第一章 集合与常用逻辑用语单元测试卷(三）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合与常用逻辑用语单元卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合元素个数、命题否定、Venn图阴影部分|基础题为主，如第2题集合元素个数考查概念辨析| |多选|3/18|充要条件判断、命题否定、戴德金分割|第11题结合戴德金分割考查数学抽象| |填空|3/15|集合相等、参数范围、杰卡德距离|第14题引入杰卡德距离体现应用意识| |解答|5/77|集合运算与参数范围、乘法封闭集证明|第19题以“乘法封闭集”为载体考查逻辑推理，契合核心素养|

集合与常用逻辑用语单元测试卷(三）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】命题“”的否定是. 2．集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 3．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】对于A，由于，故A错误； 对于B，由于或， 所以，故B错误； 对于C, 由于或，所以或，故C错误； 对于D，由于或，所以，故D正确； 5．已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】当时，满足题意， 当时，，所以且， 综上， 6．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 7．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由，得或， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 8．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解】因为，故，故①错误， 而，故，故②正确. 若整数，属于同一“类”，设此类为， 则，故即， 若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”， 故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确. 由“类”的定义可得， 任意，设除以4的余数为，则， 故，所以， 故，故③正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 【答案】AD 【解】对于A：或若，则或，A正确 对于B：的否定是，B错误 对于C：若，则一定成立反之，若，则或 “”是“”的充分不必要条件,故C错误， 对于D：对于方程有一正一负根， 其判别式，两根之积为，解得 反之，当时，，两根之积，方程有一正一负根 “是关于的方程有一正一负根的充要条件”，D正确 10．下列命题是真命题的有（    ） A．“，”是真命题 B．“，”的否定是真命题 C．“至少有一个x使成立”是全称量词命题 D．命题“，”的否定是“，或” 【答案】ABD 【解】对于A，当时，，是真命题，故A正确； 对于B，显然“”是假命题，所以其否定是真命题，故B正确； 对于C，“至少有一个”是存在量词，命题为存在量词命题，故C错误； 对于D，命题“”的否定为“或”，故D正确， 11．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N．且，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割，例如：集合，，则为戴德金分割，若为戴德金分割，则下列结论正确的是（    ）． A．若集合A确定，则集合B一定是唯一的 B．若集合A中没有最大值，则集合B中一定有最小值 C．若集合A中有最大值，则集合B中一定没有最小值 D．若集合A中没有最大值，则集合B中一定没有最小值 【答案】AC 【解】因为为戴德金分割，所以集合A确定，则集合B一定是唯一的，A正确； 当集合，时，集合A中没有最大值，集合B中没有最小值，B错误； 若集合A中有最大值，则，所以， 所以集合B中一定没有最小值，C正确； 当集合，时，集合A中没有最大值，集合B中有最小值，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若集合，则___________. 【答案】 【解】因为，根据集合元素的互异性，可知，，，， 若，则，解得，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，由，解得，经检验，符合题意. 所以 . 13．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【解】由或，可得， 因为，，所以且，解得， 14．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 ， 【解】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解】（1）由，得， 又，所以，. 或，则. （2）因为，所以， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 16．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以解得 所以， 17．已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【解】（1）集合，或， 则或，，则 （2），为真命题，即， 又，， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，由可得或，解得， 综上，m的取值范围为：或． 18．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)．(2)(3)． 【解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 19．定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析.(2)，或. (3) 【解】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合与常用逻辑用语单元测试卷(三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 10．下列命题是真命题的有（    ） A．“，”是真命题 B．“，”的否定是真命题 C．“至少有一个x使成立”是全称量词命题 D．命题“，”的否定是“，或” 11．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N．且，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割，例如：集合，，则为戴德金分割，若为戴德金分割，则下列结论正确的是（    ）． A．若集合A确定，则集合B一定是唯一的 B．若集合A中没有最大值，则集合B中一定有最小值 C．若集合A中有最大值，则集合B中一定没有最小值 D．若集合A中没有最大值，则集合B中一定没有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若集合，则___________. 13．已知或，，若，则m的取值范围是 . 14．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 17．已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 18．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $