3.1.1函数的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的概念与性质核心知识点，从函数的集合定义入手，系统梳理三要素（定义域、对应关系、值域）的内涵，衔接函数求值（基础、复合、分段函数）、定义域求解（分式、根式等约束条件）、区间表示与集合互化，延伸至同一函数判定、值域求解（观察法、配方法等）及综合应用，构建完整学习支架。 资料以学习要点明确目标，通过例1函数对应关系判断、例5定义域求解等丰富例题，渗透整体代换等数学思想，培养数学眼光（抽象函数定义域分析）和数学思维（逻辑推理判定同一函数）。课中助力教师系统授课，课后学生可借例题与小结回顾知识，查漏补缺，提升应用能力。

第三章函数的概念与性质 3.1.1函数的概念 [学习要点] 1. 理解函数的集合定义，掌握函数三要素（定义域、对应关系、值域）的内涵，能准确判断一个对应关系是否为函数； 2. 掌握函数求值的基本方法，能熟练计算具体函数值、分段函数与复合函数值，能根据函数值反求自变量； 3. 熟练掌握常见函数定义域的求解规则，能求解含根式、分式、零次幂等组合形式的函数定义域； 4. 能综合运用函数概念解决新定义函数、对应关系分析、图象判断等综合问题； 5. 掌握区间的概念与各类表示形式，能熟练完成集合与区间的互化； 6. 理解同一函数的判定标准，能准确判断两个函数是否为同一函数，掌握等价化简的原则； 7. 掌握观察法、配方法、换元法、分离常数法等常见值域求解方法，能求简单函数的值域与最值； 8. 能处理抽象函数定义域、定义域与值域结合的参数问题，落实整体代换、转化与化归的数学思想。 一、函数的概念 核心知识点 1. 函数的定义 设AxfBy为从集合到集合的一个函数，记作。 2. 函数三要素 · 定义域：自变量的取值范围，即集合； · 对应关系：函数的核心规则，描述到的运算方式； · 值域：所有函数值构成的集合，值域是集合B的子集。 3. 函数概念的核心特征 · 任意性：集合中每一个元素都必须有对应值，不能有剩余； · 唯一性：一个自变量只能对应唯一的函数值，即“一对一”“多对一”是函数，“一对多”不是函数。 4. 图象判定法 作任意一条垂直于轴的直线，若直线与图象至多有一个交点，则该图象对应函数关系。 例1.（多选）下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（ ） A. ，， B. ，， C. Z，， D. ，， 【答案】AD 【详解】A选项：中每个元素平方后都在中有唯一值对应，满足任意性与唯一性，是函数； B选项：中元素对应中两个值，不满足唯一性，不是函数； C选项：中元素没有倒数，不满足任意性，不是函数； D选项：任意实数的绝对值都是非负实数，且结果唯一，符合函数定义。 例2.下列四个图象中，可以作为函数图象的个数是（ ） ① 开口向上的抛物线；② 以原点为圆心、半径为1的圆； ③ 反比例函数的图象；④ 开口向右的抛物线 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【答案】根据函数的唯一性特征，作垂直于轴的直线检验： ①③中直线与图象至多有一个交点，符合函数定义； ②④中存在直线与图象有两个交点，不符合函数定义。因此共2个。 二、函数求值 核心知识点 1. 基础求值：将自变量的取值直接代入解析式，按运算规则计算即可。 2. 复合函数求值：遵循“由内到外”原则，先计算内层函数的值，再将结果作为外层函数的自变量逐层计算。 3. 分段函数求值：先判断自变量所属的区间，再代入对应区间的解析式计算。 4. 已知函数值求自变量：令等于给定值，解方程得到x，最后检验解是否在定义域内。 例3.已知函数。 (1) 求，的值； (2) 若，求实数a的值。 【答案】(1) ； 。(2) 令，即， 两边同乘a（）得， 解得或，均满足定义域要求。 例4.已知分段函数。 (1) 求的值； (2) 若，求实数m的值。 【答案】(1) 因为，所以； 又，所以。(2) 分情况讨论： 当时，令，解得，其中不符合区间要求，舍去，得； 当时，令，解得，符合区间要求。 综上，或。 三、求函数的定义域 核心知识点 1. 定义域的本质：使函数解析式有意义的自变量的所有取值构成的集合。 2. 常见约束条件 · 分式形式：分母不能为0； · 偶次根式：被开方数必须非负； · 零次幂：底数不能为0； · 实际问题：自变量需符合实际意义（如长度、时间为正数）。 3. 求解步骤 列出所有约束条件组成不等式组，求解各不等式后取交集，结果用集合或区间表示。 例5.求下列函数的定义域： (1) ； (2) 【答案】(1) 要使函数有意义，需满足： 解得且， 因此定义域为。 (2) 要使函数有意义，需满足： 由得；由得，即。 综上，定义域为。 例6.若函数的定义域为，求实数的取值范围。 【答案】由题意，不等式对任意实数x恒成立。 当时，不等式化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足，解得。 综上，实数的取值范围是。 四、函数的概念的综合应用 核心知识点 1. 新定义函数问题：准确解读题目给出的特殊对应法则，将其转化为常规运算求解，核心是紧扣“任意性”与“唯一性”。 2. 函数对应关系的应用：根据给定的抽象函数法则，通过赋值法推导函数值、解析式或参数。 3. 计数类函数问题：结合函数定义，分析定义域到值域的对应方式，统计符合条件的函数个数。 例7. 定义在正实数集上的函数满足：对任意正实数，都有。 (1) 求的值； (2) 若，，求的值。 【答案】(1) 令，代入法则得，即，因此。 (2) ， 又， 因此。 五、区间 1. 核心知识点 区间的意义：区间是表示连续实数集的简洁形式，分为有限区间和无限区间两类。 2. 各类区间的表示（设） 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 3. 注意事项 · 区间左端点数值必须小于右端点； · 和是符号不是实数，因此无穷端必须用小括号； · 端点可取用中括号（实心点），不可取用小括号（空心点）。 例8. 将下列集合用区间表示： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 例9. 已知区间有意义，求实数的取值范围。 【答案】区间有意义等价于左端点小于右端点，即： 整理得， 由于判别式，且二次项系数为正，不等式对全体实数恒成立， 因此的取值范围是。 六、判断是否为同一函数 核心知识点 1. 判定标准：两个函数是同一函数，当且仅当它们的定义域相同，且对应关系完全一致，两个条件缺一不可。 2. 判定步骤 ① 分别求解两个函数的定义域，若定义域不同，直接判定不是同一函数； ② 定义域相同时，对解析式进行等价化简，对比对应关系是否一致； ③ 函数与自变量、因变量的字母选择无关，仅由定义域和对应关系决定。 3. 易错提醒：化简解析式时必须保证等价变形，不能改变定义域。 例10.判断函数与是否为同一个函数，并说明理由。 【答案】不是同一个函数，理由如下： 对于，需满足，解得，即定义域为； 对于，需满足，解得或，即定义域为。 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数。 七、函数的值域（最值） 1. 值域的定义：所有函数值构成的集合，由定义域和对应关系共同决定。 2. 常用求解方法 · 观察法：适用于简单函数，直接根据解析式性质推导值域，如一次函数、反比例函数； · 配方法：适用于二次函数型，通过配方转化为顶点式，结合定义域求最值； · 换元法：适用于含根式的无理函数，通过换元转化为有理函数，注意新元的取值范围； · 分离常数法：适用于一次分式型函数，将分子配成分母的倍数，分离出常数，结合反比例函数性质求值域。 例11.求下列函数的值域： (1) ； (2) 【答案】(1) 令，则，且，代入得： 因为，所以当时，y取得最大值，无最小值， 因此函数的值域为。 (2) 分离常数： 因为，所以， 函数的值域为。 八、函数定义域和值域的综合应用 1. 抽象函数的定义域 核心原则：的作用范围不变，即括号内整体的取值范围始终一致。 · 已知的定义域为D，求的定义域：令，解x的范围； · 已知的定义域为D，求的定义域：求在上的值域，即为的定义域。 2. 定义域值域结合的参数问题 结合函数单调性，根据定义域与值域的对应关系建立参数方程，求解参数值或范围。 例12.已知函数，其定义域和值域均为，求b的值。 【答案】配方得， 函数图象开口向上，对称轴为，因此在上单调递增。 由定义域和值域均为，可知当时，，即： 整理得，解得或（舍去，因）， 故。 课堂小结 1. 核心概念：函数的本质是两个非空数集间的对应，满足“任意性”与“唯一性”，三要素为定义域、对应关系、值域。 2. 核心方法：定义域求解抓约束条件，值域求解灵活运用配方法、换元法、分离常数法，抽象函数定义域遵循“作用范围不变”原则。 3. 核心判定：同一函数需同时满足定义域相同、对应关系一致，二者缺一不可。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章函数的概念与性质 3.1.1函数的概念 [学习要点] 1. 理解函数的集合定义，掌握函数三要素（定义域、对应关系、值域）的内涵，能准确判断一个对应关系是否为函数； 2. 掌握函数求值的基本方法，能熟练计算具体函数值、分段函数与复合函数值，能根据函数值反求自变量； 3. 熟练掌握常见函数定义域的求解规则，能求解含根式、分式、零次幂等组合形式的函数定义域； 4. 能综合运用函数概念解决新定义函数、对应关系分析、图象判断等综合问题； 5. 掌握区间的概念与各类表示形式，能熟练完成集合与区间的互化； 6. 理解同一函数的判定标准，能准确判断两个函数是否为同一函数，掌握等价化简的原则； 7. 掌握观察法、配方法、换元法、分离常数法等常见值域求解方法，能求简单函数的值域与最值； 8. 能处理抽象函数定义域、定义域与值域结合的参数问题，落实整体代换、转化与化归的数学思想。 一、函数的概念 核心知识点 1. 函数的定义 设AxfBy为从集合到集合的一个函数，记作。 2. 函数三要素 · 定义域：自变量的取值范围，即集合； · 对应关系：函数的核心规则，描述到的运算方式； · 值域：所有函数值构成的集合，值域是集合B的子集。 3. 函数概念的核心特征 · 任意性：集合中每一个元素都必须有对应值，不能有剩余； · 唯一性：一个自变量只能对应唯一的函数值，即“一对一”“多对一”是函数，“一对多”不是函数。 4. 图象判定法 作任意一条垂直于轴的直线，若直线与图象至多有一个交点，则该图象对应函数关系。 例1.（多选）下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（ ） A. ，， B. ，， C. Z，， D. ，， 例2.下列四个图象中，可以作为函数图象的个数是（ ） ① 开口向上的抛物线；② 以原点为圆心、半径为1的圆； ③ 反比例函数的图象；④ 开口向右的抛物线 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、函数求值 核心知识点 1. 基础求值：将自变量的取值直接代入解析式，按运算规则计算即可。 2. 复合函数求值：遵循“由内到外”原则，先计算内层函数的值，再将结果作为外层函数的自变量逐层计算。 3. 分段函数求值：先判断自变量所属的区间，再代入对应区间的解析式计算。 4. 已知函数值求自变量：令等于给定值，解方程得到x，最后检验解是否在定义域内。 例3.已知函数。 (1) 求，的值； (2) 若，求实数a的值。 例4.已知分段函数。 (1) 求的值； (2) 若，求实数m的值。 三、求函数的定义域 核心知识点 1. 定义域的本质：使函数解析式有意义的自变量的所有取值构成的集合。 2. 常见约束条件 · 分式形式：分母不能为0； · 偶次根式：被开方数必须非负； · 零次幂：底数不能为0； · 实际问题：自变量需符合实际意义（如长度、时间为正数）。 3. 求解步骤 列出所有约束条件组成不等式组，求解各不等式后取交集，结果用集合或区间表示。 例5.求下列函数的定义域： (1) ； (2) 例6.若函数的定义域为，求实数的取值范围。 四、函数的概念的综合应用 核心知识点 1. 新定义函数问题：准确解读题目给出的特殊对应法则，将其转化为常规运算求解，核心是紧扣“任意性”与“唯一性”。 2. 函数对应关系的应用：根据给定的抽象函数法则，通过赋值法推导函数值、解析式或参数。 3. 计数类函数问题：结合函数定义，分析定义域到值域的对应方式，统计符合条件的函数个数。 例7. 定义在正实数集上的函数满足：对任意正实数，都有。 (1) 求的值； (2) 若，，求的值。 五、区间 1. 核心知识点 区间的意义：区间是表示连续实数集的简洁形式，分为有限区间和无限区间两类。 2. 各类区间的表示（设） 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 3. 注意事项 · 区间左端点数值必须小于右端点； · 和是符号不是实数，因此无穷端必须用小括号； · 端点可取用中括号（实心点），不可取用小括号（空心点）。 例8. 将下列集合用区间表示： (1) ； (2) ； (3) 。 例9. 已知区间有意义，求实数的取值范围。 六、判断是否为同一函数 核心知识点 1. 判定标准：两个函数是同一函数，当且仅当它们的定义域相同，且对应关系完全一致，两个条件缺一不可。 2. 判定步骤 ① 分别求解两个函数的定义域，若定义域不同，直接判定不是同一函数； ② 定义域相同时，对解析式进行等价化简，对比对应关系是否一致； ③ 函数与自变量、因变量的字母选择无关，仅由定义域和对应关系决定。 3. 易错提醒：化简解析式时必须保证等价变形，不能改变定义域。 例10.判断函数与是否为同一个函数，并说明理由。 七、函数的值域（最值） 1. 值域的定义：所有函数值构成的集合，由定义域和对应关系共同决定。 2. 常用求解方法 · 观察法：适用于简单函数，直接根据解析式性质推导值域，如一次函数、反比例函数； · 配方法：适用于二次函数型，通过配方转化为顶点式，结合定义域求最值； · 换元法：适用于含根式的无理函数，通过换元转化为有理函数，注意新元的取值范围； · 分离常数法：适用于一次分式型函数，将分子配成分母的倍数，分离出常数，结合反比例函数性质求值域。 例11.求下列函数的值域： (1) ； (2) 八、函数定义域和值域的综合应用 1. 抽象函数的定义域 核心原则：的作用范围不变，即括号内整体的取值范围始终一致。 · 已知的定义域为D，求的定义域：令，解x的范围； · 已知的定义域为D，求的定义域：求在上的值域，即为的定义域。 2. 定义域值域结合的参数问题 结合函数单调性，根据定义域与值域的对应关系建立参数方程，求解参数值或范围。 例12.已知函数，其定义域和值域均为，求b的值。 课堂小结 1. 核心概念：函数的本质是两个非空数集间的对应，满足“任意性”与“唯一性”，三要素为定义域、对应关系、值域。 2. 核心方法：定义域求解抓约束条件，值域求解灵活运用配方法、换元法、分离常数法，抽象函数定义域遵循“作用范围不变”原则。 3. 核心判定：同一函数需同时满足定义域相同、对应关系一致，二者缺一不可。 学科网（北京）股份有限公司 $