第一章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心素养，融合文化传承（赵爽弦图、《九章算术》）与实际应用（风筝测量、台风影响），适配八年级上册单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、勾股数应用、正方形面积关联|格点直角三角形构造（题5）考查空间观念| |填空题|6/18|最短路径、垂直平分线应用、赵爽弦图|蚂蚁爬行问题（题13）体现几何直观| |解答题|8/72|折叠问题、实际测量、定理证明|赵爽弦图面积法证明（题23）培养推理能力，湖心岛距离计算（题24）发展模型意识|

第一章 勾股定理（培优卷）2026-2027学年北师大版数学八年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A．∠A=∠B+∠C B．a：b：c=5：12：13 C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D． 2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（　　） A．9 B．12 C．14 D．35 4．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm)，计算两圆孔中心 A 和B 的距离为(　　) A．90 mm B．100 mm C．120 mm D．150 mm 5．如图，在4×4方格中作以AB为一边的 ，要求点 C 也在格点上，这样的Rt△ABC能作出(　　). A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 6．如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（　　）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（　　） A． B． C． D． 8．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为（ ） A． B． C．12 D．25 9．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图所示，是一块由花园小道围成的正方形绿地，AC=24米，在离C处7米的绿地旁边 B 处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B，请问沿小道从A→C→B 与从 A 沿直线到 B 相比多走了　 　米. 12．如图， △ABC中， ∠C=90°， AC=6， BC=8， AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于E，连接AE，则BE的长为　 　. 13． 如图， 一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm， 12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是　 　cm． 14． 如图，已知A，B，C，D四个城镇（除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下： AB 20元， AC 25元 A D 16元， BD 12元 CD 9元 为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价是 　 　 元． 15．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　. 16．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为　 　寸． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 18．如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 19．图①、图②均是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C、D均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图. （1）在图①中，确定格点E，作射线λE，使； （2）在图②中，确定格点F，作射线AF，使 20． 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝离地面的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实际测量，并形成了如下的活动报告. 活动课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 测量工具 测角仪、测距仪等 测量数据及示意图 兴趣小组的甲同学站在地面上的点E处，牵风筝的手位于点B处，风筝位于点A处，乙同学利用测距仪测得水平距离ED=30米，根据甲同学手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为34米，牵线的手到地面的距离BE=2米 说明 已知BC=ED，CD=BE，BC⊥AD于点C …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算风筝离地面的垂直高度AD. 21．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域. （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间 22．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题. 活动项目 测量风筝的垂直高度 EF. 测量工具 皮尺等. 示意图 测量方案 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB. 测量数据 BD=16米， BF=20米， AB=DE=1.7米， ∠BDF=90°. 问题解决 任务一 求此时风筝的垂直高度EF； 任务二 若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即： CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米? 23．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 24．【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】6 12．【答案】 13．【答案】20 14．【答案】15 15．【答案】 16．【答案】101 17．【答案】（1）解：∵，，， ∴． （2）证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 18．【答案】（1）解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； （2）解：由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 19．【答案】（1）观察网格，AC 竖直占 2 格，CB 水平占 1 格，在 AD 右侧网格找格点 E，使 AD 水平占 1 格、DE 竖直占 2 格，连接 A、E 作射线 AE；两组直角三角形直角边对应成比例，三角形全等，对应角相等，即∠DAE=∠BAC。 （2）网格中可构造直角边均为 1 格的等腰直角三角形，其锐角为 45°，拆分 45° 角，取格点 F 使∠DAF 与∠BAC 拼接后恰好等于 45°，连接 A、F 作射线 AF，满足∠DAF+∠BAC=45°。 20．【答案】解：∵BC⊥AD于点 C， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， ∵AB=34米，BC=ED=30米， 米， ∴AD=AC+CD=16+2=18(米). 即风筝离地面的垂直高度AD为18米 21．【答案】（1）解： (1) 在Rt△ABC中，AC=300km，BC=400km， 答：监测点A 与监测点 B 之间的距离为500km； （2）解：海港C受台风影响， 理由： ∵∠ACB=90°， CE⊥AB， ∴300×400=500CE， ∴CE=240 (km) ， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响. ∵CP=CQ=260km ∴在Rt△CEP中，CE2+PE2=CP2，即2402+PE2=2602 解得：PE=100 同理得：QE=100km ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为：(100+100)÷25=8(h) 答：台风影响该海港8小时. 22．【答案】解：任务一：由题意得， AB=DE=1.7米，在 Rt△BDF中，由勾股定理得 ∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米). 答：此时风筝的垂直高度EF为13.7米. 任务二：由题意得， CD=CF+DF=12+18=30米，在 Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴BC-BF=34-20=14(米)， 答：还需放出风筝线14米 23．【答案】解：（1）， （2）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为： 24．【答案】解：（1）由题可知，，，， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①60米； ②不符合，， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）5 1 学科网（北京）股份有限公司 $