2.4 圆的方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京适用）

本讲义聚焦高中数学“圆的方程”核心知识点，系统梳理圆的标准方程、一般方程、直径式方程的形式及转化方法，衔接几何性质（如弦中垂线过圆心）、对称圆求解、轨迹方程（直接法、相关点法、隐圆法）等内容，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以北京高考考纲为导向，通过十大题型分类及通用解题模板强化数学思维，如利用几何性质简化计算，结合轨迹方程规范表达培养数学语言。高频易错点总结助力学生规避错误，课中辅助教师高效授课，课后便于学生针对性查漏补缺，提升解题能力。

圆的方程 1．（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 4．（20-21高二上·北京丰台·期中）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】由题意可知是，的中点为是， 则圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：D． 5．（24-25高二上·北京海淀·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心的对称点坐后可得圆方程． 【详解】圆的圆心坐标为，它关于直线对称点为， 因此对称圆方程为， 故选：B． 6．（24-25高二上·北京·期中）圆心为，且半径为的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心与半径直接可得圆的方程. 【详解】由已知圆心为，且半径为， 则圆的方程是. 故选：D. 7．（24-25高二上·北京·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知点坐标代入圆方程，变更字母即可得． 【详解】圆C：过点，则， 所以圆心的轨迹方程是， 故选：D． 8．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆心，根据得到方程，求出，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 9．（17-18高二上·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出圆的方程，代入点运算可得解. 【详解】根据题意设所求圆的方程为， 代入点，得， 所以所求圆的方程为． 故选：B． 10．（23-24高二上·北京·期中）圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求圆的圆心坐标为，求出圆心坐标和半径，继而求出圆的方程. 【详解】解：根据题意：所求圆的圆心在直线上， 则设所求圆的圆心坐标为， 又由所求圆与轴相切于点，则圆心在直线上，则， 所求圆的半径， 故所求圆的方程为， 所以A正确，B，C，D错误. 故选：A 11．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 【答案】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程． 【详解】，所以半径， 又∵，， ∴线段的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：． 12．（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为__________ 【答案】 【分析】由垂径定理找到圆心，然后得到半径，即可写出圆的方程. 【详解】设，则中点， 过点作直线，使得，则， 联立方程组，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 13．（2.4圆的方程）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是______． 【答案】 【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解. 【详解】方法一：圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则，解得， 所以圆的标准方程为． 方法二：弦的中点为，且直线平行于轴， 则弦的垂直平分线为直线，即圆心． 所以半径， 则圆的标准方程为． 故答案为： 14．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 15．（24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 16．（23-24高二上·北京通州·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)求点A的坐标； (2)求经过点P且与直线平行的直线方程； (3)求以为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解； （2）求出直线的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程； （3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程. 【详解】（1）由解得， 所以直线与的交点为. （2）由得直线的斜率为， 又点P的坐标为， 所以经过点P且与直线平行的直线方程为，即. （3）因为，，所以的中点坐标为，， 所以以为直径的圆的方程为. 17．（20-21高二上·北京·期中）经过三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 18．（18-19高三·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长. 【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 又由A（4，4），B（4，0），C（0，4）， 则有， 解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0， 即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0， 令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4， 即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0）， 则圆被x轴截得的弦长为4； 故选A． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程． 19．（23-24高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求圆的标准方程为，代入各点坐标求出的值即可. 【详解】由题意设所求圆的标准方程为，代入各点坐标得， ，解得， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 20．（22-23高二上·北京昌平·期中）①坐标系中，经过三点的圆的方程为___________ ②过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】①设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径. ②首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程即可. 【详解】①设所求圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 所以，所求圆的方程为 ②设圆的标准方程为，由题知： ， 所以标准方程为. 故答案为: ， 21．（25-26高二上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． (1)直接写出直线，的斜率，； (2)设与交于点，与交于点，与交于点． （ⅰ）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）求过，，三点的圆的方程． 【答案】(1)， (2)（ⅰ），，，线段的垂直平分线的方程为； （ⅱ） 【分析】（1）根据直线方程写出斜率即可； （2）（ⅰ）联立方程可求交点坐标，结合垂直关系和中点可求线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）根据圆的特征可求圆心和半径，写出方程即可. 【详解】（1）:的斜率为，：的斜率为. （2）（ⅰ）联立，可得; 联立，可得; 联立，可得; 线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （ⅱ）由图可知,过，，三点的圆即是以线段为直径的圆，   ，圆心为，所以过，，三点的圆的方程为. 22．（21-22高二上·北京·期中）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边上中线所在直线的方程（D为中点）； (2)边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算线段的中点坐标，然后得到中线的斜率，最后利用点斜式计算即可. （2）计算直线的斜率，得到中垂线的斜率，然后利用点斜式计算即可. （3）计算中垂线的方程，然后与（2）中方程联立可得圆心，进一步得到半径，可得结果. 【详解】（1）线段的中点，所以直线的斜率为， 所以中线的方程为：，即 （2）直线的斜率，所以中垂线的斜率为 所以中垂线的方程为：，即 （3）线段中垂线的方程，所以 所以该外接圆的圆心为，所以半径为 所以该三角形的外接圆方程为： 23．（17-18高二上·北京·期中）已知三个顶点是． (1)求边的高所在直线方程； (2)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边所在直线的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率，用点斜式求得直线方程并化为一般式即可； （）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程求出，，即可. 【详解】（1）∵，，∴， ∵，故，∴， 又∵，∴所在直线方程为，即. （2）设外接圆的方程为， 将，，代入圆的方程得，解得， 故外接圆的方程为． 24．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，，结合圆心坐标即可得到结果. 【详解】因为l经过第二、三、四象限，所以，， 所以，故位于第二象限. 故选：B 25．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可 【详解】圆的方程为为标准形式， 即圆心与半径分别为， 故选：D. 26．（22-23高二上·北京·期中）已知直线和圆，那么圆心到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】圆心为，故圆心到直线的距离是. 故选：C. 27．（22-23高二上·北京通州·期中）已知圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．，2 D．，2 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程即可得到. 【详解】由圆的方程，可得圆心为，半径为. 故选：A 28．（21-22高二上·北京怀柔·期末）圆的圆心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程求解. 【详解】圆的圆心为， 故选：D 29．（21-22高二上·北京海淀·期中）已知圆，则其圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接利用圆的标准方程求解 【详解】已知圆，则其圆心为，半径为 故选：D 30．（20-21高二上·北京平谷·期末）已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆的标准方程，直接求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心是，半径. 故选：A 31．（20-21高二上·北京·期中）已知圆，则其圆心和半径分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】D 【解析】根据圆的标准方程直接求解即可. 【详解】根据圆的标准方程，可得： 圆心为，半径为， 故选：D. 32．（25-26高二上·北京房山·期中）已知圆，则圆的面积为_____. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程得出半径进而得出圆的面积. 【详解】因为圆，所以圆的半径为，则圆的面积为. 故答案为：. 33．（24-25高二上·北京通州·期中）过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________. 【答案】 【分析】根据题意和圆的对称性可知所求直线过圆心，因此可得直线的斜率，再由斜率确定倾斜角. 【详解】因为过点的直线平分圆， 所以圆心在所求直线上， 因此直线的斜率，所以， 因为，所以， 故答案为：. 34．（22-23高二上·北京朝阳·期末）过圆的圆心且与直线平行的直线的方程是__． 【答案】 【分析】设出与直线平行的直线，将圆心代入即可. 【详解】由的圆心为， 设与直线平行的直线为： ， 因为过圆心， 所以， 故所求直线为：， 故答案为：. 35．（21-22高二上·北京·阶段检测）圆的圆心坐标为___________；周长为___________. 【答案】 【分析】对进行化简，得到圆的标准方程，进而求出圆心和半径及周长. 【详解】，化简为：，故圆心坐标为，半径为，周长为. 故答案为：，. 36．（20-21高二上·北京·期中）已知圆与直线则圆心的坐标为_______，若圆关于直线对称，则_____. 【答案】 1 【解析】由圆的标准方程直接定点圆心坐标，根据圆关于直线对称，由圆心在直线上求解. 【详解】因为圆， 所以求圆心坐标为：； 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，即， 解得1 故答案为：；1 37．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 38．（25-26高二上·北京大兴·期中）圆的半径长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径. 【详解】将圆化成标准方程， 所以圆的半径为. 故选：A. 39．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 40．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若直线是圆的一条对称轴，则值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值. 【详解】圆，即， 所以圆心坐标为，依题意直线过点， 所以，解得. 故选：A 41．（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，进而求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，由，得， 故选：A 42．（24-25高二上·北京·阶段检测）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，由对称求出对称圆的圆心，可得标准方程. 【详解】由圆，得， 则圆心坐标为，半径为1， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 圆关于直线对称的圆的标准方程为． 故选：B． 43．（15-16高二上·广东揭阳·阶段检测）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以， 又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即. 故选：D 44．（22-23高二上·北京·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答. 【详解】方程化为：， 因方程表示圆，于是得，解得， 所以的取值范围是：. 故选：A 45．（21-22高二上·北京平谷·期末）已知实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化成，即可求出的最小值． 【详解】由可化为，所以，解得，因此的最小值是． 故选：A． 46．（19-20高二上·内蒙古包头·期中）方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（    ） A．4、2、4 B．﹣4、2、4 C．﹣4、2、﹣4 D．4、﹣2、﹣4 【答案】B 【分析】利用配方法将方程化为圆的标准形式，列出方程可得的值． 【详解】x2+y2+ax﹣2by+c＝0可化为： ，解得 故选：B 【点睛】本题考查圆的方程，考查一般形式和标准形式的互化，考查学生计算能力，属于基础题． 47．（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 48．（21-22高二上·江苏宿迁·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围 【详解】∵表示圆，则， ∴， 故选：B． 49．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】求出点的轨迹方程为圆，数形结合得高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】设，由， 得，化简整理得， 即点的轨迹为圆，半径为， 由于，所以当边上高最大时，的面积最大， 所以. 故选：A. 50．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 51．（22-23高二上·北京大兴·期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式列式求解即可. 【详解】解：因为点和点，动点， 所以， 又因为其满足， 所以，整理得： 所以点的轨迹方程为. 故选：D 52．（20-21高二下·北京·期中）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（    ） A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0 【答案】A 【分析】设出点的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可． 【详解】解：设，点的坐标是，点满足， 可得：， 即：， 所以M点的轨迹方程是. 故选：A． 53．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 54．（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程__________________. 【答案】 【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解. 【详解】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 55．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解； （2）设出点坐标，根据题意求解出点坐标，代入圆后解得点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4圆的方程 知识点 + 题型解题技巧 一、北京高考考纲核心要求 1. 熟练掌握圆的标准方程、一般方程、直径式方程，能实现三种形式互相转化； 2. 能根据圆心坐标、半径、相切条件、直径端点、圆过定点、圆心所在直线等条件，用待定系数法求圆的方程； 3. 掌握点关于直线对称点的求解方法，会求已知圆关于直线对称的圆方程； 4. 会求解三角形外接圆（核心：三角形三边垂直平分线交点为外接圆圆心）； 5. 三类轨迹方程求解方法：相关点中点法、距离等式直接法、直角隐圆法； 6. 结合点到直线距离、两直线垂直平分线性质解决圆心、半径计算问题； 7. 掌握圆一般方程表示圆的充要条件，能求解参数取值范围 二、基础核心知识点 （一）圆的三类标准方程 1. 圆的标准方程 圆心坐标，半径r 易错点：括号内为减法，，对应圆心横坐标是。 快速几何结论： ① 圆与x轴相切：； ② 圆与y轴相切：； ③ 圆经过原点：。 2. 圆的一般方程 表示圆的充要条件： 圆心：，半径： 补充判定： ：方程仅表示一个点； ：无几何图形。 转化方法：分组配方法，将x、y分别配完全平方。 3. 直径式方程 若、为圆直径两端点，则圆方程： 推导依据：直径所对圆周角为直角，向量。 （二）圆核心几何性质（必考） 1. 弦的垂直平分线必定经过圆心； 2. 若直线平分圆，则直线一定经过圆心； 3. 圆心与切点连线，垂直于圆的切线； 4. 两点关于直线对称满足两个条件：①两点连线与对称轴垂直；②两点中点落在对称轴上； 5. 直角三角形外接圆：斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径。 （三）对称圆求解公式 两圆关于某直线对称，半径不变，圆心互为对称点。 设原圆心，求关于直线的对称点，联立方程组： （四）三类轨迹方程通用解法 1. 直接法：题干给出距离等量关系（如），两点距离公式列式，平方化简消根号； 2. 相关点法（中点轨迹）：已知动点在定圆上，求中点轨迹，设中点与圆上动点坐标，利用中点公式替换代入； 3. 隐圆法：直角顶点轨迹、距离定值轨迹，直接利用圆定义写方程，必须剔除三点共线的无效点。 三、十大题型分类 + 通用作答模板 + 解题技巧 题型一：已知条件求圆标准方程 考法 1：已知圆心 + 半径 / 圆过定点 通用步骤： 1. 直接写出标准式； 2. 将圆上点坐标代入，求出； 解题技巧：圆与坐标轴相切时，半径直接等于圆心对应坐标绝对值，无需计算距离。 考法 2：已知直径两个端点 通用步骤： 1. 中点公式计算圆心：； 2. 两点距离除以 2 得到半径； 解题技巧：直接使用直径式方程，省略距离计算。 考法 3：圆心在定直线，且圆过两点 通用步骤： 1. 求出两点连线中点与线段垂直平分线； 2. 联立垂直平分线与圆心所在直线，解出圆心； 3. 圆心到定点距离的平方为。 题型二：已知三点求圆（三角形外接圆） 两种解题方法： 方法 1（待定系数法）：设一般方程，三点代入得到三元一次方程组，解得D、E、F，再配方得到标准式； 方法 2（几何法）：分别作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再计算半径； 技巧：直角三角形优先用斜边中点当圆心，计算量最小。 题型三：圆一般方程配方 + 参数范围判断 1. 配方操作：x项、y项分组，常数移到等式右侧，配完全平方； 2. 判断能否表示圆：验证； 3. 直线为圆对称轴：直线过圆心，代入圆心坐标求解参数。 题型四：圆关于直线对称 固定解题模板： 1. 写出原圆的圆心与半径（对称圆半径不变）； 2. 联立对称点方程组，求出对称圆心； 3. 以新圆心、原半径写出标准方程。 题型五：直线平分圆问题 核心结论：直线平分圆 ⇔ 直线经过圆心； 解题步骤：提取圆心坐标，代入直线解析式求解参数、斜率、倾斜角。 题型六：中点轨迹（相关点法） 四步固定解法： 1. 设中点，圆上动点； 2. 中点公式变形：\(x_0=2x-x_定，y_0=2y-y_定\)； 3. 将\(x_0、y_0\)代入定圆方程； 4. 化简得到中点轨迹方程。 题型七：距离等式轨迹（阿波罗尼斯圆） 例： 1. 设任意动点； 2. 两点距离公式列式，等式两边平方消去根号； 3. 整理得到二元二次方程，判定为圆； 技巧：时轨迹是线段垂直平分线，\(k≠1\)时轨迹为圆。 题型八：直角顶点隐圆轨迹 已知AB为直角三角形斜边，P为直角顶点： 1. 斜边中点为圆心，为半径； 2. 方程必须标注限制条件：剔除\(A、B\)两点（三点不能共线构成三角形）。 题型九：弦中点相关直线（垂径定理） 已知P是圆内弦MN中点： 1. 求出圆的圆心C； 2. 由算出弦的斜率； 3. 点斜式写出弦所在直线方程。 题型十：平行线 + 对称综合题 1. 平行直线：，平行线统一\(A、B\)系数； 2. 平行线距离公式列方程求常数； 3. 结合对称圆心求解对称圆方程。 四、高频易错扣分点 1. 标准方程圆心符号出错：对应圆心横坐标为，不是 2； 2. 一般方程不配方，直接错误读取圆心； 3. 忽略圆一般方程条件，漏写不等号； 4. 求对称点只写垂直条件，忘记中点在对称轴； 5. 直角顶点轨迹不剔除\(A、B\)两点，丢失定义域扣分； 6. 直径式方程向量点乘计算符号错误； 7. 平行线距离计算前未统一\(A、B\)系数，直接代入常数； 8. 直线平分圆看不出 “直线过圆心”，多余复杂计算。 五、北京应试答题技巧 1. 选择填空优先几何性质解题：弦中垂线、平分圆过圆心、相切半径等于距离，快速口算； 2. 求圆方程分场景：知圆心半径用标准式，知三点用一般式； 3. 解答题求外接圆，优先联立两条垂直平分线求圆心，方程组计算更简便； 4. 对称类大题分步书写：①求原圆心 ②求对称圆心 ③写圆方程，分步得分； 5. 轨迹题必须标注\(x≠\)之类限制条件，遗漏扣步骤分； 6. 配方法固定操作顺序，先分组再移项，减少计算失误。 知识点 + 题型解题技巧 题型一：圆的标准方程 1．（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（20-21高二上·北京丰台·期中）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京海淀·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期中）圆心为，且半径为的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9．（17-18高二上·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·北京·期中）圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 12．（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为__________ 13．（2.4圆的方程）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是______． 14．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 15．（24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 16．（23-24高二上·北京通州·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)求点A的坐标； (2)求经过点P且与直线平行的直线方程； (3)求以为直径的圆的方程. 题型二：过三点的圆 17．（20-21高二上·北京·期中）经过三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（18-19高三·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为 A． B． C． D． 19．（23-24高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为______. 20．（22-23高二上·北京昌平·期中）①坐标系中，经过三点的圆的方程为___________ ②过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为___________ 21．（25-26高二上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． (1)直接写出直线，的斜率，； (2)设与交于点，与交于点，与交于点． （ⅰ）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）求过，，三点的圆的方程． 22．（21-22高二上·北京·期中）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边上中线所在直线的方程（D为中点）； (2)边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆方程. 23．（17-18高二上·北京·期中）已知三个顶点是． (1)求边的高所在直线方程； (2)求外接圆的方程． 24．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（22-23高二上·北京·期中）已知直线和圆，那么圆心到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高二上·北京通州·期中）已知圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．，2 D．，2 28．（21-22高二上·北京怀柔·期末）圆的圆心为（    ） A． B． C． D． 29．（21-22高二上·北京海淀·期中）已知圆，则其圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 30．（20-21高二上·北京平谷·期末）已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 31．（20-21高二上·北京·期中）已知圆，则其圆心和半径分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 32．（25-26高二上·北京房山·期中）已知圆，则圆的面积为_____. 33．（24-25高二上·北京通州·期中）过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________. 34．（22-23高二上·北京朝阳·期末）过圆的圆心且与直线平行的直线的方程是__． 35．（21-22高二上·北京·阶段检测）圆的圆心坐标为___________；周长为___________. 36．（20-21高二上·北京·期中）已知圆与直线则圆心的坐标为_______，若圆关于直线对称，则_____. 题型三：圆的一般方程 37．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 38．（25-26高二上·北京大兴·期中）圆的半径长为（   ） A． B．5 C． D． 39．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若直线是圆的一条对称轴，则值为（    ） A． B．2 C． D．4 41．（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·北京·阶段检测）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 43．（15-16高二上·广东揭阳·阶段检测）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：一般方程的前提条件 44．（22-23高二上·北京·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（21-22高二上·北京平谷·期末）已知实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 46．（19-20高二上·内蒙古包头·期中）方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（    ） A．4、2、4 B．﹣4、2、4 C．﹣4、2、﹣4 D．4、﹣2、﹣4 47．（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（21-22高二上·江苏宿迁·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 49．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（    ） A． B．8 C． D． 50．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 51．（22-23高二上·北京大兴·期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 52．（20-21高二下·北京·期中）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（    ） A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0 53．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 54．（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程__________________. 55．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $