专题 2.5 圆的方程（8类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆的方程”核心知识点，从圆的定义出发，系统梳理标准方程、一般方程的形式及适用条件，明确二元二次方程表示圆的条件，延伸至点与圆的位置关系、轨迹方程、对称及最值问题，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“知识梳理+考点突破”设计，通过8个考点的例题覆盖不同情境，培养学生用数学眼光抽象几何关系，用数学思维推理方程转化与轨迹形成，用数学语言表达对称及最值问题。课中辅助教师系统教学，课后助力学生实例巩固，查漏补缺。

专题2.5 圆的方程 【知识梳理】 1 【考点1：求圆的方程】 3 【考点2：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 4 【考点3：二元二次方程与圆的方程】 4 【考点4：圆过定点问题】 5 【考点5：点与圆的位置关系】 5 【考点6：圆有关的轨迹问题】 6 【考点7：与圆有关的对称问题】 7 【考点8：与圆有关的最值问题】 8 【知识梳理】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 7.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 8．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【考点1：求圆的方程】 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 5．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【考点2：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）圆的圆心坐标为_________． 4．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 5．（专题10直线和圆（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____. 【考点3：二元二次方程与圆的方程】 1．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 4．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 5．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【考点4：圆过定点问题】 1．（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 4．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 5．（圆锥曲线42曲线的参数方程与曲线系方程）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【考点5：点与圆的位置关系】 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 4．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【考点6：圆有关的轨迹问题】 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 3．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）若平面内两定点间的距离为4，动点满足，则的最大值是______． 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【考点7：与圆有关的对称问题】 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 4．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 5．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【考点8：与圆有关的最值问题】 1．（25-26高一下·河南·期末）已知复数z满足，则的最小值为_____． 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 3．（2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 圆的方程 【知识梳理】 1 【考点1：求圆的方程】 3 【考点2：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 5 【考点3：二元二次方程与圆的方程】 6 【考点4：圆过定点问题】 8 【考点5：点与圆的位置关系】 10 【考点6：圆有关的轨迹问题】 12 【考点7：与圆有关的对称问题】 15 【考点8：与圆有关的最值问题】 18 【知识梳理】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 7.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 8．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【考点1：求圆的方程】 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 3．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 5．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 【考点2：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 4．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 5．（专题10直线和圆（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____. 【答案】 【分析】将一般方程转化为标准方程，代入面积公式，即可得答案. 【详解】易知圆的标准方程为 所以圆的面积为. 故答案为： 【考点3：二元二次方程与圆的方程】 1．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 2．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 4．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 【考点4：圆过定点问题】 1．（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 4．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 5．（圆锥曲线42曲线的参数方程与曲线系方程）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 【考点5：点与圆的位置关系】 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 4．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 5．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 【考点6：圆有关的轨迹问题】 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 3．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）若平面内两定点间的距离为4，动点满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设根据已知得出点的轨迹方程，然后表示出，根据所得表达式结合已知条件分析求解即可. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：       因为，所以，设， 由得：，两边平方化简得： ，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为 的圆， 如图所示：           此时，           所以， 又，则， 所以， 因为点在圆上运动， 所以要使有最大值，即点在点处， 此时，所以的最大值为：. 故答案为： 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 【考点7：与圆有关的对称问题】 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 3．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 4．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 5．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【考点8：与圆有关的最值问题】 1．（25-26高一下·河南·期末）已知复数z满足，则的最小值为_____． 【答案】2 【分析】几何法思路： 根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为，用圆心距减去半径即可得到最小值． 代数法思路： 设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值． 【详解】方法一：几何法    复数在复平面内对应的点为， 表示点在以为圆心、半径的圆上， 表示点到原点的距离． 圆心到原点的距离为， 因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径， 即． 方法二：代数法 设， 由得，即， 所以， 由圆的范围，得， 当时，． 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 3．（2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 4．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $