第1章 图形的相似 单元练习 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版九年级上册图形的相似单元拔尖卷，90分钟120分，18题覆盖相似比、位似变换等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|相似比性质、中位线、位似坐标|结合图形辨析（如第3题相似图形判断），基础概念与几何直观结合| |填空|4/20|相似三角形面积比与高比、周长比、正方形中相似计算|第11题正方形内线段关系，考查模型意识与运算能力| |解答|6/60|位似作图、相似证明、动点问题|第18题综合角平分线与相似判定，体现逻辑推理与创新应用，契合核心素养中推理能力要求|

第1章图形的相似拔尖卷 【新教材湘教版九年级上册】 时间：90分钟 满分：120分 姓名 班级： 考号： 考卷信息： 本卷试题共18题，单选8题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一.单项选择题（每小题5分，满分40分） 1.对于线段a和b,若a:b=2:3,则下列式子一定正确的是() a+b5 A.2a=3b B.b-a=1 C.b2 D.a-b、1 b3 2.如图，在△MBC中，若点D、E分别是MB、1C 的中点， ,则 () B A.2 B.3 C.4 D.6 3.观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是(). A B ★☆☆ 4.在△MB0中，已知点 A(-6,3),B(-6-4) ,以原点O为位似中心把△AB0 缩小到原来的 3,则点4的对应点4的坐标是() A.（-2) B.（I8,9) c.（18,9)(18,-9) 或 D.（-21或2-) 5.如图，四边形ABCD和四边形ABCD是以点O为位似中心的位似图形，若 OB:OB'=1:2,则四边形ABCD与四边形AB'C"D'的周长比是() B A1:2 B1:4 c.1:2 D1:3 6.某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影 长是lm,旗杆的影长是8m,则旗杆的高度是() A.12m B.1lm c.10m D.9m 7.如图，点D、E分别是△ABC在边AB、AC上，添加下列条件()仍不能判断△ADE 与△ABC相似. A B A.∠ADE=∠C B.AD·AB=AE·AC C.AD·BC=ABDE D.DE∥BC 8.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2,E为线段AB上任意一动点， 以CE为斜边作等腰Rt△CDE,连接AD,下列说法：①LBCE=∠ACD;②AC⊥ED: 3 ③AADC∽ABEC:④ADI‖BC;⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为2·正确的 结论是( A.①②④ B.①③⑤ c.①③④ D.①③④⑤ 二.填空题（每小题5分，满分20分） 9.两个相似三角形面积比为1：4，则对应高的比为 10.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与 △ABC的周长之比为23，AD=4,则DB= 11.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G,F分别为AD,BC边上的点.若 AG=1,BF=2,∠GEF=90° 则正方形的边长为 E 12.如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O,P是边CD上靠近点D的三等分点，连接 S△oMM PA,PB,分别交BD,AC于M,N.连接MN,若正方形的边长为3，则SANs的值是 三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， △ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）· YA (I)画出△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的△4BG: (②以原点O为位似中心，在”轴的上方画 △4，B,C,焦△4，B,C与△MBC位似，且位似 ，使 比为2：1： ③△4B,C和△4G关于点S位似，直接写出点S的坐标为 14.如图，己知AB∥DC,点E、F在线段BD上，AB=2DC,BE=2DF. B D C (I)求证：△ABE∽△CDF: (2)若AE=8，,求CF的长. 15.如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，D是边BC上一点，AD⊥BC,E为线段AD 中点，连结CE并延长交AB于点F, A F B (I)求证：AB2=BDBC」 (2)若CD:DB=1:2,求证：AF:BF=1:3. 16.如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接 PB,过点P作PE⊥PB,交DC于点E,已知AD=3,AC=5.设AP的长为x. A B D E C PE ()AB= 当x=1时，求PB的值； PE (②)试探究：PB是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由： 17.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， 连接CE,DE,DE交AC于点F. B F (I)求证：AC2=AB·AD: AC (②)若AD=4,AC=2W6,求AF的值. I8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点E在边BC上，满足 ∠BAE=∠ACB.连接AE交BD于点F,过点F作FGIIBC交CD于点G. B E D G (I)求证：AF=AD: (2)求证：△DFGAFBA. DG (3)若BE=2EF,求FG的值. 参考答案 1.D 2.C 3.D 4.D 5.A 6.A 7.C 8.D 9.1:2 10.2 1.32 2 13.【详解】(1)解：如图，△4BG即为所求： (2)解：如图， △A,B,C2即为所求： (3)解：如图，点S即为所求. YA 可得564) 14.(1)证明：·AB∥DC .∠B=∠D AB=2DC,BE=2DF. AB BE ·DCDF 2 .△ABE∽△CDF: AB (2)解：：AABE△CDF,DC =2 AE_AB=2 ∴CFDC AE=8, CF-14E-4 2 15.(1)证明：：∠CAB=90°，AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠CAB=90° 又∠B=∠B: ∴.△ABDCBA AB BC .BDAB· .AB2 BD-BC. (2)证明：过点D作DG∥AB交CF于点G, .∠EGD=∠EFA,∠EDG=∠EAF :E为AD的中点， ..GE=FE ∴.△DGE≌△AFE(AAS) .AF=DG. CD:DB=1:2 .CD:BC=1:3 .DG BF .∴ACDGACBE ..DG:BF=CD:BC=1:3 ∴AF:BF=1:3 16.【详解】(1)解：如图，过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N, A M B ◇ D NE C :四边形ABCD是矩形， .BC=AD=3,∠ABC=∠ADC=∠DAB=90° 在RIAABC中，AB=VAC2-BC=S-3=4 当x=1时，即PA=x=1, ,PM⊥AB,∠ABC=90°」 .PM II BC :.△APM∽△ACB AM PM AP AM PM 1 AB=CB=AC,即4=35： :AM=4.PM=3 3 5, 5, 416 ∴BM=AB-AM=4- 55, :∠ADC=∠DAB=90°，PM⊥AB, 四边形ADWM是矩形， .MN AD=3, ∴PN=MN-PM=3- 312 55, ,PE⊥PB,PM⊥AB, .∠PMB=∠PNE=∠BPE=90° .∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90° .∠BPM=∠PEN, ∴.△BMP∽△PNE」 12 PEPN53 PB BM 16 4 5 PE (2)解：PB的值为定值. 如图，过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N, AM B P D NE 同理(1)可得△APM∽△ACB, ，AM-PM=APAM_PM=X AB=CB=4C,即4=3=5， PM=3x.AM=4x 3 5 5 4 3 .BM=4-gx,PN=3-3x」 5 5 同理(I)可得△BMP∽△PNE 3 PE_PN 3-3x 5 3 PB BM 4 1 4-5x4-5 4 17.(1)证明：，AC平分∠DAB, ,∠DAC=∠CAB, :∠ADC=∠ACB=90°， .△ADC∽△ACB, AD AC ·AC=AB,即AC2=AB.AD (2)解：4C=ABAD,AD=4,AC=26 .AB=6 ,E为AB的中点， E=4B=3 :∠DAC=∠CAB .∠DAC=∠ECA, ·∠EFC=∠AFD」 .△AFDn△CFE, AF AD 4 0F=E=3 AC 7 ·F=4: 18.(1)证明：：BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD. ·FG∥BC ∠FGA=∠ACB, :∠BAE=∠ACB, ∴.∠BAE=∠ACB=∠FGA, ,∠AFD=∠BAE+∠ABD,∠ADB=∠CBD+∠ACB、 .∠AFD=∠ADB.」 .AF=AD (2)证明：·FG∥BC ∴.∠CBD=∠DFG,LACB=∠FGA. 由(I)得∠ABD=∠CBD,∠BAE=∠ACB, .∠ABD=∠DFG,∠BAE=∠FGD .△DFG∽AFBA. (3)解：'∠BFE=∠AFD=∠ADF,∠EBD=∠ABD, ∴.△BEF∽△BAD, .BE=2EF, .EFAD' BE=BA2 又由(1)可得AD=AF, 由(2)知△DFGn△FBA, 8厨