3.1.1 函数的概念（11个题型归纳）讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.1.1 函数的概念】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    2．函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中__任意一个数x_____，在集合B中都有__唯一确定的数y____与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：. x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域. 3．函数的三要素 （1）函数的三要素：_定义域 _____、__对应关系____、____值域 __． （2）如果两个函数的_定义域_____相同，并且__对应关系_______完全一致，则这两个函数为同一个函数． 4．常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 5．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数和的___复合函数____，记作______，其中u为中间变量. 6．复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 7．函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 __观察法____：简单一次、反比例函数直接判断； _配方法_____：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； _分离常数法_____：分式一次比一次型； _换元法_____：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； __图象法____：画图看取值范围. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：区间的表示与运算】 【练方法】 公式结论 1.开区间：；闭区间： 2.半开半闭区间：对应；对应 3.无穷区间：、、、；全体实数 4.区间运算：交集取公共取值；并集取全部取值；实数集补集取全集内剩余取值 方法技巧 1.区间端点含等号用方括号，不含等号、无穷端点统一用圆括号 2.数轴绘图辅助交并补运算，直观区分重合、合并取值范围 3.连续相邻区间合并为单一区间，间断取值保留多个区间 易错提醒 1.无穷大搭配方括号，书写属于格式错误 2.混淆交集、并集运算规则，求交集时直接合并全部取值 3.区间左右端点数值颠倒，写出类无效区间 （25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. （25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. （24-25高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）．小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A （25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________小试牛刀3 【答案】 【分析】根据集合与区间的转换表示即可． 【详解】由或， 则区间为． 故答案为： 【题型2：函数关系的判定】 【练方法】 公式结论 1.函数定义：设A、B为非空实数集，若对应关系满足对任意，有唯一与之对应，则为定义在集合上的函数 2.图像判定法则（竖线检验）：任意垂直于轴的直线与函数图像至多仅有1个交点 方法技巧 1.图像类题目直接作垂直轴直线，仅单次相交即为函数图像 2.表格、列表对应关系，检查同一自变量是否对应多个因变量 3.解析式类，检验是否存在单个可解出2个及以上不同 易错提醒 1.一个自变量对应多个函数值，仍判定为函数，违背唯一性定义 2.仅满足存在对应关系，忽略定义域为非空实数集的前提条件 （25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ）经典例题1例题 A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. （25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D （25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. （25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题:小试牛刀3 ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 【题型3：求函数值/由函数值求参数】 【练方法】 公式结论 1.函数值定义：已知，自变量取时函数值为，将解析式内全部替换为化简求值 2.分段函数标准书写 若，则；若，则 3.已知，将代入解析式得到含参数方程，解方程得到参数取值 方法技巧 1.复合多层由内向外逐层计算，先求内层再代入外层表达式 2.分段函数求值第一步先判断自变量所属区间，不可跨区间代入表达式 3.由函数值解出参数后，将参数代回原式验算等式成立 易错提醒 1.分段自变量代错对应区间解析式 2.复合函数求值顺序颠倒，由外向内计算 3.解出参数后不检验自变量是否在定义域内，出现无意义取值 （2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 已知函数，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. （25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数．小试牛刀2 (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）将代入即可得出答案 【详解】（1）； （2） （25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由解析式展开求解即可. 【详解】依题意得， 即，解得． 故答案为： 【题型4：具体函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.分式：约束条件 2.偶次根式：约束条件 3.零次幂：约束条件 4.多个限制条件同时存在时，定义域为各不等式解集的交集 方法技巧 1.逐条列出分式分母、偶次根式、零次幂对应的约束不等式 2.分别求解不等式，取解集公共交集整理为区间形式 3.多约束题目不可遗漏任意一条限制条件 易错提醒 1.偶次根式约束只写，漏掉合法取值 2.多个约束条件取并集而非交集 3.零次幂忽略底数不能等于0的限制 （25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________经典例题1例题 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 求下列函数的定义域：小试牛刀1 (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. （2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及的定义求得，进而求得. 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． （25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型5：抽象函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.若定义域为，则对应法则下括号内整体取值范围恒为 2.已知定义域，求定义域：解不等式 3.已知定义域，先求的值域，该值域即为的定义域 方法技巧 1.核心规则：同一个对应法则，括号内整体取值范围固定不变 2.已知外层定义域，列不等式锁定内层整体取值再求解自变量 3.已知复合函数定义域，先求内层函数值域得到基础定义域 易错提醒 1.混淆自变量与括号整体范围，直接照搬原区间给新自变量 2.解不等式时不等号方向变形出错 （25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域.经典例题1例题 (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． （24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域；小试牛刀1 （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. （24-25高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域：小试牛刀2 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 已知，函数的定义域是，求的定义域.小试牛刀3 【答案】 【分析】由求和的范围，然后结合解不等式组即可求解. 【详解】由已知得，即， 所以函数的定义域由确定. 因为，所以，所以函数的定义域是. 【题型6：复合函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.复合函数定义域需同时满足两组约束 ①内层函数自身解析式自带定义域限制 ②内层整体落在的定义域区间内 2.最终定义域为两组不等式解集的交集 方法技巧 1.分两步列约束不等式，先写内层自身限制，再写外层对应法则整体范围限制 2.分别求解两组不等式，取公共交集作为最终定义域 3.多层复合由最外层向内逐层锁定括号整体取值区间 易错提醒 1.只考虑外层整体范围，忽略内层函数自带定义域约束 2.两组约束不等式取并集而非交集 （2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为， 的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． （25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数，则______；的定义域是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】代入求解可得第一空答案；求出的定义域及的解析式，根据其解析式，可求得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以； 因为的定义域为， 且， 所以，解得 所以函数的定义域是. 故答案为：；. （25-26高一上·河南郑州·期中）若函数，则函数的定义域为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域的概念，以及复合函数定义域的求法，求出结果即可. 【详解】由题意得，可得，解得， 所以的定义域为，解得， 则函数的定义域为，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. （25-26高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的定义域，再根据复合函数的定义求解． 【详解】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得， 故选：B． 【题型7：初中常见函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.一次函数，定义域，值域 2.二次函数，顶点纵坐标 ，值域；，值域 3.反比例函数，值域 方法技巧 1.二次函数先计算顶点纵坐标，结合开口方向判断值域上下边界 2.反比例函数牢记永远无法取到0 3.自变量限定区间时，对比区间端点、顶点函数值确定最值 易错提醒 1.二次函数开口方向判断错误，值域上下边界颠倒 2.反比例函数值域误写为全体实数，包含 （25-26高三·全国·一轮复习）填空：经典例题1例题 （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 求下列函数的值域：小试牛刀1 (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． （24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的值域________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. （24-25高一上·广东广州·阶段检测）函数的定义域为___________，其最大值是___________．小试牛刀3 【答案】 ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 【题型8：根式型函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.偶次根式恒成立条件：，根式最小值为0 2.线性根式：值域；值域 3.换元标准：令，必有，将原函数转化为关于的一次、二次函数 方法技巧 1.含偶次根式统一换元，强制约束 2.转化为基础一次、二次函数，结合取值范围求最值 3.根式前带负系数时，值域上下边界反向 易错提醒 1.换元后忽略约束，直接按全体实数求解值域 2.根式前负系数不反转值域边界 （25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. （25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： （25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________.小试牛刀2 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： （25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【题型9：分式型函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.一次分式，值域 2.二次分式，整理为关于的一元二次方程，利用判别式求取值范围 方法技巧 1.一次分式使用分离常数法，快速确定取不到的临界值 2.分子分母均为二次多项式，整理成含参数的一元二次方程，判别式法求值域 3.带根式分式先换元简化结构再用分式值域解法 易错提醒 1.一次分式值域遗漏，误写全体实数 2.判别式法求解时不讨论二次项系数为0的特殊情况 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________经典例题1例题 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． 故答案为： （2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____.小试牛刀1 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. （25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. （25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________.小试牛刀3 【答案】 【分析】将函数变形为，由可求得答案. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【题型10：对勾函数型函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.标准对勾函数 时，由均值不等式，最小值 时，令，，最大值 2.均值不等式适用前提：两项同号、可取等号 方法技巧 1.先整理出标准结构，保证常数 2.分两段分别计算最值，不可直接合并值域 3.自变量有限定区间时，对比极值点与区间端点函数值确定最值 易错提醒 1.不区分自变量正负直接套用均值不等式，符号计算出错 2.常数仍使用对勾函数最值结论 3.忽略自变量区间限制，直接取全局极值作为区间最值 （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的值域是_________．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用基本不等式直接可得函数的最小值，进而可得值域. 【详解】因为，所以. 所以 ， 当且仅当，即时等号成立.. 当时，，所以函数的值域为. 故答案为：. （24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. （22-23高一下·河南洛阳·阶段检测）已知函数，则函数的最小值为__________．小试牛刀2 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 （23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 【题型11：判定函数是否为同一函数】 【练方法】 公式结论 1.两函数为同一函数的充要条件：①定义域完全相同②解析式化简后对应法则完全一致，二者缺一不可 2.若定义域不同，无论解析式是否相同，都不是同一函数 （24-25高一上·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________．经典例题1例题 ①， ②， ③， ④，且 【答案】③④ 【分析】若为同一个函数，则需要两个函数的三要素，即定义域、值域、对应法则都相等，以此判断即可. 【详解】①的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ②的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ③ ，且定义域为，值域为， ，且定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数； ④定义域为，值域为， 定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数. 故答案为：③④ （25-26高一上·吉林松原·期中）下列各组函数不表示同一个函数的是_____（填写序号）.小试牛刀1 ①，②， ③，④， 【答案】①②③ 【分析】根据函数的要素，定义域和对应关系进行逐一判断. 【详解】①的定义域为，的定义域是，两者定义域不一样，不是同一函数； ②的定义域为，的定义域是，两者定义域不一样，不是同一函数； ③的定义域为，的定义域是，两者定义域不一样，不是同一函数； ④，，两者定义域都是，且，两者对应关系也一样，是同一函数. 故不表示同一个函数的是①②③. 故答案为：①②③ （23-24高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是______．小试牛刀2 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（4） 【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数，从而得解. 【详解】对于选项（1），因为， 所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同， 所以是同一个函数，故（1）正确； 对于选项（2），因为， 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故（2）错误； 对于选项（3），因为的定义域为， 的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故（3）错误； 对于选项（4），因为， 所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故（4）正确． 故答案为：（1）（4）. （24-25高一上·陕西西安·期中）下列四组函数中，表示的是同一个函数有______（填序号）；①；②；③；④.小试牛刀3 【答案】① 【分析】函数相等当且仅当定义域和对应法则都一样，由此即可逐一判断各个序号. 【详解】对于①，的定义域、对应法则都一样，故①符合题意； 对于②，，两函数的定义域分别是，即它们的定义域不相同，故②不符合题意； 对于③，，两函数的定义域分别是，即它们的定义域不相同，故③不符合题意； 对于④，要使得有意义，则，所以， 故的对应法则不一样，故④不符合题意. 故答案为：①. 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 2．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得. 5．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 6．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 7．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案. 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 二、填空题 8．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有______（写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 9．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】根据并集定义计算即可. 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 10．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11．（25-26高一上·广东江门·期中）函数的定义域为__________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 12．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 三、解答题 13．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. 【详解】（1）由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. （2），得. 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 14．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 15．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）当时，有最大值 【分析】（1）利用三角形全等定理，结合勾股定理进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合（1）的结论进行求解即可； （ii）运用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. （2）（i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式的性质，以及函数定义域和值域的求法，列出不等式组，求出集合，，再求出集合交集即可. （2）根据集合描述法的概念，和根式的性质，求出函数定义域，再根据集合交集运算结果，判断集合之间的关系，进而列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，解得，即， 由，因为，所以， 所以，即， 所以． （2）由，得，解得或， 因为，所以， 当时，的解集为，不符合题意， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【分析】（1）根据给定条件，利用抽象函数定义域求法求解即可. （1）①②利用配方法，借助二次函数求出值域；③利用分式函数求值域的方法求解即得. 【详解】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.1.1 函数的概念】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    2．函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中__任意一个数x_____，在集合B中都有__唯一确定的数y____与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：. x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域. 3．函数的三要素 （1）函数的三要素：_定义域 _____、__对应关系____、____值域 __． （2）如果两个函数的_定义域_____相同，并且__对应关系_______完全一致，则这两个函数为同一个函数． 4．常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 5．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数和的___复合函数____，记作______，其中u为中间变量. 6．复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 7．函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 __观察法____：简单一次、反比例函数直接判断； _配方法_____：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； _分离常数法_____：分式一次比一次型； _换元法_____：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； __图象法____：画图看取值范围. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：区间的表示与运算】 【练方法】 公式结论 1.开区间：；闭区间： 2.半开半闭区间：对应；对应 3.无穷区间：、、、；全体实数 4.区间运算：交集取公共取值；并集取全部取值；实数集补集取全集内剩余取值 方法技巧 1.区间端点含等号用方括号，不含等号、无穷端点统一用圆括号 2.数轴绘图辅助交并补运算，直观区分重合、合并取值范围 3.连续相邻区间合并为单一区间，间断取值保留多个区间 易错提醒 1.无穷大搭配方括号，书写属于格式错误 2.混淆交集、并集运算规则，求交集时直接合并全部取值 3.区间左右端点数值颠倒，写出类无效区间 （25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______.经典例题1例题 （25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）．小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________小试牛刀3 【题型2：函数关系的判定】 【练方法】 公式结论 1.函数定义：设A、B为非空实数集，若对应关系满足对任意，有唯一与之对应，则为定义在集合上的函数 2.图像判定法则（竖线检验）：任意垂直于轴的直线与函数图像至多仅有1个交点 方法技巧 1.图像类题目直接作垂直轴直线，仅单次相交即为函数图像 2.表格、列表对应关系，检查同一自变量是否对应多个因变量 3.解析式类，检验是否存在单个可解出2个及以上不同 易错提醒 1.一个自变量对应多个函数值，仍判定为函数，违背唯一性定义 2.仅满足存在对应关系，忽略定义域为非空实数集的前提条件 （25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ）经典例题1例题 A．，； B．，； C．，； D．，. （25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 （25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题:小试牛刀3 ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3：求函数值/由函数值求参数】 【练方法】 公式结论 1.函数值定义：已知，自变量取时函数值为，将解析式内全部替换为化简求值 2.分段函数标准书写 若，则；若，则 3.已知，将代入解析式得到含参数方程，解方程得到参数取值 方法技巧 1.复合多层由内向外逐层计算，先求内层再代入外层表达式 2.分段函数求值第一步先判断自变量所属区间，不可跨区间代入表达式 3.由函数值解出参数后，将参数代回原式验算等式成立 易错提醒 1.分段自变量代错对应区间解析式 2.复合函数求值顺序颠倒，由外向内计算 3.解出参数后不检验自变量是否在定义域内，出现无意义取值 （2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C．1 D． 已知函数，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． （25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数．小试牛刀2 (1)求； (2)若，求的值． （25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________．小试牛刀3 【题型4：具体函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.分式：约束条件 2.偶次根式：约束条件 3.零次幂：约束条件 4.多个限制条件同时存在时，定义域为各不等式解集的交集 方法技巧 1.逐条列出分式分母、偶次根式、零次幂对应的约束不等式 2.分别求解不等式，取解集公共交集整理为区间形式 3.多约束题目不可遗漏任意一条限制条件 易错提醒 1.偶次根式约束只写，漏掉合法取值 2.多个约束条件取并集而非交集 3.零次幂忽略底数不能等于0的限制 （25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________经典例题1例题 求下列函数的定义域：小试牛刀1 (1) (2)； (3) (4)； （2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________．小试牛刀2 （25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________.小试牛刀3 【题型5：抽象函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.若定义域为，则对应法则下括号内整体取值范围恒为 2.已知定义域，求定义域：解不等式 3.已知定义域，先求的值域，该值域即为的定义域 方法技巧 1.核心规则：同一个对应法则，括号内整体取值范围固定不变 2.已知外层定义域，列不等式锁定内层整体取值再求解自变量 3.已知复合函数定义域，先求内层函数值域得到基础定义域 易错提醒 1.混淆自变量与括号整体范围，直接照搬原区间给新自变量 2.解不等式时不等号方向变形出错 （25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域.经典例题1例题 (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. （24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域；小试牛刀1 （2）已知函数的定义域为，求的定义域. （24-25高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域：小试牛刀2 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 已知，函数的定义域是，求的定义域..小试牛刀3 【题型6：复合函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.复合函数定义域需同时满足两组约束 ①内层函数自身解析式自带定义域限制 ②内层整体落在的定义域区间内 2.最终定义域为两组不等式解集的交集 方法技巧 1.分两步列约束不等式，先写内层自身限制，再写外层对应法则整体范围限制 2.分别求解两组不等式，取公共交集作为最终定义域 3.多层复合由最外层向内逐层锁定括号整体取值区间 易错提醒 1.只考虑外层整体范围，忽略内层函数自带定义域约束 2.两组约束不等式取并集而非交集 （2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数，则______；的定义域是______.小试牛刀1 （25-26高一上·河南郑州·期中）若函数，则函数的定义域为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：初中常见函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.一次函数，定义域，值域 2.二次函数，顶点纵坐标 ，值域；，值域 3.反比例函数，值域 方法技巧 1.二次函数先计算顶点纵坐标，结合开口方向判断值域上下边界 2.反比例函数牢记永远无法取到0 3.自变量限定区间时，对比区间端点、顶点函数值确定最值 易错提醒 1.二次函数开口方向判断错误，值域上下边界颠倒 2.反比例函数值域误写为全体实数，包含 （25-26高三·全国·一轮复习）填空：经典例题1例题 （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 求下列函数的值域：小试牛刀1 (1)，； (2)； (3)； (4)，． （24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的值域________．小试牛刀2 （24-25高一上·广东广州·阶段检测）函数的定义域为___________，其最大值是___________．小试牛刀3 【题型8：根式型函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.偶次根式恒成立条件：，根式最小值为0 2.线性根式：值域；值域 3.换元标准：令，必有，将原函数转化为关于的一次、二次函数 方法技巧 1.含偶次根式统一换元，强制约束 2.转化为基础一次、二次函数，结合取值范围求最值 3.根式前带负系数时，值域上下边界反向 易错提醒 1.换元后忽略约束，直接按全体实数求解值域 2.根式前负系数不反转值域边界 （25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______.经典例题1例题 （25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______.小试牛刀1 （25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________.小试牛刀2 （25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____.小试牛刀3 【题型9：分式型函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.一次分式，值域 2.二次分式，整理为关于的一元二次方程，利用判别式求取值范围 方法技巧 1.一次分式使用分离常数法，快速确定取不到的临界值 2.分子分母均为二次多项式，整理成含参数的一元二次方程，判别式法求值域 3.带根式分式先换元简化结构再用分式值域解法 易错提醒 1.一次分式值域遗漏，误写全体实数 2.判别式法求解时不讨论二次项系数为0的特殊情况 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________经典例题1例题 （2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____.小试牛刀1 （25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______.小试牛刀2 （25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________.小试牛刀3 【题型10：对勾函数型函数的值域】 【练方法】 公式结论 1.标准对勾函数 时，由均值不等式，最小值 时，令，，最大值 2.均值不等式适用前提：两项同号、可取等号 方法技巧 1.先整理出标准结构，保证常数 2.分两段分别计算最值，不可直接合并值域 3.自变量有限定区间时，对比极值点与区间端点函数值确定最值 易错提醒 1.不区分自变量正负直接套用均值不等式，符号计算出错 2.常数仍使用对勾函数最值结论 3.忽略自变量区间限制，直接取全局极值作为区间最值 （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的值域是_________．经典例题1例题 （24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为______．小试牛刀1 （22-23高一下·河南洛阳·阶段检测）已知函数，则函数的最小值为__________．小试牛刀2 （23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________．小试牛刀3 【题型11：判定函数是否为同一函数】 【练方法】 公式结论 1.两函数为同一函数的充要条件：①定义域完全相同②解析式化简后对应法则完全一致，二者缺一不可 2.若定义域不同，无论解析式是否相同，都不是同一函数 （24-25高一上·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________．经典例题1例题 ①， ②， ③， ④，且 （25-26高一上·吉林松原·期中）下列各组函数不表示同一个函数的是_____（填写序号）.小试牛刀1 ①，②， ③，④， （23-24高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是______．小试牛刀2 （1） （2） （3） （4） （24-25高一上·陕西西安·期中）下列四组函数中，表示的是同一个函数有______（填序号）；①；②；③；④.小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 6．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 7．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有______（写出所有正确的序号） 9．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则______． 10．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 11．（25-26高一上·广东江门·期中）函数的定义域为__________.（用区间表示） 12．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 三、解答题 13．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 15．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 1 学科网（北京）股份有限公司 $