第16章 整式的乘法 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为八年级数学上册整式的乘法单元复习卷，以文化情境（如《孙子算经》、杨辉三角）与数形结合为特色，覆盖整式乘除核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|同底数幂运算、多项式乘法、文化情境应用|第3题以《孙子算经》考查幂的运算，体现文化传承| |填空题|10/20|完全平方公式、新定义运算、幻方|第17题结合幻方与幂的运算，培养模型意识| |解答题|5/56|计算、化简求值、项目式学习、几何与代数综合|21题项目式学习杨辉三角，提升推理能力；23题通过几何面积推导公式，强化几何直观|

八年级数学上册整式的乘法单元测试卷（一） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 3．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 6．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．代数式，当m是整数时，则P一定能被（    ）整除． A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.计算：___________． 10．计算：_______． 11．定义新运算：，则的运算结果是_____． 12．已知是完全平方式，则的值是_________． 13．计算：_______． 14．已知，，则______． 15．4个数，，，排列成，规定它的运算法则为：．若，则___． 16．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 _______．（请填上正确的序号） 17．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 18．如图，正方形由一个小正方形和四个全等的矩形组成，若．则_____________． 三、解答题（本大题共5个小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算（每小题4分，共4小题，共16分） (1)； (2)； (3)． (4) 20.（8分）先化简，再求值：，其中满足． 21．（6分）项目式学习 【任务一 阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【任务二 应用体验】根据图表直接写出_________． (2)【任务三 拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则_________； ②若，其中为各项系数，则求_________． 22．（13分）我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． (1)填空：已知，，则______． (2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 23．（13分）（一）情境再现 借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用这一图形可以推导出的乘法公式是______；（用字母a，b表示）    （二）情境延伸 图2是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的怎样结论？并写出简单的推导过程； （三）问题解决 如图3，A表示的是边长为1的一个正方形，面积为，B表示的是一个边长为2的正方形，C，D表示的是边长为1和2的两个长方形，B，C，D的面积和为，由于A，B，C，D拼成的是一个边长为3的正方形，所以A，B，C，D的面积和可表示为或，所以. 类比上述分析过程，在图3的基础上推导：（画出图形，并写出必要的推导过程） （四）问题猜想 ______（直接写出结论，不用进行推导） 参考答案 1．B 【详解】解：A选项：，不符合题意． B选项：，符合题意． C选项：，不符合题意． D选项：，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查多项式乘法运算，只需将各选项展开后，与目标结果对比即可得到答案，可利用平方差公式简化计算． 【详解】解：选项A，，不符合要求； 选项B，，不符合要求； 选项C，根据平方差公式，，符合要求； 选项D，，不符合要求． 3．C 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 4．D 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则，平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式运算法则，逐个判断选项得到正确结果． 【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B，∵，∴B错误； 选项C，∵，∴C错误； 选项D，∵，与等式右边相等，∴D正确． 5．D 【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键． 6．D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 7．A 【分析】先利用完全平方公式化简代数式P，再根据m为整数的条件，判断P一定含有的因数，得到结果． 【详解】解： ， ∵是整数， 是整数， 一定是的倍数， 则P一定能被整除． 8．A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10． 【分析】根据积的乘方和单项式的乘法计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 12． 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 13．1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 14． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 15． 【分析】根据题目给定的新运算法则，将所给行列式转化为方程，然后通过展开、化简方程求解的值．本题主要考查了新定义运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：利用题中新定义得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 16．①② 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 17．1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 18．36 【分析】本题考查完全平方公式的变形，设矩形的长为，宽为，根据题意得到与的值，然后整体代入计算解题． 【详解】解：由题可知，矩形与矩形形状相同，设矩形的长为，宽为， ，即 正方形的面积为， 故答案为：36． 19．【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）原式 ． （4）解： ． 20．， 【分析】，，，代入原式化简即可，由得，代入化简结果求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 故原式． 21．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二项式定理、多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项式展开式的规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，令代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【详解】（1）解：由图表可得：； （2）解：①由图表得： ，，，，，，， ； ②令，则变形为 ， 即， ． 22．(1)19 (2)①4，5，12；②或9；③ 【分析】（1）由可知，，代入已知条件，从而求得的值； （2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值； ③先求出，运用将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴， 即； （2）解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y， 根据每个圆圈上的三个数字之和相等， 可得：， 解得：， ∴两个空白“□”中，从左到右依次应填4，5， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， ∵每个圆圈上的三个数字之和为S， ∴， ∴得：， 即， 即， ∵所有填入的数字之和为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，S为整数， ∴或9； ③∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由②得或9， 当时，， ∴； 当时， ∴， 则是方程的两个根， ∵， ∴此情况不存在，舍去； ∴． 23．（一）情境再现：；（二）情境延伸：； （三）问题解决：解：如图4，A表示1个的正方形，即； B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形， 因此：B、C、D就可以表示2个的正方形，即：； G与H，E与F和I可以表示3个的正方形，即； 而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：；    （四）问题猜想： 【分析】（一）情境再现：根据大正方形的面积等于两个长方形的面积与两个小正方形的面积的和。进而列等式可得结论； （二）情境延伸：根据大正方形的面积等于4个小直角三角形的面积与小正方形的面积和，进而列出等式化简可得结论； （三）问题解决：类比图3，画出图形，根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和，列式化简可得结论； （四）问题猜想：由前几个图形面积等式观察出规律，进而由化简求解即可． 【详解】解：（一）情境再现 由题意，得， 故答案为：； （二）情境延伸 结论：， 证明：由图可知，， ， ∴， 化简，得； （三）问题解决 略 （四）问题猜想 由（三的）结论，， 可猜想，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $