1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量判定线面位置关系，以“基础概念→综合应用→探究证明”分层设计，适配新授课预习，强化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（8题）|方向向量/法向量平行、垂直的坐标运算|选择题1-5直接考查向量共线、数量积公式，夯实概念理解| |进阶层（5题）|线面平行判定、向量关系综合应用|多选题9-11结合平行六面体等模型，训练空间向量工具性思维| |综合层（3题）|线面垂直证明、动态几何问题探究|解答题15-16以正方体、四棱锥为载体，融合逻辑推理与空间想象|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 ，则(　　) A.x＝6，y＝15   B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15   D.x＝6，y＝ 【答案】D 【解析】由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝.故选D. 2.已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，则实数m的值为(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.以上答案都不正确 【答案】C 【解析】由题意知a∥b. 因为b＝(4，2－2m，2－2m)≠0， 所以当m≠1时，有＝成立， 故＝－， 解得m＝3. 当m＝1时，a＝(2，0，0)，b＝(4，0，0)，满足题意. 故m的值为1或3. 3.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A.(1，1，1)   B. C.   D. 【答案】C 【解析】方法一　由题意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，，0)，则＝(－，0，1)，＝(，－，0)， 设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 解得 令z＝，则x＝1，y＝1， 所以平面BDE的一个法向量为n＝(1，1，)， 又∵＝(a－，a－，1)， ∴·n＝a－＋a－＋＝0， 解得a＝，所以M. 方法二　如图，设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE， 可得AM∥EO， 又因为O是正方形ABCD对角线交点， 所以M为线段EF的中点． 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)． 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m等于(　　) A.－4 B.－6 C.－8 D.8 【答案】C 【解析】∵l∥α，平面α的法向量为， ∴(2，m，1)·＝0， 即2＋m＋2＝0，解得m＝－8. 5.已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A.2 B.－4 C.4 D.－2 【答案】C 【解析】因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4. 6.（2025-2026·辽宁铁岭高二上期末）已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为平面，所以两平面的法向量与共线. 存在实数，满足. 据此列出方程组：，由，解得. 将代入，得，解得. 将与代入，计算得. 故选：D. 7.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）若，则直线AB与CD的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 【答案】D 【解析】由，得，即直线与的方向向量垂直. 所以直线与的位置关系为相交垂直或异面垂直，即相交或异面，故D正确. 答案为D. 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A.EF至多与A1D，AC中的一个垂直 B.EF⊥A1D，EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 【答案】B 【解析】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0，1,0)，E， F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 则＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)， ∴＝－，·＝(－1)×＋0×＋(－1)×＝0，·＝(－1)×＋1×＋0×＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B. 二、多选题（共3小题） 9.设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A.a＝，b＝(－2，－4,0) B.a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) C.a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) D.a＝(－2，－1,1)，b＝(4，－2，－8) 【答案】AB 【解析】对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确． 10.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 【答案】AD 【解析】若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是(　　) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 【答案】ACD 【解析】因为＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 所以∥，从而A1M∥D1P，可得ACD正确． 又B1Q与D1P不平行，所以B1Q与A1M不平行，故B不正确． 三、填空题（共3小题） 12.在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为                  ． 【答案】或 【解析】由题意得⊥，即＝0. ∴cos x·(2cos x＋1)－(2cos 2x＋2)＝0. 整理得，2cos2 x－cos x＝0. ∴cos x＝0或cos x＝. 又x∈[0，π]，∴x＝或x＝. 13.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则                  ． 【答案】15 【解析】因为，所以，即， 解得：， 所以. 14.已知，分别是平面的法向量，若，则                  ． 【答案】 【解析】由可知，即，可得，解得． 四、解答题（共2小题） 15.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD. 【答案】证明　如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设DC＝a. (1)连接AC交BD于G，连接EG. 依题意得A(a，0,0)，P(0,0，a)，E. ∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心． 故点G的坐标为. ∵＝(a，0，－a)，＝， ∴＝2，∴∥，又∵PA，EG无公共点， ∴PA∥EG.又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，＝， 故·＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD，∴PB⊥平面EFD. 16.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置． 【答案】如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则D(0,0,0)， B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． (1)证明　设E(0，a，e)，则＝(－a，a，e－a)， 又＝(－a，－a，0)， ∴·＝(－a)2－a2＋0＝0. ∴⊥，即A1E⊥BD. (2)解　E为CC1的中点，理由如下： 假设点E是CC1的中点，则E. 如图，设BD的中点为O ，连接OE，OA1，则O，＝， 又＝(－a，－a，0)， 所以·＝－＋0＝0， ∴⊥，即OE⊥BD. 易知OA1⊥BD，∴∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角． ∵·＝·＝－－＋＝0， ∴⊥，即OA1⊥OE. 则∠A1OE＝90°， ∴平面A1BD⊥平面EBD， ∴当点E为CC1的中点时，满足平面A1BD⊥平面EBD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 ，则(　　) A.x＝6，y＝15   B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15   D.x＝6，y＝ 2.已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，则实数m的值为(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.以上答案都不正确 3.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A.(1，1，1)   B. C.   D. 4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m等于(　　) A.－4 B.－6 C.－8 D.8 5.已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A.2 B.－4 C.4 D.－2 6.（2025-2026·辽宁铁岭高二上期末）已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（ ） A. B. C. D. 7.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）若，则直线AB与CD的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A.EF至多与A1D，AC中的一个垂直 B.EF⊥A1D，EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 二、多选题（共3小题） 9.设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A.a＝，b＝(－2，－4,0) B.a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) C.a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) D.a＝(－2，－1,1)，b＝(4，－2，－8) 10.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是(　　) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 三、填空题（共3小题） 12.在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为                  ． 13.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则                  ． 14.已知，分别是平面的法向量，若，则                  ． 四、解答题（共2小题） 15.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD. 16.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $