第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语单元核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习需求，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合概念（第1题）、元素与集合关系（第2题）、子集（第3题）、充分必要条件（第5题）|基础题考查概念辨析，如第1题集合确定性判断| |多选题|3/18|命题否定（第9题）、集合运算（第10题）|部分选对得分，如第11题结合方程与必要不充分条件| |填空题|3/15|命题否定（第12题）、集合包含（第13题）|简洁考查易错点，如第13题集合元素互异性| |解答题|5/77|集合运算（15题）、命题与方程综合（16题）、充要条件证明（19题）|综合题体现逻辑推理，如19题论证充要条件，符合高考命题趋势|

集合与常用逻辑用语单元检测卷 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.下面给出的四类对象中，构成集合的是（　　） A.某班视力较好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 解：对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合， 对于B，长寿不是一个明确的定义，故不能构成集合， 对于C，π的近似值没有明确近似到小数点后几位，不是明确的定义，故不能构成集合， 对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和﹣1，故可以构成集合.故选：D. 2.已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　) A.－2 B.2 C.4 D.2或4 解：若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.故选：A. 3.设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A.{a|a＜1} B.{a|a≤1} C.{a|a＞2} D.{a|a≥2} 解：如图， 若A⊆B，则a＞2，即实数a的取值范围是（2，+∞）.故选：C. 4.已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A等于(　　) A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2} D.{1,2,3} 解：由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}. 故选：C. 5.设甲：x＞1，乙：|x|＞1，则（　　） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：由题x＞1，可得|x|＞1；但由|x|＞1，可得x＞1或x＜﹣1， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A. 6.满足集合{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（　　） A.6 B.7 C.8 D.15 解：因为集合{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，则集合M可以为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个.故选：B. 7.命题,使,若是真命题,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以由，可得．所以， 因为是真命题，所以.故选：C. 8.已知集合，，则中包含元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10 解：集合可以看作点集，那么它的横坐标，纵坐标，且。依据对集合中元素的分类，列举如下： ，不满足； ，其中满足的有； ，其中满足的有； ，其中满足的有； ，其中满足的有。 故满足的共有10种情形，所以集合中包含元素的个数为10。故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）下列命题的否定正确的是（ ） A.命题,的否定: B.命题,的否定: C.命题,的否定: D.命题,的否定: 解：对于B,的否定:,B错误.A,C,D正确.故选：ACD。 10.（多选）设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可以是(　　) A.{x|－2≤x≤0} B.{x|5≤x≤7} C.{x|－2≤x≤8} D.{x|1≤x≤5} 解：(∁RT)∩S＝{x|－2≤x≤0或4≤x≤8}.故选：AB. 11.（多选）若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为(　　) A.2 B. C. D.3 解：由x2＋x－6＝0，可得x＝2或x＝－3. 对于ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解； 当a≠0时，x＝.由题意知p⇏q，q⇒p，则可得a≠0， 此时应有＝2或＝－3，解得a＝或a＝.综上可得，a＝ 或a＝.故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为　 　． 解：“对任意x∈R”的否定为“存在x∈R”，“x3≥0”的否定为“x3<0”．所以命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为“存在x∈R，使得x3<0”．故答案为：存在x∈R，使得x3<0。 13.已知集合A＝{1，3，2m﹣1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝　 　． 解：∵集合A＝{1，3，2m﹣1}，B＝{3，m2}，B⊆A，∴m2＝1或m2＝2m﹣1， 解得m＝﹣1或m＝1， 当m＝﹣1时，A＝{1，3，﹣3}，B＝{3，1}，成立； 当m＝1时，2m﹣1＝1，集合A不满足元素的互异性，不成立． 综上，实数m的值为﹣1．故答案为：﹣1． 14.已知集合A＝{x2，y2}、B＝{4x+21，4y+21}．若A＝B，则x+y＝　 　． 解：集合A＝{x2，y2}、B＝{4x+21，4y+21}，A＝B， ∴或， 由，解得或或或， 当时，A＝{9，49}，B＝{9，49}，满足A＝B，则x+y＝4； 当时，x2＝y2＝9，构不成集合，舍去； 当时，x2＝y2＝49，构不成集合，舍去； 当时，A＝{9，49}，B＝{9，49}，满足A＝B，则x+y＝4； 由，解得或或或， 当时，x2＝y2＝9，构不成集合，舍去； 当时，x2＝y2＝49，构不成集合，舍去； 当时，A＝{1，25}、B＝{1，25}，满足A＝B，则x+y＝﹣4； 当时，A＝{9，49}、B＝{9，49}，满足A＝B，则x+y＝﹣4， 综上，x+y＝4，x+y＝﹣4．故答案为：±4． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求： （1）A∩B； （2）A∪B； （3）∁R(A∩B)． 解：由已知得B＝{x|x≥－3}， (1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}． (2)A∪B＝{x|x≥－4}． (3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}． 16.（15分）命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若p，q都为真 命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2， 所以a≤1； 命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，则Δ＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2， 若p，q都为真命题，则，即a≤﹣2或a＝1， 故a的范围为{a|a≤﹣2或a＝1}． 17.（15分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣3＜x＜5}，B＝{x|x＞m}． （1）当m＝﹣2时，求A∪（∁UB）； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求m的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 解：（1）当m＝﹣2时，集合B＝{x|x＞﹣2}， 又因为全集U＝R，所以∁UB＝{x|x≤﹣2}， 又因为集合A＝{x|﹣3＜x＜5}，所以A∪（∁UB）＝{x|x＜5}． （2）因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以m≤﹣3，即m的取值范围为{m|m≤﹣3}． 18.（17分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0，x∈R}． （1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围； （2）若B是双元素集，且B⊆（1，+∞），求实数a的取值范围． 解：（1）由x2﹣3x+2＝0，可得x1＝1，x2＝2，则A＝{1，2}， 由A∪B＝A，可得B⊆A， 若B＝∅，则Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＜0，解得a＜﹣3； 若B＝{1}，原方程等价于（x﹣1）2＝0， 则，此方程组无解； 若B＝{2}，原方程等价于（x﹣2）2＝0， 则，解得a＝﹣3； 若B＝{1，2}，原方程等价于x2﹣3x+2＝0，则，此方程组无解； 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]； （2）由题意知：x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0在（1，+∞）内有两个相异实根， 则Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＞0，解得a＞﹣3， 设f（x）＝x2+2（a+1）x+a2﹣5，因为B⊆（1，+∞）， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 19.（17分）已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数． 求证：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤. 证明：因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝，且0<≤1，当x＝时，y＝＋c. 必要性： 对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤.即必要性成立。 充分性： 因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1， 所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1. 即充分性成立． 所以对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合与常用逻辑用语单元检测卷 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.下面给出的四类对象中，构成集合的是（　　） A.某班视力较好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 2.已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　) A.－2 B.2 C.4 D.2或4 3.设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A.{a|a＜1} B.{a|a≤1} C.{a|a＞2} D.{a|a≥2} 4.已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A等于(　　) A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2} D.{1,2,3} 5.设甲：x＞1，乙：|x|＞1，则（　　） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.满足集合{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（　　） A.6 B.7 C.8 D.15 7.命题,使,若是真命题,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知集合，，则中包含元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）下列命题的否定正确的是（ ） A.命题,的否定: B.命题,的否定: C.命题,的否定: D.命题,的否定: 10.（多选）设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可以是(　　) A.{x|－2≤x≤0} B.{x|5≤x≤7} C.{x|－2≤x≤8} D.{x|1≤x≤5} 11.（多选）若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为(　　) A.2 B. C. D.3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为　 　． 13.已知集合A＝{1，3，2m﹣1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝　 　． 14.已知集合A＝{x2，y2}、B＝{4x+21，4y+21}．若A＝B，则x+y＝　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求： （1）A∩B； （2）A∪B； （3）∁R(A∩B)． 16.（15分）命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若p，q都为真 命题，求实数a的取值范围． 17.（15分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣3＜x＜5}，B＝{x|x＞m}． （1）当m＝﹣2时，求A∪（∁UB）； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求m的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 18.（17分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0，x∈R}． （1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围； （2）若B是双元素集，且B⊆（1，+∞），求实数a的取值范围． 19.（17分）已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数． 求证：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤. 1 学科网（北京）股份有限公司 $