第1章 图形的相似（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 湘教版初中数学图形的相似单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖选择、填空、解答，选题有深度且覆盖面广，可精准量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形判定（第3题剪三角形）、性质（第4题面积比）|结合几何直观，如第7题加工正方形零件情境| |填空题|6/18|比例线段（第11题）、黄金分割（第12题）|融入文化元素，如第15题中国象棋相似三角形| |解答题|9/72|相似证明（第17题）、位似作图（第22题）、实际应用（第23题平面镜测高）|注重推理能力与应用意识，如第25题菱形平移旋转探究，体现创新意识|

第1章 图形的相似·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 3．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 6．如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线相交于点为的中点，交于点交于点，若，则的长为（     ） A．8 B． C． D．10 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则的值为______． 12．（2026·甘肃兰州·一模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 15．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 16．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，若，则边的长_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 18．（6分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 19．（6分）（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 20．（8分）（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 21．（8分）（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 22．（9分）（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 23．（9分）（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 24．（10分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，，． 【观察与发现】 (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 (2)如图，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 25．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 (1)如图将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． 试判断四边形的形状，并说明理由； 求四边形的面积； (2)【拓展提升】 在的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角小于）．如图，当点落在线段的延长线上时，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 图形的相似·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】由平行线分线段成比例列比例式即可求得答案． 【详解】解：， ， ∴． 3．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：， ， ． 5．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 7．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 8．如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线相交于点为的中点，交于点交于点，若，则的长为（     ） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【分析】先由平行线分线段成比例得到、，进而由三角形中位线的判定与性质得到，进而结合等角对等边得出，再求出，最后由矩形性质及勾股定理求解即可得到的长． 【详解】解：点为的中点， ， ， ，即， 是的中位线，则， ， ， ， ，即， 是的中位线，则， 在矩形中，，， 由勾股定理可得． 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得出，再证明，得出，结合，得出垂直平分，即可判断①正确；由①得，则关于直线的对称点为，连接，过点作，交于点，交于点，由对称的性质得，则，当、、三点共线时，的值最小，为的长，由正方形的性质并结合勾股定理计算即可判断②正确；由①可得，，则，结合相似三角形的性质即可判断③正确；由三角形的面积公式计算即可判断④错误． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分，故①正确； ②由①得， ∴关于直线的对称点为， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 由对称的性质得， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即的最小值为，故②正确； ③由①可得，， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∴，故③正确； ④∵四边形为正方形，且边长为， ∴， 在中，， 由①可得， ∴， ∴， ∵的边和的边上的高相等， ∴设的边和的边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 12．（2026·甘肃兰州·一模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确找出对应成比例的线段，利用比例式求出未知线段长度，再通过线段和求出的长．先根据平行线分线段成比例得到与的比例关系，结合已知数据计算出的长度，最后将与相加得到的长． 【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 15．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，确定“帅”、“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可； 【详解】解：由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，， “兵”、“炮”之间的距离为2， “炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为， 马应该落在②的位置， 故答案为：②． 16．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，若，则边的长_______． 【答案】2 【分析】首先，延长 与 交于点 ，构造出直角三角形 ，利用已知角度求出边长关系，接着，在 上取点 使得 ，通过角度推导证明 ，最后，利用相似三角形的对应边成比例，结合已知线段长度，逐步计算出 、 的长，进而求得目标边 的长度． 【详解】解：分别延长 ， 交于点 ， 在 上取一点 使 ， 又 在 和 中， ． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形与等腰三角形的性质，三角形外角定理，以及相似三角形的判定与对应边成比例，本题的解题关键在于通过构造辅助线来构建相似三角形模型． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．（6分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 19．（6分）（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 【详解】（1）证明：， ， ， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先得到，再根据相似三角形的判定可得结论； （2）证明得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ； （2）解：， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 21．（8分）（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 【答案】(1)和相似，见解析 (2)见详解 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【详解】（1）解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； （2）如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22．（9分）（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，点D即为所求， 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以分别连接，分别延长到格点，使，再将顺次连接得到． （2）在图中取格点F和H，连，交于点D，点D即为所求； 【详解】（1）略 （2）作图，略； 理由：连， 由网格可知，， ∴， ∴， 则点D即为所求． 23．（9分）（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 24．（10分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，，． 【观察与发现】 (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 (2)如图，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)；理由如下： ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，得到，再根据勾股定理，得到，即可得出答案； 25．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 (1)如图将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． 试判断四边形的形状，并说明理由； 求四边形的面积； (2)【拓展提升】 在的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角小于）．如图，当点落在线段的延长线上时，求的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是菱形； ； (2)． 【分析】 先由菱形对边平行，证出四边形是平行四边形，再通过证明推出，从而判定菱形； 先运用勾股定理求出的长度，再运用菱形的性质证明，结合相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，即可作答； 连接并作，可证，设表示出，在中用勾股定理列方程，解出即可． 【详解】（1）解：略； 连接， 点是对角线的中点， 过点， 四边形是菱形， ，，，，， ，， ， ， ， 菱形的面积为， ， 由得四边形是菱形， ，，菱形的面积， ， ， ， ， 菱形的面积； （2）解：连接，过点作， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ，， 在中，， ， ， 解得，（舍去）， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $