1.4.1用空间向量研究直线、平面之间的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 本同步练习以北京地区期中真题为核心，分层设计基础概念、运算应用及综合证明题，构建从单一知识点到空间关系推理的巩固路径，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|直线方向向量、平面法向量概念|通过具体坐标题巩固定义（如单选1求方向向量），培养几何直观| |运算应用|位置关系向量表示及充要条件判断|结合逻辑推理（如单选3法向量的充要条件），发展推理能力| |综合探究|空间向量在几何证明中的应用|以三棱柱模型设计证明题（如解答题16线面平行），提升空间观念与论证能力|

1.4.1用空间向量研究直线、平面之间的位置关系（北京专用） 教材知识梳理 1.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线上取非零向量à，则对于直线l上任意一点P,由数乘向量 的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数入，使得OP=λā.我们把与向量a平行的非 零向量称为直线的 2.平面的法向量 如图，直线l⊥a,取直线l的方向向量a,称向量a为平面c的 给定一个点A和一个向量ā，那么过点A,且以向量ā为法向量的平面完全确定，可以表示 为集合 3.求平面法向量的步骤： (1)设向量：设平面的法向量为=(x,y,z】 (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB,AC, (3)列方程组：由 列出方程组 (4)解方程组n·AB=0 i·AC=0 (5)赋非零值：取X,y,Z的其中一个为 (常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量 4.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 试卷第1页，共3页 1l2 i1‖i2元=λλ≠0 直线l1,2的方向向量分别为n1,2 11⊥12 i112ii=0 直线1的方向向量为n,平面a的法向量 Ia 方⊥mim=0 为m 1⊥a n‖m~n=λiλ≠0 alβ 5‖t-§=λλ≠0 平面a,B的法向量分别为3，t a⊥B §1tst=0 (1)直线1的方向向量是唯一的.( (2)若点A,B是平面a上的任意两点，n是平面a的法向量，则AB·方=0.( (3)若向量i,2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定 平行.( ) 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高一上北京朝阳期中)若点A-1,0,2,B1,4,10在直线1上，则直线1的一 个方向向量为() A.1,2,4 B.1,4,2 C.0,2,-1 D.0,4,12 2.(25-26高二上北京期中)已知A2,41,B1,2,X平面a的一个法向量为n=11,1 若AB/1平面a,则x=() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26高二上北京西城期中)空间直角坐标系中，已知A1,0,0,B0,1,0, C0,0,a,则“a=1”是“i=1,1,a为平面ABC的法向量”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高二上北京顺义期中)在直线l的方向向量为à=1,3,2，α的法向量为 n=-2,0,1,则() A.1//a B.1⊥a c.lca或l/a D.l与c相交但不垂直 5.(25-26高二上·北京·期中)已知直线l的一个方向向量为)，平面@的一个法向量为n, 试卷第2页，共3页 则“v⊥i”是“la”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.（25-26高二上·北京通州·期中)已知直线l的方向向量为i=x,2,-1,平面α的法向 量为n=-2,y,2,若1⊥0，则x+y=() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 7.(25-26高二上北京大兴期中)己知a为平面的法向量，点A,B在直线b上，则“ a·AB=0”是“ba”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8。(25-26高二上·北京延庆期中)已知是空间中直线1的方向向量，是平面a的一个法 向量，那么“，”是“直线与平面a平行”的() v上n A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 9.（25-26高二上北京期中)已知直线l1的一个方向向量是ā=1,2，-1，直线l2的一个 方向向量是6=-3,2，川若1115则1= 10.(25-26高二上北京阶段检测)已知空间向量OA=x,y,8”OB=2,3,4 OA11OB'且|AB=52则实数z的值为 1山.(25-26高二上北京顺义：阶段检测)已知a=m,-2,6是直线的方向向量， b=1,n,-3是平面α的法向量.若直线11a,则m-n= 12.(24-25高二上·北京丰台·期末)已知平面的一个法向量为à=(x,3,2),平面的一个 试卷第3页，共3页 法向量为6=-L,y,l八若aB:则x+y= 13.(23-24高二上·北京期中)直线m的方向向量为m=1,-2,入，直线n的方向向量为 方=-2,45平面。的法向量为家=4，-8，ym1n'n1c则4y的值依次为 三、解答题 14.(25-26高二上北京西城期中)已知向量ā=0,1，-2万=1,01”c=2,k,0 (1)若a+上2求k的值： 2)若a+t6求k:t的值 15.(24-25高二上·北京，期中)直三棱柱ABC-A1BC1的底面△ABC中，CA=CB=1, ∠BCA=90°，棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A1A的中点，如图，建立空间直角坐 标系 A B B (1)求BN的坐标及BN的长： (2)求证：A1B⊥C,M 16.(25-26高二上北京期中)如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，△ABC是正三角形， 侧面ABB1A1是边长为2的菱形，D是BC中点. A D 试卷第4页，共3页 (1)求证：A1B/平面AC1D: (2)若BB1⊥平面ABC,判断直线A1B1与平面AC1D的位置关系，并加以证明. 试卷第5页，共3页 1.4.1用空间向量研究直线、平面之间的位置关系（北京专用） 教材知识梳理 1．直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的________． 【答案】方向向量 2．平面的法向量 如图，直线，取直线l的方向向量，称向量为平面的_________． 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合__________________． 【答案】 法向量 3．求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为. （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由_________列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为________(常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 【答案】 非零值 4．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 5．判断正误 （1）直线l的方向向量是唯一的．( ) （2）若点A，B是平面上的任意两点，是平面的法向量，则．( ) （3）若向量为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( ) 【答案】 × √ √ 【详解】（1）由于向量的模唱没有确定，所以直线l的方向向量有无数个； （2）由平面法向量概念可知正确； （3）由向量为平面的法向量，所以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行，正确. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高一上·北京朝阳·期中）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方向向量的概念求解， 【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意， 故选：A 2．（25-26高二上·北京·期中）已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平面，平面的一个法向量为，由求解. 【详解】因为， 所以， 又因为平面的一个法向量为， 若平面，则， 则，解得 故选：D. 3．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·北京顺义·期中）在直线的方向向量为，的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与相交但不垂直 【答案】C 【分析】首先可得，即可得到，从而判断. 【详解】因为直线的方向向量为，的法向量为， 所以，即， 所以或. 故选：C 5．（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用条件判断直线与平面的位置关系即可. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，所以或. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 7．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】由可得或，所以推不出， 当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 8．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】要解决这个问题，我们需要分析“”与“直线与平面平行”之间的逻辑关系，判断是充分条件、必要条件还是充要条件. 【详解】当时，直线与平面平行或直线在平面内， 因此，“”不能推出“直线与平面平行”，所以充分性不成立. 如果直线与平面平行，那么直线的方向向量与平面的一个法向量一定垂直， 所以“直线与平面平行”可以推出“”，因此必要性成立. 综上，“”是“直线与平面平行”的必要不充分条件. 故选：B 二、填空题 9．（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，若，则__________. 【答案】 【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，且， 所以，即，解得. 故答案为： 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量，，，且，则实数z的值为______． 【答案】 【分析】根据向量共线定理和模长公式得到方程组，解出即可. 【详解】因为，所以存在，使得， 又因为，而， 则，解得或， 故答案为：. 11．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则___________． 【答案】 【分析】根据线面垂直的条件列方程，化简求得的值. 【详解】由，得： 与 平行，即存在 使得 . 即，得： ，解 得：， 因此，. 故答案为： 12．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______. 【答案】/ 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解． 【详解】根据题意，若，则，又，， 所以，解得，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二上·北京·期中）直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，，，则、、的值依次为__________. 【答案】、、 【分析】依题意可得、，即可求出、、的值. 【详解】因为，直线的方向向量为，直线的方向向量为， 所以，则，即，解得， 因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，所以，解得， 则、、的值依次为、、. 故答案为：、、 三、解答题 14．（25-26高二上·北京西城·期中）已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算法则及垂直时的坐标关系进行运算即可； （2）根据空间向量的坐标运算法则及平行时的坐标关系进行运算即可. 【详解】（1）由题可得，， 又， 所以， 解得； （2）由题可得， 又，， 则， 所以， 解得. 15．（24-25高二上·北京·期中）直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【答案】(1)； (2) 由（1）可得：， 因为，所以. 【分析】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长； （2）由（1）求，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 则，可得， 所以的长为. （2）略 16．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】(1) 在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. (2) 直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $