第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测拔高卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷聚焦一元二次函数、方程和不等式单元核心内容，通过分层设计（如含参不等式分类讨论、创新定义“下位序列”）与疫情促销利润等真实情境题，考查数学思维与应用意识，适配单元拔高复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|大小比较、基本不等式、定义域等|注重概念辨析与基础方法| |多选题|3|不等式解集、命题真假判断|强化知识综合应用| |填空题|3|恒成立问题、解集非空求参|突出逆向思维| |解答题|6|集合运算、实际利润模型、含参不等式、创新定义|结合疫情情境（17题）与新定义（19题），考查数学建模与逻辑推理|

人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测拔高卷 一、单选题 1．若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 3．若函数的定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的值不可能为（   ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 二、多选题 9．下列四个不等式中解集为R的是（    ） A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2 x＋＞0 C．－2x2＋3x－4＜0 D．x2＋6x＋10＞0 10．设为正实数，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 三、填空题 12．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_______. 13．已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是________． 14．已知x，，且，则的最小值________． 四、解答题 15．已知集合，． (1)求； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16．已知，试比较与的大小. 17．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 19．对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于3、4、8、10，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测拔高卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B B D A C CD AD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】先作差，然后配方即可判断大小. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2．A 【分析】利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出结果. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求和式的最小值，利用基本不等式求最值时也要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【分析】将函数定义域为的问题，转化为恒成立的问题，即可求解. 【详解】函数的定义域为 等价于在上恒成立， 故当时，3成立，满足题意； 当时，要满足题意，只需且即可 解得. 综上所述，要满足题意，只需. 故选：D. 【点睛】本题考查由恒成立求参数的范围问题，属基础题. 4．B 【分析】应用作差法比较大小，即可得解. 【详解】由题设， 又，则，故， 所以. 故选：B 5．B 【分析】根据基本不等式可判断必要性成立，取特殊值代入可判断充分性不成立. 【详解】因为，所以； 若，则，所以“”是“”的必要条件； 取，则，但，所以“”是“”的不充分条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．D 【分析】结合二次函数的性质判断. 【详解】， 当是ABC中的一个值时，，恒成立，因此也恒成立， 当时，，而在时，不可能恒成立，如， 故选：D. 7．A 【分析】把给出的已知条件，右侧配方后可得，再把给出的两个等式联立消去后，得到，利用基本不等式可得，从而得到结果. 【详解】因为所以， ，即，所以， ∴，∴ 即， 故答案选A． 【点睛】该题考查的是有关比较大小的问题，涉及到的知识点有利用作差比较法确定式子的大小的问题，属于简单题目. 8．C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 9．CD 【解析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解. 【详解】对于C项，不等式可化为x2－x＋2＞0， 所以， 所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R； 对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1， 所以x2＋6x＋10＞0的解集为R， 对于A ，B均不可得解集为R， 故选：CD. 10．AD 【解析】A．将变形为并结合正负进行分析；B．利用基本不等式的变形进行分析；C．举例说明是否正确；D．作差法说明是否正确. 【详解】A．由为正实数，，故，故正确； B．因为，所以（取等号时），故错误； C．取，则，但不成立，故错误； D．， 因为且，所以，所以，故正确， 故选：AD. 【点睛】本题考查根据已知条件判断不等式是否正确，主要考查学生的分析与计算能力，难度一般.常见的比较大小的方法：作差法、作商法. 11．ACD 【分析】利用基本不等式及二次函数的性质，逐一分析判断各选项的最值． 【详解】， ，，故， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； ，， ，二次函数开口向下，对称轴为， 的最大值为，但时，，与矛盾，故B错误； ， ， ， ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； ， ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 故选：ACD． 12．-4<k≤0 【分析】对不等式的最高次项的系数进行分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立； 当时，要想不等式对一切实数都成立，则满足： 且，解得，综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题.考查了分类讨论思想. 13． 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【详解】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 14．4 【分析】根据x，，且，将利用“1”的代换，转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为x，，且， 所以 当且仅当，,即时，取等号， 所以的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合，再由集合的运算可得结果； （2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 可得， 所以或． （2）若“”是“”的充分不必要条件，则， 若，则解得； 若，则，且等号不能同时成立，解得， 综上可知，实数m的取值范围为 16． 【分析】观察式子，可通过作差法来求证，在求证中需要多多观察式子的结构特定，尽量往的方向靠拢 【详解】解 ∵， ∴. ∴ ∴ 【点睛】注意比较两个代数式的大小，最基本的方法是作差与零比较.其基本步骤是：①作差；②变形；③判断符号.关键是变形，其中因式分解、配方是重要的变形方法. 17．(1) (2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元 【分析】（1）根据题意列方程即可. （2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得，∴． 所以每件产品的销售价格为（元）， ∴2020年的利润． （2）∵当时，， ∴， 当且仅当即时等号成立． ∴， 即万元时，（万元）． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 18．(1) (2) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）分别讨论，和三种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）当时，. ，即 . 设方程的两根分别为，解得,， 不等式的解为 函数的解集为. （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （i），即时，方程无解，不等式解集为； （ii），即时，方程有唯一解，不等式解集为； （iii），即时，方程有两解， ，且， 则不等式解集为. ③时，开口向下，此时，显然，方程有两解， ，且，不等式解集为. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19．(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意，列出不等式，分析即可得答案. （2）由题意可得，利用作差法进行比较，即可得答案. （3）由题意得，进而可得，化简整理，根据m，n，k为正整数，分析即可得答案. 【详解】（1）是，理由如下： 因为，所以是的“下位序列”. （2）因为是的“下位序列”， 所以， 因为均为正数， 所以，即， 同理，即， 所以. （3）由已知得， 因为m，n，k为正整数， 所以， 所以， 整理得， 因为该式对集合内的每一个都成立， 所以当时，， 所以正整数n的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $