26.2.2 二次函数的图象和性质 （基础过关+进阶思维+中考链接）讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，以y=ax²+k（上下平移，顶点(0,k)）和y=a(x-h)²（左右平移，顶点(h,0)）为基础，递进至顶点式y=a(x-h)²+k，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标、平移规律、增减性、最值及顶点式求解析式等核心知识点，构建完整学习支架。 该资料亮点在于分层设计习题，基础题巩固平移、顶点坐标等概念，进阶题综合平移与最值应用，中考题链接真题。通过多样题型培养学生数学思维中的推理能力（如判断增减性）和数学语言中的模型意识（用顶点式求解析式），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 本节知识点总结 1. 二次函数 y = ax² + k 的图象和性质： ① 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下； ② 对称轴：y轴（直线x = 0）； ③ 顶点坐标：(0, k)； ④ 平移规律：y = ax² 向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位得到 y = ax² + k。 2. 二次函数 y = a(x-h)² 的图象和性质： ① 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下； ② 对称轴：直线 x = h； ③ 顶点坐标：(h, 0)； ④ 平移规律：y = ax² 向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位得到 y = a(x-h)²。 3. 二次函数 y = a(x-h)² + k 的图象和性质（顶点式）： ① 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下； ② 对称轴：直线 x = h； ③ 顶点坐标：(h, k)； ④ 平移规律：y = ax² 先左右平移|h|个单位，再上下平移|k|个单位； ⑤ 增减性： 当 a > 0 时：x < h 时，y随x的增大而减小；x > h 时，y随x的增大而增大； 当 a < 0 时：x < h 时，y随x的增大而增大；x > h 时，y随x的增大而减小； ⑥ 最值： 当 a > 0 时，x = h 时，y取最小值 k； 当 a < 0 时，x = h 时，y取最大值 k。 4. 顶点式的应用——已知顶点和一点求解析式： 已知抛物线的顶点为 (h, k)，设解析式为 y = a(x-h)² + k， 再将已知点的坐标代入，求出 a 的值，即可得到解析式。 本节知识点总结 📅 一、基础过关题 题型01 y=ax²+k的图象与性质 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）抛物线 y = 2x² + 3 的顶点坐标是（　　） A．(2, 3) B．(0, 3) C．(0, -3) D．(-2, 3) 【答案】B 【分析】y=ax²+k的顶点坐标为(0,k)。 【详解】解：抛物线 y = ax² + k 的顶点坐标为 (0, k)。 在 y = 2x² + 3 中，a = 2，k = 3， ∴ 顶点坐标为 (0, 3)。 故选：B。 2．（2024秋·上海闵行·月考）抛物线 y = -x² - 2 的开口方向和对称轴分别是（　　） A．开口向上，y轴 B．开口向下，y轴 C．开口向上，直线x=-2 D．开口向下，直线x=-2 【答案】B 【分析】a<0开口向下，y=ax²+k的对称轴是y轴。 【详解】解：在 y = -x² - 2 中， ∵ a = -1 < 0，∴ 抛物线开口向下。 ∵ 抛物线的形式为 y = ax² + k， ∴ 对称轴为 y 轴（直线 x = 0）。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）将抛物线 y = 3x² 向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = 3x² + 2 B．y = 3x² - 2 C．y = 3(x + 2)² D．y = 3(x - 2)² 【答案】A 【分析】上下平移在k值上加减，"上加下减"。 【详解】解：抛物线平移规律：上下平移改变k值，上加下减。 将 y = 3x² 向上平移2个单位， 得到 y = 3x² + 2。 故选：A。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）对于抛物线 y = -½x² + 4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点坐标(0, 4) B．开口向上，顶点坐标(0, -4) C．开口向下，顶点坐标(0, 4) D．开口向下，顶点坐标(0, -4) 【答案】C 【分析】a<0开口向下，顶点(0,k)。 【详解】解：在 y = -½x² + 4 中， ∵ a = -½ < 0，∴ 抛物线开口向下。 ∵ k = 4，∴ 顶点坐标为 (0, 4)。 故选：C。 题型02 y=a(x-h)²的图象与性质 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·月考）抛物线 y = (x - 3)² 的对称轴是（　　） A．直线x = -3 B．直线x = 3 C．y轴 D．直线x = 1 【答案】B 【分析】y=a(x-h)²的对称轴是直线x=h。 【详解】解：抛物线 y = a(x-h)² 的对称轴是直线 x = h。 在 y = (x - 3)² 中，h = 3， ∴ 对称轴是直线 x = 3。 故选：B。 6．（2024秋·山东济南·期中）抛物线 y = -2(x + 1)² 的顶点坐标是（　　） A．(1, 0) B．(-1, 0) C．(0, 1) D．(0, -1) 【答案】B 【分析】y=a(x-h)²的顶点坐标为(h,0)，注意h的符号。 【详解】解：抛物线 y = a(x-h)² 的顶点坐标为 (h, 0)。 y = -2(x + 1)² = -2(x - (-1))²， ∴ h = -1，顶点坐标为 (-1, 0)。 故选：B。 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）将抛物线 y = x² 向右平移3个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = x² + 3 B．y = x² - 3 C．y = (x + 3)² D．y = (x - 3)² 【答案】D 【分析】左右平移在h值上加减，"左加右减"。 【详解】解：抛物线平移规律：左右平移改变h值，左加右减。 将 y = x² 向右平移3个单位， 得到 y = (x - 3)²。 故选：D。 8．（2024秋·河南郑州·月考）对于抛物线 y = 3(x - 2)²，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x = 2 C．顶点坐标是(2, 0) D．当x > 2时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】a>0开口向上，对称轴x=h，顶点(h,0)，x>h时y随x增大而增大。 【详解】解：在 y = 3(x - 2)² 中， ∵ a = 3 > 0，∴ 开口向上，A正确； 对称轴是直线 x = 2，B正确； 顶点坐标是 (2, 0)，C正确； ∵ a > 0，对称轴 x = 2， ∴ 当 x > 2 时，y随x的增大而增大，不是减小，D错误。 故选：D。 题型03 y=a(x-h)²+k的图象与性质 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期中）抛物线 y = 2(x - 1)² + 3 的顶点坐标是（　　） A．(1, 3) B．(-1, 3) C．(1, -3) D．(-1, -3) 【答案】A 【分析】顶点式y=a(x-h)²+k的顶点坐标为(h,k)。 【详解】解：抛物线 y = a(x-h)² + k 的顶点坐标为 (h, k)。 在 y = 2(x - 1)² + 3 中，h = 1，k = 3， ∴ 顶点坐标为 (1, 3)。 故选：A。 10．（2024秋·陕西西安·月考）抛物线 y = -(x + 2)² - 1 的对称轴是（　　） A．直线x = 2 B．直线x = -2 C．直线x = 1 D．直线x = -1 【答案】B 【分析】顶点式的对称轴是直线x=h。 【详解】解：抛物线 y = a(x-h)² + k 的对称轴是直线 x = h。 y = -(x + 2)² - 1 = -(x - (-2))² - 1， ∴ h = -2，对称轴是直线 x = -2。 故选：B。 11．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·单元测）关于抛物线 y = -3(x - 2)² + 5，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点(2, 5) B．开口向下，顶点(2, 5) C．开口向上，顶点(-2, 5) D．开口向下，顶点(-2, 5) 【答案】B 【分析】a<0开口向下，顶点(h,k)。 【详解】解：在 y = -3(x - 2)² + 5 中， ∵ a = -3 < 0，∴ 抛物线开口向下。 ∵ h = 2，k = 5，∴ 顶点坐标为 (2, 5)。 故选：B。 12．（2024秋·重庆渝中·期中）已知二次函数 y = a(x - h)² + k 的图象如图所示，则a、h、k的符号分别是（　　） A．a > 0，h > 0，k > 0 B．a > 0，h < 0，k > 0 C．a < 0，h > 0，k < 0 D．a < 0，h < 0，k < 0 【答案】A 【分析】开口方向定a的符号，顶点位置定h、k的符号。 【详解】解：∵ 抛物线开口向上，∴ a > 0。 ∵ 顶点在第一象限，横坐标为正，纵坐标为正， ∴ h > 0，k > 0。 故选：A。 题型04 抛物线的平移规律 13．（2024-2025九年级上·天津南开·月考）将抛物线 y = x² 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = (x + 2)² + 3 B．y = (x - 2)² + 3 C．y = (x + 2)² - 3 D．y = (x - 2)² - 3 【答案】B 【分析】左加右减，上加下减。 【详解】解：抛物线平移规律：左加右减（针对x），上加下减（针对整体）。 将 y = x² 向右平移2个单位，得到 y = (x - 2)²； 再向上平移3个单位，得到 y = (x - 2)² + 3。 故选：B。 14．（2024秋·四川成都·期中）将抛物线 y = 2(x - 1)² + 3 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = 2(x + 2)² + 1 B．y = 2(x - 4)² + 1 C．y = 2(x + 2)² + 5 D．y = 2(x - 4)² + 5 【答案】A 【分析】向左平移h减小，向下平移k减小。 【详解】解：原抛物线 y = 2(x - 1)² + 3 的顶点为 (1, 3)。 向左平移3个单位：横坐标 1 - 3 = -2； 向下平移2个单位：纵坐标 3 - 2 = 1。 ∴ 新顶点为 (-2, 1)。 ∴ 新抛物线解析式为 y = 2(x + 2)² + 1。 故选：A。 15．（2024-2025九年级上·安徽合肥·单元测）将抛物线 y = -x² 平移后得到抛物线 y = -(x + 2)² - 3，平移方法是（　　） A．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】B 【分析】比较顶点坐标变化。 【详解】解：y = -x² 的顶点为 (0, 0)， y = -(x + 2)² - 3 的顶点为 (-2, -3)。 顶点从 (0, 0) 到 (-2, -3)： 横坐标从0到-2，向左平移了2个单位； 纵坐标从0到-3，向下平移了3个单位。 故选：B。 题型05 二次函数的增减性判断 16．（2024秋·福建福州·月考）对于二次函数 y = (x - 2)² + 1，下列说法正确的是（　　） A．当x > 2时，y随x的增大而减小 B．当x > 2时，y随x的增大而增大 C．当x < 2时，y随x的增大而增大 D．当x < -2时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】a>0开口向上，对称轴x=h，x>h时y随x增大而增大。 【详解】解：在 y = (x - 2)² + 1 中， ∵ a = 1 > 0，∴ 抛物线开口向上。 对称轴为直线 x = 2。 ∴ 当 x < 2 时，y随x的增大而减小； 当 x > 2 时，y随x的增大而增大。 故选：B。 17．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知二次函数 y = -2(x + 1)² + 3，则（　　） A．当x > -1时，y随x的增大而增大 B．当x > -1时，y随x的增大而减小 C．当x < 1时，y随x的增大而增大 D．当x < 1时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】a<0开口向下，对称轴x=-1，x>-1时y随x增大而减小。 【详解】解：在 y = -2(x + 1)² + 3 中， ∵ a = -2 < 0，∴ 抛物线开口向下。 对称轴为直线 x = -1。 ∴ 当 x < -1 时，y随x的增大而增大； 当 x > -1 时，y随x的增大而减小。 故选：B。 18．（2024秋·山东青岛·期末）已知点A(-3, y₁)、B(1, y₂)、C(2, y₃)都在抛物线 y = (x - 1)² + 2 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ > y₂ > y₃ B．y₁ > y₃ > y₂ C．y₂ > y₁ > y₃ D．y₂ > y₃ > y₁ 【答案】B 【分析】开口向上，离对称轴越远函数值越大。 【详解】解：抛物线 y = (x - 1)² + 2 的对称轴为直线 x = 1，开口向上。 开口向上时，离对称轴越远，函数值越大。 点A(-3, y₁)到对称轴的距离：|-3 - 1| = 4； 点B(1, y₂)到对称轴的距离：|1 - 1| = 0； 点C(2, y₃)到对称轴的距离：|2 - 1| = 1。 ∵ 4 > 1 > 0，∴ y₁ > y₃ > y₂。 故选：B。 题型06 二次函数的最值问题 19．（2024-2025九年级上·江苏南京·月考）二次函数 y = 3(x - 2)² + 5 的最小值是（　　） A．2 B．-2 C．5 D．-5 【答案】C 【分析】a>0开口向上，顶点处取最小值k。 【详解】解：在 y = 3(x - 2)² + 5 中， ∵ a = 3 > 0，∴ 抛物线开口向上，有最小值。 当 x = 2 时，y取最小值，最小值为 k = 5。 故选：C。 20．（2024秋·浙江宁波·期中）二次函数 y = -(x + 1)² + 4 的最大值是（　　） A．-1 B．1 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】a<0开口向下，顶点处取最大值k。 【详解】解：在 y = -(x + 1)² + 4 中， ∵ a = -1 < 0，∴ 抛物线开口向下，有最大值。 当 x = -1 时，y取最大值，最大值为 k = 4。 故选：D。 21．（2024-2025九年级上·广东深圳·单元测）已知二次函数 y = a(x - 1)² + 3 有最小值3，则a的取值范围是（　　） A．a > 0 B．a < 0 C．a ≥ 0 D．a ≤ 0 【答案】A 【分析】有最小值说明开口向上，a>0。 【详解】解：∵ 二次函数 y = a(x - 1)² + 3 有最小值3， ∴ 抛物线开口向上， ∴ a > 0。 故选：A。 题型07 顶点式求解析式（已知顶点和一点） 22．（2024秋·河南郑州·期中）已知抛物线的顶点坐标为(2, 3)，且经过点(1, 5)，求这条抛物线的解析式。 【答案】y = 2(x - 2)² + 3 【分析】已知顶点设顶点式，代入已知点求a。 【详解】解：∵ 抛物线的顶点坐标为 (2, 3)， ∴ 设抛物线的解析式为 y = a(x - 2)² + 3。 ∵ 抛物线经过点 (1, 5)， ∴ 将 x = 1，y = 5 代入解析式： 5 = a(1 - 2)² + 3 5 = a + 3 a = 2 ∴ 抛物线的解析式为 y = 2(x - 2)² + 3。 23．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线的顶点为(-1, -2)，且过点(0, 1)，求抛物线的解析式。 【答案】y = 3(x + 1)² - 2 【分析】已知顶点设顶点式，代入点(0,1)求a。 【详解】解：∵ 抛物线的顶点为 (-1, -2)， ∴ 设抛物线的解析式为 y = a(x + 1)² - 2。 ∵ 抛物线经过点 (0, 1)， ∴ 将 x = 0，y = 1 代入解析式： 1 = a(0 + 1)² - 2 1 = a - 2 a = 3 ∴ 抛物线的解析式为 y = 3(x + 1)² - 2。 24．（2024秋·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象的顶点是(3, -1)，且经过点(4, 1)，求这个二次函数的解析式。 【答案】y = 2(x - 3)² - 1 【分析】已知顶点设顶点式，代入点(4,1)求a。 【详解】解：∵ 二次函数图象的顶点是 (3, -1)， ∴ 设二次函数的解析式为 y = a(x - 3)² - 1。 ∵ 函数图象经过点 (4, 1)， ∴ 将 x = 4，y = 1 代入解析式： 1 = a(4 - 3)² - 1 1 = a - 1 a = 2 ∴ 二次函数的解析式为 y = 2(x - 3)² - 1。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京海淀·期末）将抛物线 y = 2x² 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y = 2(x + 1)² + 3 B．y = 2(x - 1)² + 3 C．y = 2(x + 1)² - 3 D．y = 2(x - 1)² - 3 【答案】C 【分析】左加右减，上加下减。 【详解】解：抛物线平移规律：左加右减，上加下减。 y = 2x² 向左平移1个单位：y = 2(x + 1)²； 再向下平移3个单位：y = 2(x + 1)² - 3。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）已知二次函数 y = a(x - 1)² + b 有最小值 -1，则 a 与 b 之间的大小关系是（　　） A．a < b B．a = b C．a > b D．不能确定 【答案】C 【分析】有最小值说明a>0，最小值为b=-1。 【详解】解：∵ 二次函数 y = a(x - 1)² + b 有最小值 -1， ∴ 抛物线开口向上，即 a > 0， 且最小值为 b = -1。 ∴ a > 0 > -1 = b，即 a > b。 故选：C。 3．（2024秋·广州天河·月考）在平面直角坐标系中，将抛物线 y = x² - 2x + 3 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y = (x + 1)² + 3 B．y = (x - 3)² + 3 C．y = (x + 1)² + 5 D．y = (x - 3)² + 5 【答案】A 【分析】先配方成顶点式，再平移。 【详解】解：先将 y = x² - 2x + 3 配方： y = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2。 顶点为 (1, 2)。 向左平移2个单位：横坐标 1 - 2 = -1； 向上平移1个单位：纵坐标 2 + 1 = 3。 新顶点为 (-1, 3)。 ∴ 新抛物线解析式为 y = (x + 1)² + 3。 故选：A。 4．（2024-2025九年级上·苏州吴中·期末）已知二次函数 y = -2(x - 3)² + 1，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x = -3 B．顶点坐标是(3, 1) C．当x > 3时，y随x的增大而增大 D．开口向上 【答案】B 【分析】顶点式的性质综合判断。 【详解】解：在 y = -2(x - 3)² + 1 中， a = -2 < 0，开口向下，D错误； 对称轴是直线 x = 3，A错误； 顶点坐标是 (3, 1)，B正确； ∵ a < 0，对称轴 x = 3， ∴ 当 x > 3 时，y随x的增大而减小，C错误。 故选：B。 5．（2024秋·杭州西湖·期中）若点A(-4, y₁)、B(-2, y₂)、C(1, y₃)都在抛物线 y = ax² + 4ax + c (a < 0) 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系为（　　） A．y₁ > y₂ > y₃ B．y₂ > y₁ > y₃ C．y₃ > y₁ > y₂ D．y₃ > y₂ > y₁ 【答案】B 【分析】先求对称轴，再比较各点到对称轴的距离。 【详解】解：抛物线 y = ax² + 4ax + c 的对称轴为： x = -b/(2a) = -4a/(2a) = -2。 ∵ a < 0，∴ 抛物线开口向下。 开口向下时，离对称轴越近，函数值越大。 点A(-4, y₁)到对称轴的距离：|-4 - (-2)| = 2； 点B(-2, y₂)到对称轴的距离：|-2 - (-2)| = 0； 点C(1, y₃)到对称轴的距离：|1 - (-2)| = 3。 ∵ 0 < 2 < 3，∴ y₂ > y₁ > y₃。 故选：B。 6．（2024-2025九年级上·济南历下·月考）已知二次函数 y = a(x + h)² + k (a ≠ 0) 的图象经过原点，当x = 1时，函数取得最大值4，则此二次函数的解析式为（　　） A．y = -(x - 1)² + 4 B．y = -(x + 1)² + 4 C．y = -4(x + 1)² + 4 D．y = -4(x - 1)² + 4 【答案】D 【分析】最大值说明顶点为(-h, k)=(-1, 4)，再代入原点求a。 【详解】解：∵ 当 x = 1 时，函数取得最大值4， ∴ 顶点坐标为 (1, 4)，且 a < 0。 ∴ 解析式为 y = a(x - 1)² + 4。 （注：题目中写的是y=a(x+h)²+k，顶点为(-h,k)，最大值在x=1处，所以-h=1，h=-1） ∵ 图象经过原点 (0, 0)， ∴ 0 = a(0 - 1)² + 4 0 = a + 4 a = -4 ∴ 解析式为 y = -4(x - 1)² + 4。 （验证：x=1时，y=4，正确；过原点：-4+4=0，正确） 故选：D。 （二）填空题 7．（2024秋·武汉江汉·期末）抛物线 y = -3(x - 2)² + 5 的开口方向是___向下_____，对称轴是____直线x = 2____，顶点坐标是___(2, 5)_____。 【答案】向下；直线x = 2；(2, 5) 【分析】顶点式的基本性质。 【详解】解：在 y = -3(x - 2)² + 5 中， ∵ a = -3 < 0，∴ 开口向下。 对称轴是直线 x = 2， 顶点坐标是 (2, 5)。 故答案为：向下；直线x = 2；(2, 5)。 8．（2024-2025九年级上·长沙雨花·期中）将抛物线 y = 2(x - 3)² + 2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为____y = 2x²____。 【答案】y = 2x² 【分析】平移后顶点回到原点。 【详解】解：原抛物线顶点为 (3, 2)， 向左平移3个单位：3 - 3 = 0； 向下平移2个单位：2 - 2 = 0。 新顶点为 (0, 0)， ∴ 新抛物线解析式为 y = 2x²。 故答案为：y = 2x²。 9．（2024秋·郑州金水·月考）已知二次函数 y = 2(x - 1)² + 3，当x____> 1____时，y随x的增大而增大；当x = ____1____时，y有最____小____值____3____。 【答案】> 1；1；小；3 【分析】开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大，顶点处取最小值。 【详解】解：在 y = 2(x - 1)² + 3 中， ∵ a = 2 > 0，∴ 开口向上。 对称轴为直线 x = 1。 ∴ 当 x > 1 时，y随x的增大而增大； 当 x = 1 时，y有最小值，最小值为 3。 故答案为：> 1；1；小；3。 10．（2024-2025九年级上·石家庄长安·期末）已知抛物线的顶点为(2, -3)，且与y轴交于点(0, 5)，则这条抛物线的解析式为___y = 2(x - 2)² - 3_____。 【答案】y = 2(x - 2)² - 3 【分析】设顶点式，代入(0,5)求a。 【详解】解：∵ 抛物线的顶点为 (2, -3)， ∴ 设抛物线的解析式为 y = a(x - 2)² - 3。 ∵ 抛物线与y轴交于点 (0, 5)， ∴ 将 x = 0，y = 5 代入： 5 = a(0 - 2)² - 3 5 = 4a - 3 4a = 8 a = 2 ∴ 抛物线的解析式为 y = 2(x - 2)² - 3。 故答案为：y = 2(x - 2)² - 3。 11．（2024秋·西安雁塔·期中）已知二次函数 y = a(x - h)² + k 的图象经过点(0, -1)，且当x = 2时，函数有最大值3，则 a = ___-1_____，h = ____2____，k = _____3___。 【答案】-1；2；3 【分析】最大值说明顶点为(h,k)=(2,3)，代入(0,-1)求a。 【详解】解：∵ 当 x = 2 时，函数有最大值3， ∴ 顶点坐标为 (2, 3)，即 h = 2，k = 3，且 a < 0。 ∴ 解析式为 y = a(x - 2)² + 3。 ∵ 图象经过点 (0, -1)， ∴ -1 = a(0 - 2)² + 3 -1 = 4a + 3 4a = -4 a = -1 故答案为：-1；2；3。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·沈阳和平·期末）已知二次函数 y = -2(x + 1)² + 8。 （1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求该抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）开口向下，对称轴x=-1，顶点(-1, 8)；（2）(1, 0)和(-3, 0)；（3）x > -1 【分析】（1）直接由顶点式得出；（2）令y=0解方程；（3）由开口方向和对称轴判断。 【详解】解：（1）在 y = -2(x + 1)² + 8 中， ∵ a = -2 < 0，∴ 抛物线开口向下。 对称轴为直线 x = -1， 顶点坐标为 (-1, 8)。 （2）令 y = 0，则： -2(x + 1)² + 8 = 0 -2(x + 1)² = -8 (x + 1)² = 4 x + 1 = ±2 x = -1 ± 2 x₁ = 1，x₂ = -3 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为 (1, 0) 和 (-3, 0)。 （3）∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线 x = -1， ∴ 当 x > -1 时，y随x的增大而减小。 13．（2024秋·重庆渝中·期中）已知抛物线的顶点为(1, -4)，且经过点(3, 0)。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标。 【答案】（1）y = (x - 1)² - 4；（2）(-1, 0) 【分析】（1）设顶点式代入求a；（2）利用对称性或解方程。 【详解】解：（1）∵ 抛物线的顶点为 (1, -4)， ∴ 设抛物线的解析式为 y = a(x - 1)² - 4。 ∵ 抛物线经过点 (3, 0)， ∴ 0 = a(3 - 1)² - 4 0 = 4a - 4 4a = 4 a = 1 ∴ 抛物线的解析式为 y = (x - 1)² - 4。 （2）方法一：利用对称性 ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1， 点 (3, 0) 关于对称轴的对称点为 (-1, 0)， ∴ 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 (-1, 0)。 方法二：解方程 令 y = 0，则 (x - 1)² - 4 = 0， (x - 1)² = 4， x - 1 = ±2， x₁ = 3，x₂ = -1。 ∴ 另一个交点坐标为 (-1, 0)。 14．（2024-2025九年级上·成都锦江·月考）如图，抛物线 y = a(x - h)² + k 经过点A(-1, 0)、B(3, 0)，且顶点的纵坐标为-4。 （1）求h和k的值； （2）求抛物线的解析式。 【答案】（1）h = 1，k = -4；（2）y = (x - 1)² - 4 【分析】（1）由对称性求对称轴即得h，顶点纵坐标即k；（2）代入一点求a。 【详解】解：（1）∵ 抛物线经过点 A(-1, 0)、B(3, 0)， ∴ A、B两点关于对称轴对称， 对称轴为 x = (-1 + 3)/2 = 1， ∴ h = 1。 ∵ 顶点的纵坐标为 -4，∴ k = -4。 （2）由（1）知抛物线的解析式为 y = a(x - 1)² - 4。 将点 A(-1, 0) 代入： 0 = a(-1 - 1)² - 4 0 = 4a - 4 a = 1 ∴ 抛物线的解析式为 y = (x - 1)² - 4。 15．（2024秋·天津和平·期末）已知二次函数 y = a(x - m)² - a(x - m)（a、m为常数，且a ≠ 0）。 （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为P，且与x轴交于A、B两点，当△ABP的面积为1时，求a的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）a = ±8 【分析】（1）令y=0，证明判别式>0；（2）求顶点坐标和AB长度，用面积公式列方程。 【详解】（1）证明：令 y = 0，则 a(x - m)² - a(x - m) = 0， a(x - m)(x - m - 1) = 0。 ∵ a ≠ 0， ∴ x - m = 0 或 x - m - 1 = 0， 解得 x₁ = m，x₂ = m + 1。 ∵ m ≠ m + 1， ∴ 不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点。 （2）解：由（1）知，A、B两点的坐标为 (m, 0) 和 (m + 1, 0)， ∴ AB = |(m + 1) - m| = 1。 将函数配方： y = a(x - m)² - a(x - m) = a[(x - m)² - (x - m)] = a[(x - m)² - (x - m) + - ] = a[(x - m - )² - ] = a(x - m - )² - ∴ 顶点P的坐标为 (m + , -)。 △ABP的面积 = × AB × |y_P| = × 1 × |-| = ∵ △ABP的面积为 1， ∴ = 1， |a| = 8， ∴ a = ±8。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）抛物线 y = 3(x - 1)² + 2 的顶点坐标是（　　） A．(1, 2) B．(-1, 2) C．(1, -2) D．(-1, -2) 【答案】A 【分析】顶点式y=a(x-h)²+k的顶点坐标为(h,k)。 【详解】解：抛物线 y = a(x-h)² + k 的顶点坐标为 (h, k)。 在 y = 3(x - 1)² + 2 中，h = 1，k = 2， ∴ 顶点坐标为 (1, 2)。 故选：A。 2．（2024·上海·中考）将抛物线 y = x² 向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A．y = (x + 2)² + 3 B．y = (x - 2)² + 3 C．y = (x + 2)² - 3 D．y = (x - 2)² - 3 【答案】B 【分析】左加右减，上加下减。 【详解】解：抛物线平移规律：左加右减，上加下减。 y = x² 向右平移2个单位：y = (x - 2)²； 再向上平移3个单位：y = (x - 2)² + 3。 故选：B。 3．（2024·广东·中考）对于二次函数 y = -(x - 1)² + 2 的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x = -1 C．顶点坐标是(1, 2) D．当x > 1时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】顶点式的性质综合判断。 【详解】解：在 y = -(x - 1)² + 2 中， ∵ a = -1 < 0，∴ 开口向下，A错误； 对称轴是直线 x = 1，B错误； 顶点坐标是 (1, 2)，C正确； ∵ a < 0，对称轴 x = 1， ∴ 当 x > 1 时，y随x的增大而减小，D错误。 故选：C。 4．（2024·江苏苏州·中考）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点(0, 3)，且顶点坐标为(1, 4)，则这个二次函数的解析式为（　　） A．y = -x² + 2x + 3 B．y = x² + 2x + 3 C．y = -x² - 2x + 3 D．y = x² - 2x + 3 【答案】A 【分析】设顶点式，代入(0,3)求a，再化为一般式。 【详解】解：∵ 顶点坐标为 (1, 4)， ∴ 设二次函数的解析式为 y = a(x - 1)² + 4。 ∵ 图象经过点 (0, 3)， ∴ 3 = a(0 - 1)² + 4 3 = a + 4 a = -1 ∴ y = -(x - 1)² + 4 = -(x² - 2x + 1) + 4 = -x² + 2x + 3。 故选：A。 5．（2024·浙江杭州·中考）设二次函数 y = a(x - m)(x - m - k)（a > 0，m、k是实数），则（　　） A．当k = 2时，函数的最小值为 -a B．当k = 2时，函数的最小值为 -2a C．当k = 4时，函数的最小值为 -4a D．当k = 4时，函数的最小值为 -9a 【答案】C 【分析】先求对称轴，再求顶点纵坐标。 【详解】解：二次函数 y = a(x - m)(x - m - k) 与x轴交于 (m, 0) 和 (m + k, 0)， 对称轴为 x = (m + m + k)/2 = m + k/2。 当 x = m + 时，函数取得最小值： y = a(m + - m)(m + - m - k) = - 当 k = 2 时，最小值 = -a × = -a，A、B都不对； 当 k = 4 时，最小值 = -a × = -4a，C正确。 故选：C。 6．（2024·山东济南·中考）已知抛物线 y = x² + bx + c 经过点(1, 0)和点(3, 0)，则该抛物线的顶点坐标为____(2, -1)____。 【答案】(2, -1) 【分析】先由两点求对称轴，再代入求顶点纵坐标。 【详解】解：∵ 抛物线经过点 (1, 0) 和 (3, 0)， ∴ 对称轴为 x = (1 + 3)/2 = 2。 即 -b/2 = 2，∴ b = -4。 将 (1, 0) 代入 y = x² - 4x + c： 0 = 1 - 4 + c，∴ c = 3。 ∴ 抛物线解析式为 y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1。 ∴ 顶点坐标为 (2, -1)。 故答案为：(2, -1)。 7．（2024·四川成都·中考）在平面直角坐标系中，将抛物线 y = x² - 2x + 3 先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为__y = (x + 2)² + 4______。 【答案】y = (x + 2)² + 4 【分析】先配方，再平移。 【详解】解：y = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2， 顶点为 (1, 2)。 向上平移2个单位：纵坐标 2 + 2 = 4； 向左平移3个单位：横坐标 1 - 3 = -2。 新顶点为 (-2, 4)。 ∴ 平移后抛物线的解析式为 y = (x + 2)² + 4。 故答案为：y = (x + 2)² + 4。 8．（2024·湖北武汉·中考）已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过A(-3, 0)、B(1, 0)、C(0, -3)三点。 （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。 【答案】（1）y = x² + 2x - 3；（2）顶点(-1, -4)，对称轴x = -1 【分析】（1）设交点式或一般式求解；（2）配方或用公式求顶点。 【详解】解：（1）∵ 抛物线经过 A(-3, 0)、B(1, 0)， ∴ 设抛物线的解析式为 y = a(x + 3)(x - 1)。 将 C(0, -3) 代入： -3 = a(0 + 3)(0 - 1) -3 = -3a a = 1 ∴ y = (x + 3)(x - 1) = x² + 2x - 3。 （2）y = x² + 2x - 3 = (x + 1)² - 4， ∴ 顶点坐标为 (-1, -4)， 对称轴为直线 x = -1。 9．（2024·陕西·中考）已知二次函数 y = -x² + 2x + 3。 （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出当 -2 ≤ x ≤ 2 时，y的取值范围。 【答案】（1）(1, 4)；（2）(-1, 0)和(3, 0)；（3）-5 ≤ y ≤ 4 【分析】（1）配方求顶点；（2）令y=0解方程；（3）结合图象求范围。 【详解】解：（1）y = -x² + 2x + 3 = -(x² - 2x) + 3 = -(x² - 2x + 1 - 1) + 3 = -(x - 1)² + 4 ∴ 顶点坐标为 (1, 4)。 （2）令 y = 0，则 -x² + 2x + 3 = 0， x² - 2x - 3 = 0， (x - 3)(x + 1) = 0， x₁ = 3，x₂ = -1。 ∴ 与x轴的交点坐标为 (-1, 0) 和 (3, 0)。 （3）∵ 抛物线开口向下，顶点为 (1, 4)， ∴ 当 x = 1 时，y取最大值 4。 当 x = -2 时，y = -(-2)² + 2×(-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5； 当 x = 2 时，y = -4 + 4 + 3 = 3。 ∵ -5 < 3， ∴ 当 -2 ≤ x ≤ 2 时，y的取值范围是 -5 ≤ y ≤ 4。 10．（2024·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = -x² + bx + c 经过点A(-1, 0)和点B(3, 0)，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点C的坐标； （3）点P是抛物线上一动点，且在第一象限，过点P作PD ⊥ x轴于点D，交BC于点E。当PE的长度最大时，求点P的坐标。 【答案】（1）y = -x² + 2x + 3；（2）(0, 3)；（3】P(3/2, 15/4) 【分析】（1）代入两点求解析式；（2）令x=0求C；（3）用函数表示PE长度，求最大值。 【详解】解：（1）∵ 抛物线经过 A(-1, 0) 和 B(3, 0)， ∴ 设抛物线的解析式为 y = -(x + 1)(x - 3)。 展开：y = -(x² - 2x - 3) = -x² + 2x + 3。 ∴ 抛物线的解析式为 y = -x² + 2x + 3。 （2）令 x = 0，则 y = 3， ∴ 点C的坐标为 (0, 3)。 （3）设直线BC的解析式为 y = kx + b。 将 B(3, 0)、C(0, 3) 代入： 0 = 3k + b，b = 3， ∴ k = -1，直线BC的解析式为 y = -x + 3。 设点P的横坐标为 t (0 < t < 3)， 则 P(t, -t² + 2t + 3)，E(t, -t + 3)。 PE = (-t² + 2t + 3) - (-t + 3) = -t² + 2t + 3 + t - 3 = -t² + 3t = -(t² - 3t) = -(t - )² + ∵ -1 < 0，∴ 当 t = 3/2 时，PE取得最大值。 此时 P点纵坐标 = -( )² + 2×( ) + 3 = - + 3 + 3 = 。 ∴ 点P的坐标为 (, )。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 本节知识点总结 1. 二次函数 y = ax² + k 的图象和性质： ① 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下； ② 对称轴：y轴（直线x = 0）； ③ 顶点坐标：(0, k)； ④ 平移规律：y = ax² 向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位得到 y = ax² + k。 2. 二次函数 y = a(x-h)² 的图象和性质： ① 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下； ② 对称轴：直线 x = h； ③ 顶点坐标：(h, 0)； ④ 平移规律：y = ax² 向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位得到 y = a(x-h)²。 3. 二次函数 y = a(x-h)² + k 的图象和性质（顶点式）： ① 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下； ② 对称轴：直线 x = h； ③ 顶点坐标：(h, k)； ④ 平移规律：y = ax² 先左右平移|h|个单位，再上下平移|k|个单位； ⑤ 增减性： 当 a > 0 时：x < h 时，y随x的增大而减小；x > h 时，y随x的增大而增大； 当 a < 0 时：x < h 时，y随x的增大而增大；x > h 时，y随x的增大而减小； ⑥ 最值： 当 a > 0 时，x = h 时，y取最小值 k； 当 a < 0 时，x = h 时，y取最大值 k。 4. 顶点式的应用——已知顶点和一点求解析式： 已知抛物线的顶点为 (h, k)，设解析式为 y = a(x-h)² + k， 再将已知点的坐标代入，求出 a 的值，即可得到解析式。 本节知识点总结 📅 一、基础过关题 题型01 y=ax²+k的图象与性质 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）抛物线 y = 2x² + 3 的顶点坐标是（　　） A．(2, 3) B．(0, 3) C．(0, -3) D．(-2, 3) 2．（2024秋·上海闵行·月考）抛物线 y = -x² - 2 的开口方向和对称轴分别是（　　） A．开口向上，y轴 B．开口向下，y轴 C．开口向上，直线x=-2 D．开口向下，直线x=-2 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）将抛物线 y = 3x² 向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = 3x² + 2 B．y = 3x² - 2 C．y = 3(x + 2)² D．y = 3(x - 2)² 4．（2024秋·江苏苏州·期中）对于抛物线 y = -½x² + 4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点坐标(0, 4) B．开口向上，顶点坐标(0, -4) C．开口向下，顶点坐标(0, 4) D．开口向下，顶点坐标(0, -4) 题型02 y=a(x-h)²的图象与性质 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·月考）抛物线 y = (x - 3)² 的对称轴是（　　） A．直线x = -3 B．直线x = 3 C．y轴 D．直线x = 1 6．（2024秋·山东济南·期中）抛物线 y = -2(x + 1)² 的顶点坐标是（　　） A．(1, 0) B．(-1, 0) C．(0, 1) D．(0, -1) 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）将抛物线 y = x² 向右平移3个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = x² + 3 B．y = x² - 3 C．y = (x + 3)² D．y = (x - 3)² 8．（2024秋·河南郑州·月考）对于抛物线 y = 3(x - 2)²，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x = 2 C．顶点坐标是(2, 0) D．当x > 2时，y随x的增大而减小 题型03 y=a(x-h)²+k的图象与性质 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期中）抛物线 y = 2(x - 1)² + 3 的顶点坐标是（　　） A．(1, 3) B．(-1, 3) C．(1, -3) D．(-1, -3) 10．（2024秋·陕西西安·月考）抛物线 y = -(x + 2)² - 1 的对称轴是（　　） A．直线x = 2 B．直线x = -2 C．直线x = 1 D．直线x = -1 11．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·单元测）关于抛物线 y = -3(x - 2)² + 5，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点(2, 5) B．开口向下，顶点(2, 5) C．开口向上，顶点(-2, 5) D．开口向下，顶点(-2, 5) 12．（2024秋·重庆渝中·期中）已知二次函数 y = a(x - h)² + k 的图象如图所示，则a、h、k的符号分别是（　　） A．a > 0，h > 0，k > 0 B．a > 0，h < 0，k > 0 C．a < 0，h > 0，k < 0 D．a < 0，h < 0，k < 0 题型04 抛物线的平移规律 13．（2024-2025九年级上·天津南开·月考）将抛物线 y = x² 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = (x + 2)² + 3 B．y = (x - 2)² + 3 C．y = (x + 2)² - 3 D．y = (x - 2)² - 3 14．（2024秋·四川成都·期中）将抛物线 y = 2(x - 1)² + 3 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A．y = 2(x + 2)² + 1 B．y = 2(x - 4)² + 1 C．y = 2(x + 2)² + 5 D．y = 2(x - 4)² + 5 15．（2024-2025九年级上·安徽合肥·单元测）将抛物线 y = -x² 平移后得到抛物线 y = -(x + 2)² - 3，平移方法是（　　） A．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 题型05 二次函数的增减性判断 16．（2024秋·福建福州·月考）对于二次函数 y = (x - 2)² + 1，下列说法正确的是（　　） A．当x > 2时，y随x的增大而减小 B．当x > 2时，y随x的增大而增大 C．当x < 2时，y随x的增大而增大 D．当x < -2时，y随x的增大而减小 17．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知二次函数 y = -2(x + 1)² + 3，则（　　） A．当x > -1时，y随x的增大而增大 B．当x > -1时，y随x的增大而减小 C．当x < 1时，y随x的增大而增大 D．当x < 1时，y随x的增大而减小 18．（2024秋·山东青岛·期末）已知点A(-3, y₁)、B(1, y₂)、C(2, y₃)都在抛物线 y = (x - 1)² + 2 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ > y₂ > y₃ B．y₁ > y₃ > y₂ C．y₂ > y₁ > y₃ D．y₂ > y₃ > y₁ 题型06 二次函数的最值问题 19．（2024-2025九年级上·江苏南京·月考）二次函数 y = 3(x - 2)² + 5 的最小值是（　　） A．2 B．-2 C．5 D．-5 20．（2024秋·浙江宁波·期中）二次函数 y = -(x + 1)² + 4 的最大值是（　　） A．-1 B．1 C．-4 D．4 21．（2024-2025九年级上·广东深圳·单元测）已知二次函数 y = a(x - 1)² + 3 有最小值3，则a的取值范围是（　　） A．a > 0 B．a < 0 C．a ≥ 0 D．a ≤ 0 题型07 顶点式求解析式（已知顶点和一点） 22．（2024秋·河南郑州·期中）已知抛物线的顶点坐标为(2, 3)，且经过点(1, 5)，求这条抛物线的解析式。 23．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线的顶点为(-1, -2)，且过点(0, 1)，求抛物线的解析式。 24．（2024秋·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象的顶点是(3, -1)，且经过点(4, 1)，求这个二次函数的解析式。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京海淀·期末）将抛物线 y = 2x² 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y = 2(x + 1)² + 3 B．y = 2(x - 1)² + 3 C．y = 2(x + 1)² - 3 D．y = 2(x - 1)² - 3 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）已知二次函数 y = a(x - 1)² + b 有最小值 -1，则 a 与 b 之间的大小关系是（　　） A．a < b B．a = b C．a > b D．不能确定 3．（2024秋·广州天河·月考）在平面直角坐标系中，将抛物线 y = x² - 2x + 3 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y = (x + 1)² + 3 B．y = (x - 3)² + 3 C．y = (x + 1)² + 5 D．y = (x - 3)² + 5 4．（2024-2025九年级上·苏州吴中·期末）已知二次函数 y = -2(x - 3)² + 1，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x = -3 B．顶点坐标是(3, 1) C．当x > 3时，y随x的增大而增大 D．开口向上 5．（2024秋·杭州西湖·期中）若点A(-4, y₁)、B(-2, y₂)、C(1, y₃)都在抛物线 y = ax² + 4ax + c (a < 0) 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系为（　　） A．y₁ > y₂ > y₃ B．y₂ > y₁ > y₃ C．y₃ > y₁ > y₂ D．y₃ > y₂ > y₁ 6．（2024-2025九年级上·济南历下·月考）已知二次函数 y = a(x + h)² + k (a ≠ 0) 的图象经过原点，当x = 1时，函数取得最大值4，则此二次函数的解析式为（　　） A．y = -(x - 1)² + 4 B．y = -(x + 1)² + 4 C．y = -4(x + 1)² + 4 D．y = -4(x - 1)² + 4 （二）填空题 7．（2024秋·武汉江汉·期末）抛物线 y = -3(x - 2)² + 5 的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________。 8．（2024-2025九年级上·长沙雨花·期中）将抛物线 y = 2(x - 3)² + 2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为________。 9．（2024秋·郑州金水·月考）已知二次函数 y = 2(x - 1)² + 3，当x________时，y随x的增大而增大；当x = ________时，y有最________值________。 10．（2024-2025九年级上·石家庄长安·期末）已知抛物线的顶点为(2, -3)，且与y轴交于点(0, 5)，则这条抛物线的解析式为________。 11．（2024秋·西安雁塔·期中）已知二次函数 y = a(x - h)² + k 的图象经过点(0, -1)，且当x = 2时，函数有最大值3，则 a = ________，h = ________，k = ________。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·沈阳和平·期末）已知二次函数 y = -2(x + 1)² + 8。 （1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求该抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 13．（2024秋·重庆渝中·期中）已知抛物线的顶点为(1, -4)，且经过点(3, 0)。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标。 14．（2024-2025九年级上·成都锦江·月考）如图，抛物线 y = a(x - h)² + k 经过点A(-1, 0)、B(3, 0)，且顶点的纵坐标为-4。 （1）求h和k的值； （2）求抛物线的解析式。 15．（2024秋·天津和平·期末）已知二次函数 y = a(x - m)² - a(x - m)（a、m为常数，且a ≠ 0）。 （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为P，且与x轴交于A、B两点，当△ABP的面积为1时，求a的值。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）抛物线 y = 3(x - 1)² + 2 的顶点坐标是（　　） A．(1, 2) B．(-1, 2) C．(1, -2) D．(-1, -2) 2．（2024·上海·中考）将抛物线 y = x² 向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A．y = (x + 2)² + 3 B．y = (x - 2)² + 3 C．y = (x + 2)² - 3 D．y = (x - 2)² - 3 3．（2024·广东·中考）对于二次函数 y = -(x - 1)² + 2 的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x = -1 C．顶点坐标是(1, 2) D．当x > 1时，y随x的增大而增大 4．（2024·江苏苏州·中考）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点(0, 3)，且顶点坐标为(1, 4)，则这个二次函数的解析式为（　　） A．y = -x² + 2x + 3 B．y = x² + 2x + 3 C．y = -x² - 2x + 3 D．y = x² - 2x + 3 5．（2024·浙江杭州·中考）设二次函数 y = a(x - m)(x - m - k)（a > 0，m、k是实数），则（　　） A．当k = 2时，函数的最小值为 -a B．当k = 2时，函数的最小值为 -2a C．当k = 4时，函数的最小值为 -4a D．当k = 4时，函数的最小值为 -9a 6．（2024·山东济南·中考）已知抛物线 y = x² + bx + c 经过点(1, 0)和点(3, 0)，则该抛物线的顶点坐标为________。 7．（2024·四川成都·中考）在平面直角坐标系中，将抛物线 y = x² - 2x + 3 先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为_______。 8．（2024·湖北武汉·中考）已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过A(-3, 0)、B(1, 0)、C(0, -3)三点。 （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。 9．（2024·陕西·中考）已知二次函数 y = -x² + 2x + 3。 （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出当 -2 ≤ x ≤ 2 时，y的取值范围。 10．（2024·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = -x² + bx + c 经过点A(-1, 0)和点B(3, 0)，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点C的坐标； （3）点P是抛物线上一动点，且在第一象限，过点P作PD ⊥ x轴于点D，交BC于点E。当PE的长度最大时，求点P的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $