第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配高中数学单元复习，助力培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算（如1题）、不等式性质（如2题）|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选题|3/18|不等式真假判断（如9题）、含参解集（如11题）|多角度思维训练，体现推理能力| |填空题|3/15|不等式解集（如13题）、最值求解（如14题）|简洁考查核心技能，落实运算能力| |解答题|5/77|含参不等式（17题）、二次函数恒成立（19题）|综合应用与逻辑推理，发展数学思维|

一元二次函数、方程和不等式单元检测卷 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 解：∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}．故选：A. 2.下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b＞0，m＞0，则 D．若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣4＜a﹣b＜3 解：对于A，若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2，故A错误； 对于B，若a＝﹣2，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误； 对于C，因a＞b＞0，m＞0，由，可得，故C错误； 对于D，由2＜b＜3，得﹣3＜﹣b＜﹣2，因﹣1＜a＜5，则﹣4＜a﹣b＜3，故D正确． 故选：D． 3.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|2x﹣3＜0}，则A∩B＝（　　） A．[﹣2，1] B． C． D．（﹣∞，﹣1] 解：由题意可得：，所以． 故选：B． 4.设A＝，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　) A．A≥B B．A>B C．A<B D．A≤B 解：∵a，b都是正实数，且a≠b，∴A＝＝2，即A>2， B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B.故选：B. 5.已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，则4a﹣2b的取值范围是（　　） A．{x|﹣4＜x＜10} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|﹣2＜x＜14} D．{x|﹣2≤x≤10} 解：由﹣1≤a﹣b≤2，1≤a+b≤4，得0≤（a﹣b）+（a+b）≤6，即0≤2a≤6， ﹣2≤2（a﹣b）≤4，所以﹣2≤2（a﹣b）+2a≤10，即﹣2≤4a﹣2b≤10．故选：D． 6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意0<x≤1恒成立，则m的最大值为(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解：令y＝x2－4x－m，则只需满足在x＝1处的函数值非负即可，解得m≤－3.故选：C. 7.已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<3，则m的值为(　　) A．－4 B．－5 C．－6 D．－7 解：∵一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<3， 令y＝x2＋(m＋1)x＋1，则由题意可得，解得<m<－3， 又m∈Z，可得m＝－4.故选：A. 8.已知a，b∈R，a+b＝4，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 解：因为a+b＝4，令a＝2+t，b＝2﹣t， 则， 令u＝5+t2，则u≥5，上式可化为g（u）， 当且仅当u，即u＝4时取等号．故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中的真命题有(　　) A．若a>b，则 B．若a>b，则ac2>bc2 C．若ac2>bc2，则a>b D．若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 解：若a>0，b<0时，，A错； B中，若c＝0，则有ac2＝bc2，B错；C正确； 由不等式的性质可知D正确．故选：CD. 10.（多选）若满足，则（ ） A. B. C. D. 解：方法1：因为，且， 所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，故A错误，B正确。 因为，且，所以， 当且仅当时等号成立，即，故C正确，D错误。 方法2：由基本不等式可得，，从而。结合题设条件：，可得，以及，即， 所以选项B和C正确。 取，则，且，因此选项A不正确。 取，则，且，因此选项D不正确。故选：BC. 11.（多选）已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则(　　) A．x1x2＋x1＋x2<0的解集为 B．x1x2＋x1＋x2的最小值为 C．x1＋x2＋的最大值为 D．x1＋x2＋的最小值为 解：不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，根据根与系数的关系， 可得x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，x1x2＋x1＋x2<0可化为3a2＋4a<0，解得<a<0，∴A正确； x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝3－≥，∴B正确； x1＋x2＋＝4a＋，∵a<0，∴－4a－≥，即4a＋≤， 故x1＋x2＋的最大值为，∴C正确，D错误．故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.a，b∈R，a>b和同时成立的条件是 ． 解：，因为a>b，即b－a<0，所以ab>0，所以a>b>0或0>a>b. 故答案为：a>b>0或0>a>b. 13.已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则b＝　 　，c＝　 　． 解：因为等式x2+bx+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，所以x2+bx+c＝0的根为x＝﹣2，x＝1， 所以﹣2+1＝﹣b，﹣2×1＝c，所以b＝1，c＝﹣2．故答案为：1，﹣2． 14.已知m＞0，n＞0，且，则的最小值为　 　． 解：∵m＞0，n＞0，，∴ ，当且仅当，即n＝2m，即m＝1，n＝2时等号成立．故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）（1）当p，q都为正数且p+q＝1时，试比较代数式（px+qy）2与px2+qy2的大 小． （2）已知1≤x﹣y≤2，3≤2x+y≤4，求4x﹣y的取值范围． 解：（1）（px+qy）2﹣（px2+qy2）＝p（p﹣1）x2+q（q﹣1）y2+2pqxy， 因为p+q＝1，所以p﹣1＝﹣q，q﹣1＝﹣p， 所以（px+qy）2﹣（px2+qy2）＝﹣pq（x2+y2﹣2xy）＝﹣pq（x﹣y）2， 因为p，q都为正数，所以﹣pq（x﹣y）2≤0， 因此（px+qy）2≤px2+qy2，当且仅当x＝y时等号成立； （2）由题意可设4x﹣y＝a（x﹣y）+b（2x+y），则，解得a＝2，b＝1， 因为1≤x﹣y≤2，3≤2x+y≤4，所以2≤2（x﹣y）≤4，3≤2x+y≤4， 则5≤4x﹣y≤8，所以4x﹣y的取值范围为：[5，8]． 16.（15分）（1）已知0＜x＜2，求x（2﹣x）的最大值； （2）已知，求的最小值． 解：（1）因为0＜x＜2，所以2﹣x＞0，则，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，取到等号，所以x（2﹣x）的最大值为1； （2）因为，所以2x﹣3＞0，令t＝2x﹣3，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为． 17.（15分）解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）． 解：不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax化为ax2+（2a﹣2）x﹣4≥0， ①当a＞0时，原不等式化为，解得或x≤﹣2． ②当a＝0时，原不等式化为2x+4≤0，解得x≤﹣2． ③当a＜0时，原不等式化为． 当，即a＜﹣1时，解得； 当，即a＝﹣1时，解得x＝﹣2满足题意； 当，即﹣1＜a＜0时，解得． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣2}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝﹣1时，不等式的解集为{﹣2}； 当a＜﹣1时，不等式的解集为． 18.（17分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0成立；命题q：∃x∈R，x2+4mx+1＜0成 立． （1）若命题￢p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 解：（1）因为命题¬p为假命题，所以命题p：∀x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0为真命题． 所以x2﹣2mx﹣3m＞0在R上恒成立，则判别式Δ＝（﹣2m）2﹣4×（﹣3m）＜0， 即m2+3m＜0⇔m（m+3）＜0，解得﹣3＜m＜0． 所以实数m的取值范围为{m|﹣3＜m＜0}． （2）由（1）知命题p为真命题时，m的取值范围为（﹣3，0）． 当命题q：∃x∈R，x2+4mx+1＜0为真命题时，不等式x2+4mx+1＜0有解． 则判别式Δ＝（4m）2﹣4×1＞0， 即4m2﹣1＞0⇔（2m﹣1）（2m+1）＞0，解得或． 因为命题p，q至少有一个为真命题， 所以当p，q都是假命题时，，即， 所以命题p，q至少有一个为真命题时，m＜0或， 所以实数m的取值范围为{m|m＜0或． 19.（17分）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2． （1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）． 解：（1）不等式f（x）＞3ax即为：x2+2ax+2＞3ax， 当x∈[1，5]时，不等式可变形为ax， 因为x22，当x时取等号， 且∈[1，5]，所以（x）min＝2，所以a＜2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2）； （2）不等式（a+1）x2+x＞f（x），即 （a+1）x2+x＞x2+2ax+2， 等价于（a+1）x2+x﹣2ax﹣x2﹣2＞0，即 ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0， 转化为（x﹣2）（ax+1）＞0； ①当a＝0时，不等式为x﹣2＞0，解得x＞2； ②当a＞0时，因为0＜2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|x或 x＞2}； ③当a＜0时，因为2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|2＜x}； ④当a时，因为2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为∅； ⑤当a时，因为2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|x＜2}； 综上知，当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞）； 当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）； 当a＜0时，不等式的解集为（2，）； 当a时，不等式的解集为∅； 当a时，不等式的解集为（，2）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次函数、方程和不等式单元检测卷 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　) A.{x|－1<x<3} B.{x|－1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 2.下列命题中正确的是（　　） A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＞b，则a2＞b2 C.若a＞b＞0，m＞0，则 D.若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣4＜a﹣b＜3 3.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|2x﹣3＜0}，则A∩B＝（　　） A.[﹣2，1] B. C. D.（﹣∞，﹣1] 4.设A＝，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　) A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B 5.已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，则4a﹣2b的取值范围是（　　） A.{x|﹣4＜x＜10} B.{x|﹣3＜x＜6} C.{x|﹣2＜x＜14} D.{x|﹣2≤x≤10} 6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意0<x≤1恒成立，则m的最大值为(　　) A.1 B.－1 C.－3 D.3 7.已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<3，则m的值为(　　) A.－4 B.－5 C.－6 D.－7 8.已知a，b∈R，a+b＝4，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中的真命题有(　　) A.若a>b，则 B.若a>b，则ac2>bc2 C.若ac2>bc2，则a>b D.若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 10.（多选）若满足，则（ ） A. B. C. D. 11.（多选）已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则(　　) A.x1x2＋x1＋x2<0的解集为 B.x1x2＋x1＋x2的最小值为 C.x1＋x2＋的最大值为 D.x1＋x2＋的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.a，b∈R，a>b和同时成立的条件是 . 13.已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则b＝　 　，c＝　 　. 14.已知m＞0，n＞0，且，则的最小值为　 　. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）（1）当p，q都为正数且p+q＝1时，试比较代数式（px+qy）2与px2+qy2的大 小. （2）已知1≤x﹣y≤2，3≤2x+y≤4，求4x﹣y的取值范围. 16.（15分）（1）已知0＜x＜2，求x（2﹣x）的最大值； （2）已知，求的最小值. 17.（15分）解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）. 18.（17分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0成立；命题q：∃x∈R，x2+4mx+1＜0成 立. （1）若命题￢p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 19.（17分）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2. （1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $