1.3.2空间向量运算的坐标表示 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，以“基础概念→综合应用→拓展探究”分层设计，通过选择、填空、解答题梯度进阶，强化数学抽象与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|向量坐标表示、中点坐标|8道选择题，如正方体中点坐标，直接考查概念理解| |中档|向量垂直/平行、空间基底|3道多选题+部分选择题，如基底判断，需综合概念辨析| |提升|轨迹问题、投影向量|3道填空+2道解答题，如动点轨迹长度，融合空间想象与推理|

1.3.2空间向量运算的坐标表示 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知点.则向量（    ） A. B. C. D. 2.已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 3.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为(　　) A. B. C. D. 4.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　) A. B. C. D. 5.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为(　　) A. B. C. D. 6.已知＝(2，－3,2)，C，D(x，y,0)，且∥，则x，y的值分别为(　　) A.3,1 B.4，－ C.3，－1 D.1,1 7.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）已知向量，，则在上的投影向量为（） A. B. C. D. 8.已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b夹角的取值范围为(  ) A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.以下各选项中的三个向量，能构成空间基底的是(　) A.a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝ B.a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，2) C.a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，c＝(2，1，2) D.a＝(1，1，1)，b＝(0，1，0)，c＝(1，0，2) 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.·(－)＝0 D.＝＋＋ 11.（2024-2025·湖南高二月考）已知，则以下坐标表示的点在平面ABC内的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为                  ． 13.已知单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3，满足m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＋y＋z＝                  . 14.已知a＋b＝(2，，)，a－b＝(0，，)，则a＝                  ，b＝                  ，a·b＝                  . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南邵阳高一下期末）已知向量，，，求： (1)； (2)在上的投影向量. 16.已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2空间向量运算的坐标表示 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知点.则向量（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以， 故选：B. 2.已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，，， 因为 ， 所以点P的坐标为． 故选：D. 3.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0， 又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°， 所以点D的竖坐标z＝4·sin 30°·sin 60°＝， 纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1， 所以D(0，－1，). 所以AD＝ ＝.故选D. 4.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得AB中点M，又C(0，1，0)，所以＝，故M到C的距离为CM＝||＝＝. 5.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知得ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝0，即5k－7＝0，解得k＝．故选D． 6.已知＝(2，－3,2)，C，D(x，y,0)，且∥，则x，y的值分别为(　　) A.3,1 B.4，－ C.3，－1 D.1,1 【答案】C 【解析】因为＝(2，－3,2)，C，D(x，y,0)，且∥， 所以＝，所以＝＝，解得x＝3，y＝－1．故选C． 7.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）已知向量，，则在上的投影向量为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. . 在上的投影scalar为. 的单位向量为. 投影向量为. 故答案为：A. 8.已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b夹角的取值范围为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】a，b是单位向量，由|xa＋b|≥得(xa＋b2)≥⇔x2＋2(a·b)x＋≥0， 依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b2)－1≤0，解得－≤a·b≤， 而cos 〈a，b〉＝＝a·b，则－≤cos〈a，b〉≤， 又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减， 因此≤〈a，b〉≤，所以向量a，b夹角的取值范围为.故选B. 二、多选题（共3小题） 9.以下各选项中的三个向量，能构成空间基底的是(　) A.a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝ B.a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，2) C.a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，c＝(2，1，2) D.a＝(1，1，1)，b＝(0，1，0)，c＝(1，0，2) 【答案】BCD 【解析】若空间三个向量a，b，c能构成空间的一个基底，则向量a，b，c不共面. 对于选项A，因为a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝，则c＝a－b，即向量a，b，c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底. 选项B，C，D中的三个向量均不共面，即都能构成空间的基底. 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.·(－)＝0 D.＝＋＋ 【答案】ACD 【解析】设正方体棱长为2， 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，M(2，0，1)，N(2，2，1)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)． 对于A，＝(－2，2，0)，＝(2，2，－1)，则·＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，故A正确； 对于B，＝(－2，2，－1)，则·＝－4＋4＋1＝1≠0，所以⊥不成立，故B错误； 对于C，－＝＝(2，2，0)，则·(－)＝－4＋4＋0＝0，故C正确； 对于D，＋＋＝(0，2，0)＋(0，0，－2)＋(－2，0，0)＝(－2，2，－1)＝，故D正确． 11.（2024-2025·湖南高二月考）已知，则以下坐标表示的点在平面ABC内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】设选项中的点为， 因为 所以 ， 又，，，四点共面，则存在，，使得， 即 ，即， 所以 对于A选项，2+1+1=4，故点在平面ABC内； 对于B选项，故点在平面ABC内； 对于C选项，故点不在平面ABC内； 对于D选项，故点在平面ABC内. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为                  ． 【答案】 【解析】以A为坐标原点，，，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，C(2，2，0)，D1(2，0，2)，E(0，0，1)，C1(2，2，2)，M(0，y，z)，∴＝(0，－2，2)，＝(2，0，1)，＝(－2，y－2，z－2)， 设平面CD1E的法向量n＝(a，b，c)， ∴ 即 令a＝1，得b＝－2，c＝－2. 则n＝(1，－2，－2)， ∵C1M∥平面CD1E， ∴·n＝0， 即－2－2(y－2)－2(z－2)＝0，化简得y＋z－3＝0， ∵M是正方形ABB1A1内的动点， ∴M点的轨迹长度为＝. 故答案为. 13.已知单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3，满足m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＋y＋z＝                  . 【答案】8 【解析】因为e1⊥e2，e2⊥e3， 所以e1·e2＝0，e2·e3＝0. 又因为e1，e2，e3都是单位向量， 所以＝＝＝1. 又因为e1·e3＝，m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5， 所以由m·e1＝4得m·e1＝x＋ye2·e1＋ze3·e1， 即4＝x＋z，① 由m·e2＝3得m·e2＝xe1·e2＋y＋ze3·e2，即3＝y； 由m·e3＝5得m·e3＝xe1·e3＋ye2·e3＋z， 即5＝x＋z.② 由①②得x＋z＝5，因此x＋y＋z＝5＋3＝8. 14.已知a＋b＝(2，，)，a－b＝(0，，)，则a＝                  ，b＝                  ，a·b＝                  . 【答案】(1，，)　 (1，0，0)　1 【解析】由题意得a＋b＝(2，，)，a－b＝(0，，)， ∴a＝(1，，)，b＝(1，0，0)， ∴a·b＝1＋0＋0＝1. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南邵阳高一下期末）已知向量，，，求： (1)； (2)在上的投影向量. 【答案】解：(1)由，得，因为，所以，代入坐标得，解得. 计算得，故. (2)由投影向量定义得，化简得，代入、的坐标计算得. 16.已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 【答案】解：（1）由题意， ， 因为互相垂直，所以 ， 解得或； （2）， 设，则且， 解得或， 故或； 学科网（北京）股份有限公司 $