1.2.2空间向量的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，通过梯度化题型实现空间向量坐标表示从概念理解到综合应用的巩固路径，培养数学运算、空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量坐标运算、模与距离、数量积等单一知识点|5道填空+3道选择，直接应用公式，如向量加减、模计算，强化数学语言表达| |能力提升|三点坐标综合应用、基底判断|2道解答题，需整合坐标运算与逻辑推理，如求夹角余弦值，发展数学思维| |拓展探究|立体几何情境应用|1道正方体问题，建立坐标系解决垂直证明，体现数学眼光的空间观念|

人教版高二数学选择性必修第一册·空间向量同步练习 人教A版高中数学选择性必修第一册 1.2.2　空间向量的坐标表示　同步练习 第五课时 一、考点梳理 空间直角坐标系：右手系，O-xyz，三轴两两垂直。 向量坐标：在正交基底{e1, e2, e3}下，a = a1e1 + a2e2 + a3e3 记为 a = (a1, a2, a3)。 坐标运算：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)；a − b = (a1−b1, a2−b2, a3−b3)；λa = (λa1, λa2, λa3)。 数量积坐标：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。 模与距离：|a| = √(a1²+a2²+a3²)；|AB| = √((x2−x1)²+(y2−y1)²+(z2−z1)²)。 夹角公式：cos⟨, ⟩ = (·)/(||·||)。 中点公式：AB 中点 M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)。 二、基础巩固 填空题 1. [基础] 已知 = (1, 2, 3)， = (−1, 1, 0)，则 + = 。 2. [基础] 已知 = (2, −1, 3)，则 || = 。 3. [基础] 已知 A(1, 0, 2)，B(3, 1, −1)，则 || = 。 4. [基础] 已知 = (1, 2, −2)， = (2, −1, 1)，则 · = 。 5. [基础] 已知 A(1, 2, 3)，B(3, −1, 5)，则 中点坐标为 。 选择题 6. [基础] 已知 = (1, 2, 3)， = (−2, 1, 0)，则 · = A. 0 B. 1 C. −1 D. 2 7. [基础] 已知 = (1, 2, −1)， = (2, 0, 1)，则 cos⟨, ⟩ = A. 1/6 B. √30/30 C. √30/10 D. √30/6 8. [提升] 已知 = (1, 2, 3)， = (1, −1, λ)，若 ⊥ ，则 λ = A. 1/3 B. −1/3 C. 1 D. −1 三、能力提升 9. [提升] 已知 A(1, 2, 3)，B(2, −1, 5)，C(3, 2, −1)。 (1) 求 · (2) 求 ∠B 的余弦值 10. [提升] 已知 = (1, 2, 3)， = (2, 1, −1)， = (−1, 1, 2)。 (1) 判断{, , }是否能构成空间基底（可由解方程组判断） (2) 若 = + − ，求 || 四、拓展探究 11. [拓展] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 1，建立空间直角坐标系。 (1) 求 AC1·BD (2) 证明：AC1 ⊥ BD 参考答案 填空题 1. [基础] (0, 3, 3) 解析：+ = (1−1, 2+1, 3+0) = (0, 3, 3)。 2. [基础] √14 解析：|| = √(4+1+9) = √14。 3. [基础] √14 解析： = (2, 1, −3)，|| = √(4+1+9) = √14。 4. [基础] −2 解析：· = 1×2 + 2×(−1) + (−2)×1 = 2−2−2 = −2。 5. [基础] (2, 1/2, 4) 解析：中点 = ((1+3)/2, (2−1)/2, (3+5)/2) = (2, 1/2, 4)。 选择题 6. [基础] A 解析：· = −2+2+0 = 0。 7. [基础] B 解析：· = 2+0−1 = 1，|| = √6，|| = √5，cos = 1/√30 = √30/30。 8. [提升] A 解析：⊥ ⇒ · = 0，即 1−2+3λ = 0，λ = 1/3。 能力提升 9. [提升] = (1, −3, 2)， = (2, 0, −4)。 (1) · = 2+0−8 = −6。 (2) || = √14，|| = √20 = 2√5。 cos∠B = −6/(√14×2√5) = −3/√70 = −3√70/70。□ 10. [提升] (1) 设 x + y + z = ，由坐标得方程组，解得 x = y = z = 0，故不共面，能构成基底。 (2) = (1, 2, 3)+(2, 1, −1)−(−1, 1, 2) = (4, 2, 0)。 || = √(16+4) = √20 = 2√5。□ 拓展探究 11. [拓展] 建系：A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), C1(1,1,1)。 AC1 = (1,1,1)，BD = (−1,1,0)。 (1) AC1·BD = −1+1+0 = 0。 (2) 由 AC1·BD = 0 且 AC1, BD 均非零，故 AC1 ⊥ BD。□ 学科网（北京）股份有限公司 $