3.5-3.7 开学考试复习卷（浙江地区适用） 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的基本性质（3.5-3.7），以基础概念理解为起点，通过几何计算与综合应用题型，构建从性质推导到实际应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空11-13|正多边形性质、圆心角与弧长、坐标与对称|从圆的对称性到正多边形性质的推导| |几何计算|选择6-10、填空14-16|阴影面积、旋转路径、实际应用（割圆术）|弧长公式与面积公式的应用迁移| |综合应用|解答17-24|证明与推理、作图与计算、跨知识综合|圆与三角形、四边形的性质融合|

2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质3.5-3.7开学考试复习卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.正六边形的中心角的度数为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键。根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案。 【详解】解：正六边形的中心角度数， 故选：B。 2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（　 ）。 A． B． C．2π D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝70°，根据旋转的性质得到BC＝B′C，根据等腰三角形的性质得到∠BB′C＝∠B＝70°，求得∠ACA′＝40°，根据弧长的公式即可得到结论。 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°， ∴∠B＝70°， ∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C， ∴BC＝B′C， ∴∠BB′C＝∠B＝70°， ∴∠BCB′＝40°， ∴∠ACA′＝40°， ∴点A经过的路径长＝＝， 故选：B。 3.制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料。中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式。根据弧长公式进行计算即可。弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）。 【详解】解：该中心线的展直长度为， 故选：B。 4.若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ）。 A．2 B．6 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键。根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长。 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D。 5.如图，是正六边形的中心。在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键。根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可。 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:。 6.一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积=三角形的面积-（正方形的面积-扇形的面积），依据面积公式进行计算即可得出答案。 【详解】解：作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形。 则S△CEF=（8+4）×4÷2=24cm2， S正方形ADEF=4×4=16cm2， S扇形ADF==4πcm2， ∴阴影部分的面积=24-（16-4π）=， 故选：D。 7.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC＝（     ）。 A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】A 【分析】首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC=90°，然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数。 【详解】解：连接OB，OC， ∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上， ∴∠BOC=90°， ∴∠BPC=∠BOC=45°， 故选：A。 8.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心。 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解。 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：A。 9.如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以。 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴。 10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416。如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（    ）。 A．3 B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键。根据正八边形的性质求出，根据直角三角形的边角关系求出边上的高，由三角形的面积的计算方法可求出的面积，进而得到正八边形的面积即可。 【详解】解：如图，正八边形内接于，连接，，过点A作于点M， ∵八边形是正八边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴正八边形的面积为， 圆的面积为， 即可估计的近似值为， 故选：C。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有___________条。 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解。 【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=， ，， ∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴， 故答案为：。 12.如图，是的外接圆，，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，则的度数为__________。 【答案】/59度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理；连接，根据圆内接四边形的性质得到，然后根据垂径定理的推论可求出的度数。 【详解】解：连接， 四边形是圆内接四边形，， ， 是的中点， ， ， 故答案为：。 13.如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为，则裁出的矩形的边的长为______。 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，，再结合全等三角形的性质与勾股定理可得结论。 【详解】解：如图，标注正六边形的顶点， 设正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：。 14.如图，在矩形中，连接，以点B为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积是 。 【答案】 【分析】先根据锐角三角函数求出、，再根据扇形面积公式和三角形面积公式即可求出阴影部分的面积。 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ，， 阴影部分的面积：， 故答案为：。 15.如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= ______°。 【答案】115 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，求得、的度数即可求解。 【详解】解：连接，如下图： ∵AB为的直径， ∴， ∵四边形ABCD内接于， ∴， ∴， ∵点C为弧BD的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：。 16.如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 _______________。 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，含30度直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形弧长计算，圆的周长公式等知识；涉及的知识点较多。过点B作于H；由正六边形的性质得，；在中，由勾股定理求得，从而求得，则可求得的长，再根据圆锥底面周长等于扇形弧长，即可求得圆锥底面圆的半径。 【详解】解：如图，过点B作于H， ∵正六边形， ， 又， ，； 同理可知， ， 在中，， 则，由勾股定理得：， ， 的长， ∴圆锥底面圆的半径为， 故答案为：。 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.（本题8分）求证：圆内接平行四边形是矩形。 【答案】证明见解析 【分析】如图，是的内接四边形，再利用平行四边形的性质与圆的内接四边形的性质证明：从而可得结论。 【详解】证明：如图，由题意得：是的内接四边形， 是矩形。 18.（本题8分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求贴纸部分的面积（纸扇有两面，结果精确到）。 【答案】约 【分析】根据扇形面积公式可计算出两个扇形的面积，然后相减即可求得答案。 【详解】解： ， ， 答：贴纸部分的面积约为。 19.（本题8分）如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上。 （1）在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长。 【答案】（1）正方形如图所示： （2）以为顶角的等腰三角形如图所示： 。 【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题； （2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可。 【详解】（1）略 （2）略 20.（本题8分）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长。 【答案】 【分析】本题根据切线的性质得出，再利用弧长公式求出，推出，得到，结合勾股定理求得，根据即可求得。 【详解】解：连接， 与相切于点A， ，即， 设， ，的长为， ， 解得，即， ， ，   ， 在中，， 。 21.（本题8分）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为。求其各个顶点的坐标。 【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，） 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论。 【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE， ∵OE=OD，∠EOD=， ∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°， ∵OE＝2cm，∠OGE＝90°， ∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm， 点E的坐标为（1，）， 又由题意知点D的坐标为（2，0）， 由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）， 故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）。 22.（本题10分）如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F。证明：DF ⊥ AI。 【答案】证明：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 而， ∴E、C、D、I四点共圆， ∴， ∴， 又 ，AI=AI， ∴△ADI≌△AFI (ASA)， ∴，即是等腰三角形 ，且AI是顶角的角平分线， ∴。 【分析】利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求得∠AID=45°，证明E、C、D、I四点共圆，得到∠DIF=45°，再证明△ADI≌△AFI (ASA)，得到△ADF是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得证。 【详解】略 23.（本题10分）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，。 （1）求证：； （2）若，求的度数。 【答案】(1)证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求出答案即可。 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ， ， 。 24.（本题12分）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点。 （1）填空：______度，______度； （2）求证：； （3）若，求四边形的面积。 【答案】（1）60；60 （2）证明：延长至E，使，连接，如图所示： ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； (3)。 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键。 （1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案； （2）延长至E，使，连接，如图所示：证明，可得，证明是等边三角形，即可得出结论； （3）过点E作于点F，求解，，可得，进一步求解即可。 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质3.5-3.7开学考试复习卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.正六边形的中心角的度数为（   ）。 A． B． C． D． 2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（　 ）。 A． B． C．2π D． 3.制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料。中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（     ）。 A． B． C． D． 4.若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ）。 A．2 B．6 C．6 D．12 5.如图，是正六边形的中心。在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）。 A． B． C． D． 6.一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积是（     ）。 A． B． C． D． 7.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC＝（     ）。 A．45° B．60° C．75° D．90° 8.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心。 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（    ）。 A． B． C． D． 9.如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（     ）。 A． B． C． D． 10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416。如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（    ）。 A．3 B．3.14 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有___________条。 12.如图，是的外接圆，，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，则的度数为__________。 13.如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为，则裁出的矩形的边的长为______。 14.如图，在矩形中，连接，以点B为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积是 。 15.如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= ______°。 16.如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 _______________。 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.（本题8分）求证：圆内接平行四边形是矩形。 18.（本题8分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求贴纸部分的面积（纸扇有两面，结果精确到）。 19.（本题8分）如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上。 （1）在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长。 20.（本题8分）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长。 21.（本题8分）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为。求其各个顶点的坐标。 22.（本题10分）如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F。证明：DF ⊥ AI。 23.（本题10分）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，。 （1）求证：； （2）若，求的度数。 24.（本题12分）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点。 （1）填空：______度，______度； （2）求证：； （3）若，求四边形的面积。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $