第16章 整式的乘法（幂的运算、整式的乘法、乘法公式）讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上学期

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理整式乘法的知识体系，将幂的运算、整式乘除、完全平方公式、平方差公式按“定义-法则-拓展”递进组织，用表格归纳运算步骤，突出公式逆用、符号处理等重难点，清晰呈现知识内在联系。 讲义亮点在于分层题型演练设计，如幂的运算逆用求代数式值的例题，结合完全平方公式的几何背景培养几何直观，通过变式拓展提升推理意识。巩固训练覆盖选择、填空、解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准分层教学。

目录 第6讲：整式的乘法 1 【知识梳理】 1 知识点1：幂的运算 1 知识点2：整式的乘法 1 知识点3：完全平方公式 2 知识点4：平方差公式 3 【题型演练】 4 【题型一：幂的运算】 4 【题型二：整式的乘法运算】 11 【题型三：完全平方公式】 14 【题型四：平方差公式】 23 【巩固训练】 29 1 学科网（北京）股份有限公司 第6讲：整式的乘法 【知识梳理】 知识点1：幂的运算 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加； 【拓展】多个同底数幂相乘 （2）同底数幂相除：底数不变，指数相减； （3）幂的乘方：底数不变，指数相乘； 【拓展】 （4）积的乘方：积中每个因式分别乘方，再相乘； 【拓展】 【注意】公式逆用（高频考点） ① ；；； ② 零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，即 a0=1(a≠0)。 【注意】0 不能作底数、不能作除数，无意义 知识点2：整式的乘法 考点1：单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤： （1）系数相乘：计算系数乘积，确定结果符号与数值； （2）同底数幂相乘：底数不变，指数相加； （3）保留独有字母：完整保留单个单项式独有的字母因式。 运算结论：单项式相乘结果仍为单项式。 考点2：单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再将所得积相加。 运算步骤： （1）逐项分配：单项式遍乘多项式所有项，无漏项； （2）逐项展开：依据单项式乘法法则运算，重点注意负号变号规则； （3）化简整理：展开后合并同类项，得到最简整式。 注意事项：多项式各项自带符号，负系数单项式相乘时，各项符号需同步变更。 考点3：多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有积相加。 运算步骤： （1）交叉遍乘：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，做到不重不漏； （2）完整展开：准确书写每一项乘积，判定正负符号； （3）最终化简：合并全部同类项，将结果化为最简。 注意事项：杜绝漏乘、少项问题，严格遵循有理数符号运算规则。 考点4：单项式除以单项式 运算法则：单项式相除，将系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同其指数作为商的因式。 运算步骤： （1）系数相除：对系数作有理数除法，确定商的数值与符号； （2）同底数幂相除：底数不变，指数相减，规范计算幂的结果； （3）保留独有字母：不遗漏被除式单独含有的字母因式。 运算结论：单项式除以单项式的结果仍为单项式。 注意事项：除式恒不为0，严格区分被除式与除式，杜绝指数、符号运算失误。 考点5：多项式除以单项式 运算法则：多项式除以单项式，先把此多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。 运算步骤： （1）分项运算：多项式每一项均参与除法运算，不重不漏； （2）逐项化简：按照单项式除法法则计算，规范处理符号与指数； （3）合并整理：汇总所有商式，合并同类项，化为最简整式。 注意事项：除式不为0，严禁遗漏多项式常数项、低次项，严格把控符号变化。 知识点3：完全平方公式 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 【特征】 ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 【注意】 ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 完全平方公式的几何背景： （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点4：平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【注意】 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 平方差公式的几何背景 【题型演练】 【题型一：幂的运算】 【例题1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘除、合并同类项的运算法则，即可判断． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、故选项符合题意； 【练习1-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误． 【练习1-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方的运算法则，逐一计算每个选项即可判断正误． 【详解】对于选项A，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，，A运算正确； 对于选项B，合并同类项可得，B运算错误； 对于选项C，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，C运算错误； 对于选项D，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，D运算错误． 【例题2-1】已知，，求的值为________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】本题考查的是幂的运算性质，灵活运用积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方公式，以及幂的乘方公式，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】由和，得． 故答案为：． 【例题2-2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步可变形为，据此求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【练习2-1】已知：，则的值为________． 【答案】4 【知识点】同底数幂乘法的逆用、绝对值非负性、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了非负数的性质，积的乘方逆运算、同底数幂乘方逆运算，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【练习2-2】若，，则______． 【答案】63 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； 先把所求式子变形为，再代值计算即可. 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：63. 【练习2-3】如果，那么______． 【答案】9 【知识点】幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 【练习2-4】已知，，求和的值． 【答案】， 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂乘法和幂的乘方计算即可； 【详解】解：，， ， ． 【变式拓展1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【例题3】将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的运算，积的乘方逆用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简后，把整体代入运算即可； （2）化简后，把，，代入运算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入可得：， ∴， 解得：． 【练习3-1】我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】（）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ． 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ， ∵，， ∴原式， ， ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ． 【练习3-2】下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【题型二：整式的乘法运算】 【例题4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、多项式除以单项式 【分析】本题主要考查整式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【练习4-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先对整式进行化简，再把的值代入即可得到结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 【练习4-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】整式四则混合运算 【分析】根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式混合运算的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式拓展1】若，则的值为_________． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．由已知条件，推导出，再将所求和的指数进行分组，前项可分为组，每组和为，最后剩余项的值为，因此总和为． 【详解】解：因为， 两边同时乘以得， 所以，即， 所求和为，共项， 由于，因此对于任意整数，， 组余项，可将前项可分为组，每组5个连续项，其和为， 故前项之和为， 剩余项为，由于，， 故整个和为， 故答案为：． 【变式拓展2】已知代数式与的积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为________． 【答案】/ 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解： 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【变式拓展3】学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： (1)如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； (2)已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、已知字母的值 ，求代数式的值、多项式除以单项式 【分析】（）根据多项式除法法则列式计算即可； （）根据多项式除法法则得到，再化简左式，然后根据多项式相等的条件列式求出的值即可求解； 本题考查了整式的除法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴多项式为； （2）解：由题意得，， 即， ∴，， ∴，， ∴． 【题型三：完全平方公式】 【例题5】【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 【练习5-1】数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 图②整体上是边长为的正方形，因此面积为，图②中四个部分的面积和为， 所以有， 验证，． (2)需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张 (3)阴影部分的面积为 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）图的正方形的边长为，是由1张纸片A，1张纸片B，2张纸片C拼成的，根据面积相等即可求解； （2）计算，即可求解； （3）设，则，，由（1）的结论可求出的值，进而求出三角形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：，而纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为， 需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （3）解：设，则， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 【练习5-2】【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 【变式拓展1】先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【答案】(1)最小值为 (2)代数式有最大值，最大值为12 (3)当时，生物园的面积有最大值，最大值为50 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）由，可知当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）设，则，由题意得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：      ， 当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）解：设，则， 由题意得，生物园的面积 ，      当时，生物园的面积有最大值，最大值为50． 答：当时，围成的生物园的面积最大． 【变式拓展2】把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 【题型四：平方差公式】 【例题6】已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 【练习6-1】计算：__________． 【答案】9800 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将 转化为 进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：9800 【练习6-2】已知，，，求的值． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式． 将，相加得到，根据得到，根据即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式拓展1】设． (1)当时，求A的值； (2)当n为整数时，求证：A是8的倍数． 【答案】(1)8 (2) 证明： ∵ n 为整数， ∴ 是8的倍数， 因此 A 是8的倍数． 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查求代数式的值，整式的化简，掌握平方差公式是解题的关键； （1）将代入原式计算即可； （2）将原式化简即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）略 【变式拓展2】观察下列等式： ①； ②； ③； ④． 请解答下列问题： (1)按照上述规律，第⑤个等式为_______；第⑩个等式为________； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)若对于用正整数n、表示的两个奇数和，它们的平方差结果为120．请求出所有满足条件的． 【答案】(1)；； (2) 解：猜想：， 证明： ； (3)，，，． 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字的变化规律，进而写出第⑤个和第⑩个等式即可； （2）先根据前面等式的规律猜想出式子的结果，再通过化简式子进行证明即可； （3）根据平方差公式列出关于和的方程，然后求解方程得到满足条件的即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第⑤个等式为；第⑩个等式为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵n、都为正整数， ∴当时，，此时，     当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时（不合题意,舍去）， 当时，，此时， 当时，，此时（不合题意,舍去）， 此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意， 综上所述，符合题意的有：，，，． 【变式拓展3】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)1 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式拓展4】【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【答案】（1）；（2）①4，②1；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是运用平方差公式计算． （1）通过观察图①和图②阴影部分面积，利用正方形和长方形面积公式得出乘法公式． （2）①，将已知等式变形为平方差公式形式，再代入已知值求解．②把式子变形为平方差公式形式进行简便计算． （3）利用平方差公式将每个括号内式子展开，然后约分得出结果． 【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即； 图②中长方形的长为，宽为，面积为． ∴得到乘法公式：． （2）①∵， ∴， 即， ∵， ∴， 则． ② ； （3） ． 【巩固训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、分式乘法 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，分式乘法法则，分别计算各选项后判断正误即可． 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 2．已知，则“”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式 【分析】该题考查了单项式乘除法运算，根据除法运算，被除数等于除数乘以商，因此将除数与商相乘即可求出“”，计算时注意单项式乘法的法则． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：A． 3．下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，逐一验证各式的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：，错误； ②：，正确； ③：，错误； ④：，正确； ⑤：，错误； ⑥：，错误； ⑦：，正确． 综上，②、④、⑦正确，一共3个， 选：C． 4．若，则的值是_____． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键．利用指数运算规则，将表示为，再代入已知值计算． 【详解】解：由已知条件 , ， 根据幂的乘方运算法则，， 再根据同底数幂的除法法则，. 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式除以单项式、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】 （1）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式计算即可； （2）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式． 本题考查了积的乘方，整式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 （1）解： ． （2）解： ． 6．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）8；（2）675 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，最后把整体代入计算即可； （2）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 7．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． (2)利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． (3)如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①62；②80 (3)11 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据正方形面积的两种计算方法即得答案； （2）①直接利用（1）中的公式计算即可；②把和看作整体，利用（1）的公式计算即可； （3）设正方形和正方形的边长分别为x和y，则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，然后根据已知求得，再根据计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积既可以表示为，又可以表示为， 即． 故答案为：． （2）解：①当时， ． 故答案为：62． ②， 当，时， ； （3）解：设正方形和正方形的边长分别为x和y， 则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，且，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即长方形的面积为11． 8．数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了据完全平方公式的变形，完全平方公式的几何应用， （1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据，代入求解即可； （3）设，，则，，根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ， ， ， ， ； （3）设，，则，， ． $ 目录 第6讲：整式的乘法 1 【知识梳理】 1 知识点1：幂的运算 1 知识点2：整式的乘法 1 知识点3：完全平方公式 2 知识点4：平方差公式 3 【题型演练】 4 【题型一：幂的运算】 4 【题型二：整式的乘法运算】 7 【题型三：完全平方公式】 8 【题型四：平方差公式】 13 【巩固训练】 16 1 学科网（北京）股份有限公司 第6讲：整式的乘法 【知识梳理】 知识点1：幂的运算 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加； 【拓展】多个同底数幂相乘 （2）同底数幂相除：底数不变，指数相减； （3）幂的乘方：底数不变，指数相乘； 【拓展】 （4）积的乘方：积中每个因式分别乘方，再相乘； 【拓展】 【注意】公式逆用（高频考点） ① ；；； ② 零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，即 a0=1(a≠0)。 【注意】0 不能作底数、不能作除数，无意义 知识点2：整式的乘法 考点1：单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤： （1）系数相乘：计算系数乘积，确定结果符号与数值； （2）同底数幂相乘：底数不变，指数相加； （3）保留独有字母：完整保留单个单项式独有的字母因式。 运算结论：单项式相乘结果仍为单项式。 考点2：单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再将所得积相加。 运算步骤： （1）逐项分配：单项式遍乘多项式所有项，无漏项； （2）逐项展开：依据单项式乘法法则运算，重点注意负号变号规则； （3）化简整理：展开后合并同类项，得到最简整式。 注意事项：多项式各项自带符号，负系数单项式相乘时，各项符号需同步变更。 考点3：多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所有积相加。 运算步骤： （1）交叉遍乘：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，做到不重不漏； （2）完整展开：准确书写每一项乘积，判定正负符号； （3）最终化简：合并全部同类项，将结果化为最简。 注意事项：杜绝漏乘、少项问题，严格遵循有理数符号运算规则。 考点4：单项式除以单项式 运算法则：单项式相除，将系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同其指数作为商的因式。 运算步骤： （1）系数相除：对系数作有理数除法，确定商的数值与符号； （2）同底数幂相除：底数不变，指数相减，规范计算幂的结果； （3）保留独有字母：不遗漏被除式单独含有的字母因式。 运算结论：单项式除以单项式的结果仍为单项式。 注意事项：除式恒不为0，严格区分被除式与除式，杜绝指数、符号运算失误。 考点5：多项式除以单项式 运算法则：多项式除以单项式，先把此多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。 运算步骤： （1）分项运算：多项式每一项均参与除法运算，不重不漏； （2）逐项化简：按照单项式除法法则计算，规范处理符号与指数； （3）合并整理：汇总所有商式，合并同类项，化为最简整式。 注意事项：除式不为0，严禁遗漏多项式常数项、低次项，严格把控符号变化。 知识点3：完全平方公式 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 【特征】 ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 【注意】 ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 完全平方公式的几何背景： （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点4：平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【注意】 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 平方差公式的几何背景 【题型演练】 【题型一：幂的运算】 【例题1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【练习1-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【练习1-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例题2-1】已知，，求的值为________． 【例题2-2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【练习2-1】已知：，则的值为________． 【练习2-2】若，，则______． 【练习2-3】如果，那么______． 【练习2-4】已知，，求和的值． 【变式拓展1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【练习3-1】我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【练习3-2】下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【题型二：整式的乘法运算】 【例题4】计算： (1) (2) 【练习4-1】先化简，再求值：，其中． 【练习4-2】先化简，再求值：，其中． 【变式拓展1】若，则的值为_________． 【变式拓展2】已知代数式与的积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为________． 【变式拓展3】学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： (1)如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； (2)已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 【题型三：完全平方公式】 【例题5】【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3） 如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【练习5-1】数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【练习5-2】【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4） 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【变式拓展1】先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【变式拓展2】把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【题型四：平方差公式】 【例题6】已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【练习6-1】计算：__________． 【练习6-2】已知，，，求的值． 【变式拓展1】设． (1)当时，求A的值； (2)当n为整数时，求证：A是8的倍数． 【变式拓展2】观察下列等式： ①； ②； ③； ④． 请解答下列问题： (1)按照上述规律，第⑤个等式为_______；第⑩个等式为________； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)若对于用正整数n、表示的两个奇数和，它们的平方差结果为120．请求出所有满足条件的． 【变式拓展3】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【变式拓展4】【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【巩固训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则“”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若，则的值是_____． 5．计算： (1)； (2)． 6．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 7．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． (2)利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． (3) 如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 8．数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． $