数值： 当时，； 当时，； 比较函数值，最小值为． 故答案为：3，． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1）；（2）有最小值，最小值为1 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． （1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】利用增减性比较函数值大小 解题技巧：自变量在对称轴同侧，直接用增减性判断函数值大小；自变量在对称轴异侧，先计算各点到对称轴的距离，开口向上，距离越大函数值越大；开口向下，距离越大函数值越小。 【例题4】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，且最小值为1． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点，在图象上，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出二次函数解析式，并使用差减法比较两个函数值的大小． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出、，并计算的值，再根据的结果来判断与的大小． （1）解：∵对称轴为直线，且最小值为1， ∴顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴设该二次函数的解析式为； （2）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 解：∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知，，三点都在二次函数的图象上，比较、、的大小：______．（用“＞”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1，y2，y3的大小关系． 解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵A（-1，y1），B（-2，y2），C（，y3）， ∴点A到对称轴的距离是1个单位， 点B到对称轴的距离是2个单位， 点C到对称轴的距离是个单位， ∴点B离y轴最远，点C离y轴最近， ∵ ∴抛物线开口向下， ∴点离对称轴越近，其函数值越大， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a（x-h）2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h. 【变式3】（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线过，，，四点． （1）若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． （2）若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）成立，理由见分析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 解：（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 【题型5】已知增减性求参数范围 解题技巧：根据函数增减区间，判断题目给定的自变量区间整体在对称轴同侧，据此列出不等式，求解参数取值范围。 【例题5】（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）根据对称轴求出点A关于对称轴的对称点，再分与分析求解即可. （1）解：， 该抛物线的对称轴为直线：，即直线； （2）解：点在抛物线上，， 设点关于对称轴的对称点为， ， ， ； 若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当时， 对于都有， ， ， ，与矛盾，不合题意； 当时， 对于都有， ，即， ， ； 若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 当时， 对于都有， ， ， ， ； 当时， 对于都有， ，即， ， ，与矛盾，不合题意； 综上可知，a的取值范围是或． 【变式1】（2025·吉林长春·二模）对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，即可求解． 解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ∴，解得：， 故：B． 【变式2】（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求t的值； （2）若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 解：（1）解：∵对于有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【题型6】对称点综合函数值比较 解题技巧：函数值相等的两个点关于抛物线对称轴对称，先利用对称点求出对称轴，再通过点到对称轴的距离，结合开口方向比较函数值大小。 【例题6】（2024·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． （1）求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． （2）点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． （1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 先根据图象经过、求出对称轴，再根据二次函数的性质作答即可． 解：∵图象经过、， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴对应的对称点为． ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求二次函数解析式，利用点求出常数项，由点B和点C纵坐标相同得出对称轴为，从而得到一次项系数与二次项系数的关系，再代入点坐标求出a和b的值，即可获得答案． 解：设该抛物线解析式为， 将点代入，得，即， ∴该函数解析式为， 由于点和点的纵坐标相同，故点B与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为， 又∵抛物线的对称轴公式为， ∴， 将点代入解析式，得，即， 将代入，可得，即， 解得， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）；（2）；（3）解：； 证明：∵点和在二次函数， ∴， 得：， ∴， ∵点和在二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴. 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． （3）由点和在二次函数，可得，抛物线对称轴为直线，进一步证明即可. （1）解：当时，图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． （3）略 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 2．（2024·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答． 解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是6， 故选：C． 4．（2024·浙江宁波·三模）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，当时，，求出，即可得到答案. 解：， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，如图， ∴当时，， 解得， ∴， 故选：D 5．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，由已知函数解析式可得二次函数图象的对称轴是直线，由已知把点代入函数解析式可得，从而二次函数可以为，再由已知可知:此函数图象开口向上，则时，时，即可得出a的取值范围． 解：∵二次函数的图象经过点， ∴，对称轴为直线， ∴它的图象也经过点，， ∵函数图象与x轴的左交点为，， ∴此函数图象开口向上， ∴时，即， 解得； 当时，即， 解得， ∴a的取值范围：， 故选C． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 5 6 … … 14 14 23 … 则下列结论中，正确的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．有最小值 D．若点都在抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质逐项判断即可解答． 解：由题意可得： ，解得：， ∴二次函数为． ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为在第四象限，最小值为，故A、B、 C错误，不符合题意； 又∵抛物线开口向上，对称轴是直线，， ∴， ∴，故D正确，符合题意． 故选：D． 9．（2025·广东惠州·二模）在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质求解即可． 解：在函数中， 对称轴公式为． ∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小． ∵点关于对称轴的对称点为． ∴三点，，横坐标满足， 根据函数在对称轴右侧随的增大而减小，可得， 即 ． 故选：D． 10．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A．当时，随增大而增大 B．抛物线的开口向下 C． D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围． 解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∴，故选项C错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的对称轴是直线_______，最值为_______． 【答案】 1 2 【分析】化为顶点式求解即可． 解：， ∴对称轴是直线，最值为2， 故答案为1，2． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，正确化成顶点式是解题的关键． 12．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，说明对称轴在直线左侧或重合，即． 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025九年级·浙江·学业考试）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数中，可知：抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大，抛物线的对称轴是，因为当时，随的增大而增大，可得：，整理可得：，所以可得：，根据二次函数的性质可知的最大值为． 解：二次函数中， 抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大， 抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而增大， ， 整理得：， ， ， 当时，有最大值，最大值是． 故答案为：. 15．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 17．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，当y＜时，x的取值范围是__________． x … … y … 0 1 0 … 【答案】x＜或x＞0． 【分析】观察表格求出抛物线的对称轴为，确定开口方向向下，利用二次函数的对称性判断出x=0时，，然后再写出y＜时，x的取值范围即可． 解：由表可知，二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 且x=0时，， 所以，y＜时，x的取值范围为x＜或x＞0． 故答案为：x＜或x＞0． 【点拨】本题考查的是二次函数的性质，列表法表示二次函数，掌握从表格中获取信息是解题的关键． 18．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（上海市浦东新区几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 解： ， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）直线；（3）当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键． （1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值； （2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴； （3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案． （1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴a的值为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （3）解：∵，对称轴为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建福州·期中）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 （1）求该二次函数的解析式； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查二次函数的解析式求解与对称性，涉及的知识点有二次函数的顶点式、抛物线的对称性．解题中用到的思想是对称思想（利用抛物线的轴对称性简化计算）；方法技巧是通过表格中对称的函数值确定对称轴，优先选择顶点式求解析式，再利用对称性求参数．解题关键是准确识别抛物线的对称轴，避免解析式设为一般式增加计算量．易错点是忽略函数值相等的点的对称性，或在解方程时计算失误． （1）通过表格中对称的函数值，确定抛物线的对称轴和顶点，设顶点式并代入已知点求出解析式； （2）利用二次函数中，函数值相等的两点关于对称轴对称的性质，结合对称轴建立方程求解t． 解：（1）（1）由表可得：二次函数的顶点坐标为：，经过点 设该二次函数的解析式为： 当时， ， 解得：． 该二次函数的解析式为： （2）（2）关于直线对称 解得：． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象与x轴的交点是，． （1）这个二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若该二次函数图象上的最高点到x轴的距离为2．求该二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据对称点坐标求对称轴，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称点的坐标求函数对称轴即可； （2）根据题意得出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可． 解：（1）解：对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：根据题意得顶点坐标为， 假设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴． 23．（本小题满分10分）（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） （1）求二次函数的对称轴； （2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； （3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式求解即可； （2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式； （3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可． 解：（1）解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． （3）解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． （1）当时，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． （1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $